Seno, coseno e tangente: circonferenza goniometrica e angoli associati

Negli istituti tecnici la goniometria di solito arriva in terza tra dicembre e gennaio, e la verifica cade un mese o poco più dopo, tra gennaio e febbraio. Nei licei il capitolo parte più tardi, in primavera, ma il contenuto è lo stesso. Oggi siamo ai primi di novembre: se ti porti avanti ora, quando il professore aprirà il capitolo avrai già visto tutto una volta, e sul libro riconoscerai le cose invece di impararle da zero.

Il punto che nei calendari di verifica ritorna quasi sempre è «angoli associati a memoria». Ti dico subito che a memoria non serve: ti basta saper disegnare una circonferenza e sapere leggere un punto. Il resto del post è questo, con tre esercizi svolti.

Gradi e radianti

Un angolo giro misura $360°$, cioè $2\pi$ radianti. Quindi un angolo piatto è $180°=\pi$. Da qui viene tutto: per passare dai gradi ai radianti si moltiplica per $\frac{\pi }{180}$, per tornare indietro per $\frac{180}{\pi }$.

Per esempio $225°=225\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{4}$, perché $\frac{225}{180}=\frac{5}{4}$. E al contrario $\frac{7\pi }{6}$ vale $\frac{7}{6}\cdot 180°=210°$.

L’errore più comune non è matematico: la calcolatrice ha due modalità, DEG e RAD. Se scrivi $\sin \frac{\pi }{6}$ con la calcolatrice in gradi, ti esce un numero strano invece di $0,5$. Prima di ogni verifica controlla il simbolo sul display.

La circonferenza goniometrica

Disegna un piano cartesiano e, con centro nell’origine, una circonferenza di raggio $1$. Un angolo $\alpha$ si misura a partire dal semiasse positivo delle $x$, in senso antiorario. La semiretta dell’angolo taglia la circonferenza in un punto $P$. Allora:

• $\cos \alpha$ è l’ascissa di $P$;
• $\sin \alpha$ è l’ordinata di $P$;
• $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ è il coefficiente angolare della semiretta, cioè quanto sale per ogni passo in orizzontale (non esiste quando $\cos \alpha =0$).

Il raggio è $1$, quindi $P$ non può uscire dal quadrato che va da $-1$ a $1$ in orizzontale e in verticale. Ecco perché seno e coseno stanno sempre fra $-1$ e $1$, mentre la tangente può assumere qualsiasi valore. Se vuoi vedere il punto muoversi, il cerchio goniometrico interattivo ti fa trascinare l’angolo e leggere le due coordinate.

I valori notevoli (e il trucco per ricordarli)

Per i primi cinque angoli c’è un modo di scrivere i seni che si ricorda da solo. Scrivi i numeri $0,1,2,3,4$, mettili sotto radice e dividi tutto per $2$:

Semplificando escono $0$, $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$. I coseni sono gli stessi numeri al contrario, perché il coseno di un angolo è il seno del suo complementare. La tangente non si impara: si calcola come rapporto.

Le ultime tre colonne (180, 270, 360) non servono a memoria: sono i punti $(-1,0)$, $(0,-1)$ e $(1,0)$ della circonferenza, li leggi direttamente dal disegno.

Il segno nei quadranti

I quadranti si contano in senso antiorario. Il segno di seno e coseno dipende solo da dove cade $P$:

La tangente è un rapporto: è positiva quando seno e coseno hanno lo stesso segno, negativa quando hanno segni opposti. Non serve impararla a parte.

Gli angoli associati, senza memoria

Gli angoli associati sono quelli che si ottengono da $\alpha$ con una simmetria. Il libro li presenta come una lista di formule, ed è quella lista che a molti non entra in testa. Il metodo che uso io è uno solo:

1. Disegna l’angolo e vedi in che quadrante cade.
2. Trova l’angolo di riferimento: l’angolo acuto fra il raggio e l’asse $x$ (cioè quanto manca a $180°$ o $360°$, o quanto supera $180°$).
3. Calcola seno, coseno o tangente di quell’angolo acuto, che di solito è notevole.
4. Metti il segno del quadrante.

Le formule che ne escono sono sempre le stesse, e ora le leggi dal disegno invece di ricordarle:

Prendi $\alpha =30°$. Il punto è $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$. Il supplementare $150°$ sta nel secondo quadrante, alla stessa altezza ma a sinistra: $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$. Infatti il seno è rimasto $\frac{1}{2}$ e il coseno ha cambiato segno. Lo vedi, non lo ricordi.

Esercizio 1: tre valori con la circonferenza

Calcola $\sin 150°$, $\cos 225°$ e $\tan 315°$.

$\sin 150°$. L’angolo cade nel secondo quadrante, dove il seno è positivo. L’angolo di riferimento è $180°-150°=30°$. Quindi:

$\cos 225°$. L’angolo cade nel terzo quadrante, dove il coseno è negativo. L’angolo di riferimento è $225°-180°=45°$. Quindi:

$\tan 315°$. L’angolo cade nel quarto quadrante, dove la tangente è negativa. L’angolo di riferimento è $360°-315°=45°$. Quindi:

Controllo sul disegno: a $315°$ il punto è $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, e il rapporto ordinata su ascissa vale $-1$. Torna.

Dopo un esercizio così conviene subito mettersi alla prova su domande a risposta chiusa: sulla verifica simulata di goniometria per i tecnici la risposta corretta di ogni quesito è gratis, e la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: dato il seno, trova coseno e tangente

Sia $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ con $\alpha$ nel secondo quadrante. Trova $\cos \alpha$ e $\tan \alpha$.

Qui serve la relazione fondamentale, che deriva da Pitagora applicato al triangolo rettangolo che $P$ forma con gli assi (ipotenusa $1$, cateti $\cos \alpha$ e $\sin \alpha$):

Sostituisci:

Quindi $\cos \alpha =\pm \frac{4}{5}$. Quale segno? Nel secondo quadrante il coseno è negativo:

Ora la tangente:

Verifica: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$, e la tangente è negativa come deve in un angolo del secondo quadrante. L’angolo vale circa $143,1°$ (supplementare di circa $36,9°$, che è l’angolo con seno $0,6$).

L’errore tipico è fermarsi a $\pm \frac{4}{5}$ e scegliere il segno a caso. Il testo ti dà il quadrante proprio per questo: senza quella informazione le soluzioni sono due, e a una verifica la risposta completa le deve distinguere.

Esercizio 3: semplificare con gli angoli associati

Semplifica, per $\alpha$ tale che il denominatore non si annulli:

Riduci ogni fattore al solo angolo $\alpha$, con la tabella di prima:

• $\sin (180°-\alpha )=\sin \alpha$ (supplementare: il seno non cambia);
• $\cos (180°+\alpha )=-\cos \alpha$ (il coseno cambia segno);
• $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$ (opposto: il seno cambia segno);
• $\cos (90°-\alpha )=\sin \alpha$ (complementare: il coseno diventa seno).

Sostituisci:

Per $\sin \alpha \ne 0$ l’espressione vale $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$, cioè l’inverso della tangente. Prova con $\alpha =30°$: il numeratore è $\sin 150°\cdot \cos 210°=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$, il denominatore è $\sin (-30°)\cdot \cos 60°=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$, e il rapporto è $\sqrt{3}$. Il risultato finale $\frac{\cos 30°}{\sin 30°}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$ coincide.

I grafici di seno e coseno

Se il punto $P$ compie un giro completo, le coordinate ricominciano uguali: seno e coseno sono periodiche di periodo $2\pi$ (cioè $360°$). Il grafico di $y=\sin x$ parte da $0$ nell’origine, sale fino a $1$ in $x=\frac{\pi }{2}$, torna a $0$ in $x=\pi$, scende a $-1$ in $x=\frac{3\pi }{2}$ e chiude il ciclo a $0$ in $x=2\pi$. È un’onda che oscilla fra $-1$ e $1$. Il grafico di $y=\cos x$ ha la stessa forma, ma parte dal massimo: vale $1$ in $x=0$, scende a $0$ in $\frac{\pi }{2}$, a $-1$ in $\pi$, risale a $0$ in $\frac{3\pi }{2}$ e torna a $1$ in $2\pi$. È lo stesso grafico del seno, spostato di $\frac{\pi }{2}$.

La tangente è diversa: ha periodo $\pi$, passa per l’origine ed esplode verso l’infinito nei punti $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, cioè dove il coseno è zero. Quelle rette verticali si chiamano asintoti, e sono il grafico che mostra perché $\tan 90°$ «non esiste».

Errori che vedo di continuo

1. Calcolatrice in RAD con angoli in gradi (o il contrario). Controlla sempre il display.
2. Dimenticare il segno dopo aver trovato l’angolo di riferimento. Fai la domanda «in che quadrante sono?» prima di scrivere il risultato.
3. Scrivere ${\sin }^2\alpha$ come $\sin {\alpha }^2$. Il quadrato è sul seno, non sull’angolo.
4. Cercare la tangente di $90°$ o $270°$: non esiste, e va scritto così, non $\infty$.
5. Usare la relazione fondamentale senza scegliere il segno della radice.

Il passo successivo

Questo post è la base: circonferenza, valori, segni, associati. Quando i tre esercizi di sopra ti vengono senza guardare, il passo dopo sono le formule di addizione e duplicazione, poi le equazioni goniometriche e, in quarta, la trigonometria con la discussione. Se ti serve la goniometria per la fisica, in particolare per scomporre una forza, la versione ridotta al minimo è in scomposizione delle forze senza trigonometria.

Per allenarti sul tuo capitolo, la verifica di goniometria per i tecnici è fatta per questo. Se sei al liceo, la corrispondente è la verifica di goniometria di terza. Se vuoi una mano a mettere in ordine l’argomento prima che il professore lo spieghi, la diagnosi gratuita è su /contatti/: mi mandi il capitolo del libro e vediamo da dove partire. Le lezioni di matematica sono online e uno-a-uno.