Equazioni goniometriche: elementari, lineari, omogenee

In quarta scientifico le equazioni goniometriche arrivano subito dopo le formule di addizione e duplicazione, di solito fra settembre e ottobre. Il compito che le comprende cade a novembre, quindi hai cinque-otto settimane per trasformarle da “lista di casi da ricordare” a un metodo che parte sempre dallo stesso punto: riconoscere di che tipo è l’equazione. Le equazioni si dividono in cinque tipi, e per ciascuno c’è una mossa fissa.

Questo post è la guida alla tecnica di risoluzione. Le formule di base le trovi in goniometria per la maturità, il quadro di tutto il compito in goniometria e trigonometria in quarta, il programma completo dell’anno in quarta superiore: il formulario. Qui ci interessa solo una cosa: dato un testo, come si arriva alle soluzioni senza perderne e senza inventarne.

Il quadro: quale tipo di equazione è

Prima di calcolare, guarda i termini e classifica.

Equazioni elementari

Sono $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$. Hanno soluzione se $-1\le a\le 1$ per seno e coseno (la tangente ammette qualsiasi $a$). Con $\alpha$ il valore principale:

Seno e coseno hanno due famiglie perché sulla circonferenza goniometrica ci sono due punti con la stessa ordinata (o la stessa ascissa). La tangente ne ha una sola e il periodo è $\pi$.

Tre casi particolari da non trattare con la formula generale, perché si leggono direttamente dalla circonferenza: $\sin x=1$ dà $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, $\sin x=-1$ dà $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, $\sin x=0$ dà $x=k\pi$. Qui una famiglia sola, non due: le due coincidono.

Se l’argomento non è $x$ la procedura è la stessa, ma alla fine si risolve rispetto a $x$ dividendo anche il periodo. Da $\sin 2x=\frac{1}{2}$ si ha $2x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ oppure $2x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, quindi

Il periodo diventa $\pi$: è l’errore che vedo più spesso, e lo ritrovi fra gli errori tipici più sotto.

Equazioni riconducibili a elementari

Capita di trovare $\sin 3x=\cos x$ oppure $\sin x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$. Con lo stesso seno da entrambe le parti si applicano direttamente le due famiglie, uguagliando gli argomenti. Quando le funzioni sono diverse, si usa un arco associato per portarle alla stessa:

Così $\sin 3x=\cos x$ diventa $\sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, e da qui le due famiglie: $3x=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi$ cioè $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, oppure $3x=\pi -\frac{\pi }{2}+x+2k\pi$ cioè $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Dopo aver diviso per il coefficiente di $x$, il periodo cambia: nella prima famiglia $\frac{2k\pi }{4}=\frac{k\pi }{2}$. Se ti viene $2k\pi$ dopo aver diviso per 4, hai perso soluzioni.

Di secondo grado in seno o coseno

Appaiono ${\sin }^{2}x$ e $\sin x$ (o i corrispondenti in coseno). Se compaiono entrambe le funzioni, con l’identità ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ si riscrive tutto in una sola. Poi si pone $t=\sin x$ e si risolve il trinomio. Attenzione al vincolo: $t$ deve stare in $[-1,1]$, e le radici fuori da questo intervallo si scartano con una riga di commento. Per ogni radice rimasta si ricade in un’equazione elementare.

Equazioni lineari: $a\sin x+b\cos x=c$

È il tipo che a novembre fa la differenza, perché ci sono due metodi e conviene conoscerli entrambi.

Prima la condizione di esistenza delle soluzioni. Il membro sinistro, a meno di una costante, è un seno: ha massimo $\sqrt{a^2+b^2}$ e minimo $-\sqrt{a^2+b^2}$. L’equazione è risolubile solo se $|c|\le \sqrt{a^2+b^2}$. Quindi $\sin x+\cos x=2$ è impossibile, perché $\sqrt{2}<2$: lo sai prima di fare qualunque conto.

Metodo dell’angolo aggiunto. Si divide per $\sqrt{a^2+b^2}$ e si cerca un angolo $\phi$ tale che $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ e $\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Allora il primo membro è $\sin (x+\phi )$ e l’equazione diventa elementare. Con coefficienti come $1$ e $\sqrt{3}$, o $1$ e $1$, l’angolo $\phi$ è notevole. Quando non lo è, si lascia espresso con l’arcotangente.

Metodo parametrico. Si pone $t=\tan \frac{x}{2}$, per cui

e si ottiene un’equazione di secondo grado in $t$. Ha un costo nascosto: la sostituzione non esiste per $x=\pi +2k\pi$, dove $\tan \frac{x}{2}$ non è definita. Quell’angolo va controllato a parte, sostituendolo nell’equazione di partenza. L’esercizio 2 mostra cosa succede se ti dimentichi di farlo.

Equazioni omogenee di secondo grado

La forma è

Ogni termine ha grado 2 nell’insieme di seno e coseno. La mossa: dividere tutto per ${\cos }^{2}x$, ottenendo un’equazione di secondo grado in $\tan x$:

Ma dividere per ${\cos }^{2}x$ è lecito solo se $\cos x\ne 0$. Il controllo è una riga: sostituisci $\cos x=0$ (cioè ${\sin }^{2}x=1$) nell’equazione. Se vale $a=0$, allora $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ è soluzione e va aggiunta a quelle trovate con la tangente. Con $a\ne 0$ non lo è.

Se l’equazione ha un termine noto, per esempio ${\sin }^{2}x-\sin x\cos x=1$, il trucco è scrivere $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$: il termine noto diventa un termine omogeneo e ci si riconduce al caso precedente. Se invece manca il termine in ${\cos }^{2}x$ (cioè $c=0$), non serve dividere: si raccoglie $\sin x$ o $\cos x$ e si ottiene un prodotto.

Tre esercizi svolti

1. Di secondo grado, con una famiglia in più

Con ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ l’equazione diventa $2-2{\sin }^{2}x+3\sin x-3=0$, cioè

Posto $t=\sin x$, si ha $2t^2-3t+1=0$ e quindi $t=1$ oppure $t=\frac{1}{2}$, entrambe nell’intervallo ammesso. Le soluzioni:

Controllo. Per $x=\frac{\pi }{2}$: $0+3-3=0$. Per $x=\frac{\pi }{6}$, con ${\cos }^{2}x=\frac{3}{4}$ e $\sin x=\frac{1}{2}$: $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-3=0$. Per $x=\frac{5\pi }{6}$ i valori di seno e di coseno al quadrato sono gli stessi, quindi vale lo stesso conto. Il caso $\sin x=1$ ha una sola famiglia, non due.

2. Lineare con entrambi i metodi, e il punto perso

Verifica d’esistenza: $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\ge 1$, le soluzioni ci sono.

Angolo aggiunto. Dividendo per $\sqrt{2}$ si ottiene $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$, e il primo membro è $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$:

Quindi $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ oppure $x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, cioè

Controllo: per $x=\frac{\pi }{2}$ si ha $1-0=1$; per $x=\pi$ si ha $0-(-1)=1$.

Parametriche. Con $t=\tan \frac{x}{2}$ l’equazione diventa $\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}=1$. Moltiplicando per $1+t^2$:

e $\tan \frac{x}{2}=1$ dà $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$. Manca $x=\pi +2k\pi$, che è proprio l’angolo escluso dalla sostituzione: fermandoti qui perdi metà delle soluzioni. Va sostituito a parte, e come abbiamo visto sopra è soluzione. Per questo, quando i coefficienti lo permettono, preferisco l’angolo aggiunto: non nasconde nessun angolo.

3. Omogenea, con il controllo della divisione

Controllo: se $\cos x=0$ allora ${\sin }^{2}x=1$ e il primo membro vale $2\ne 0$, quindi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ non è soluzione e si può dividere per ${\cos }^{2}x$:

Con $t=\tan x$ si ha $2t^2-t-1=0$, cioè $(2t+1)(t-1)=0$, e $t=1$ oppure $t=-\frac{1}{2}$. Le soluzioni:

Controllo per la seconda: con $\tan x=-\frac{1}{2}$ si ha ${\sin }^{2}x=\frac{t^2}{1+t^2}=\frac{1}{5}$, ${\cos }^{2}x=\frac{4}{5}$ e $\sin x\cos x=\frac{t}{1+t^2}=-\frac{2}{5}$. Il primo membro vale $\frac{2}{5}+\frac{2}{5}-\frac{4}{5}=0$. Per la prima, con $x=\frac{\pi }{4}$: $2\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

Se vuoi allenarti con un numero più ampio di casi di questo tipo, c’è la simulazione di goniometria, che ricalca la struttura dei compiti di quarta. Per l’impostazione di tutta la parte di calcolo trovi il resto del lavoro in matematica.

Gli errori che vedo più spesso

Dimenticare il periodo. Scrivere una sola famiglia per un seno o per un coseno, oppure usare $2k\pi$ per una tangente. Dopo aver diviso l’argomento per un coefficiente, il periodo si divide allo stesso modo. Da $3x=\cdots +2k\pi$ si ricava $x=\cdots +\frac{2k\pi }{3}$.

Dividere per $\cos x$ (o per ${\cos }^{2}x$) senza controllare. Con l’equazione $\sin x\cos x=\cos x$, dividere per $\cos x$ porta a $\sin x=1$ e cancella tutte le soluzioni di $\cos x=0$. Il modo giusto è raccogliere: $\cos x(\sin x-1)=0$, che dà $\cos x=0$ oppure $\sin x=1$. Mai semplificare un fattore che può annullarsi: si porta sempre a sinistra e si raccoglie.

Soluzioni estranee. Compaiono in due situazioni: se si eleva al quadrato (le soluzioni dell’equazione elevata vanno risostituite nell’originale), se nell’equazione c’è una $\tan x$ o un denominatore (le soluzioni con $\cos x=0$ si scartano). Una sostituzione finale, anche solo su un valore per famiglia, le intercetta quasi tutte.

Radici di $t$ fuori da $[-1,1]$. Nei trinomi in $\sin x$ o $\cos x$ non c’è niente da cercare quando $|t|>1$: va scritto “impossibile” e passare oltre, altrimenti si tentano arcoseni di valori non definiti.

Parametriche senza il controllo di $\pi$. Succede a quasi tutti la prima volta. Lo hai visto nell’esercizio 2.

Come ti preparo a novembre

Il compito di novembre quasi sempre contiene un’omogenea, una lineare e una di secondo grado, spesso con un argomento diverso da $x$ per vedere se sai gestire il periodo. Un buon allenamento è risolvere un’equazione per tipo, controllare sempre una soluzione per famiglia e scrivere una riga di verifica come quella degli esercizi sopra: il professore le legge, e ti salva dalle distrazioni.

Se arrivi a questo capitolo con dubbi sulle formule di addizione o sulle identità di base, conviene sistemare prima quelli: le equazioni sono solo la loro applicazione. Alle lezioni lavoriamo proprio così, partendo dai compiti dell’anno scorso e dagli errori che escono più spesso. Se vuoi una diagnosi gratuita per capire dove ti serve lavorare prima del compito, la prenoti da contatti.