Goniometria e trigonometria in quarta: preparare la verifica

In quarta la matematica cambia faccia. Fino a terza si lavorava quasi sempre nel piano cartesiano — rette, parabole, coniche — e gli strumenti erano pochi e riconoscibili. A settembre della quarta si apre il capitolo delle formule goniometriche e in poche settimane il libro passa da una manciata di regole a un elenco che sembra infinito: addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi, Werner. Il primo compito serio arriva di solito tra fine ottobre e novembre, sulle equazioni goniometriche; quello di dicembre è quasi sempre di trigonometria con discussione, e nelle scuole a trimestre più pentamestre cade a ridosso dello scrutinio di metà dicembre, cioè della prima pagella ufficiale.

È il momento in cui sento sempre la stessa frase: “devo imparare quaranta formule”. Non è vero, e soprattutto non funziona. In questo articolo ti dico da dove parte davvero il capitolo, dove si perdono i punti nelle verifiche di quarta e come si imposta il ripasso — con tre esercizi svolti del tipo che trovi nel compito.

Cosa chiede davvero la verifica di quarta

Nel liceo scientifico e nelle scienze applicate la scansione è quasi sempre questa: da settembre a ottobre le formule goniometriche e le equazioni (elementari, lineari, omogenee) più le disequazioni; da novembre a dicembre la trigonometria vera e propria, cioè triangoli rettangoli, teorema della corda, seni, Carnot, area e problemi con incognita angolare da discutere. Nel liceo delle scienze umane la goniometria arriva più tardi — di solito tra marzo e maggio, ridotta a radianti, archi associati ed equazioni elementari — quindi lì la verifica cade in primavera e quasi certamente non tocca le formule parametriche.

Il formato è abbastanza stabile: qualche esercizio in un’ora o due, tipicamente due equazioni, una disequazione, un’identità da dimostrare e un problema su un triangolo. Quasi mai è richiesta un’idea originale: è richiesto di riconoscere il tipo di esercizio e applicare il procedimento giusto senza perdere pezzi per strada. Ed è esattamente lì che si perdono i voti, non nella difficoltà teorica.

Una nota che vale la pena dire subito, perché a giugno torna: nel liceo scientifico il debito di quarta è quasi sempre “goniometria più limiti”. Non perché siano gli argomenti più difficili dell’anno, ma perché il primo si accumula da ottobre e il secondo arriva a maggio, quando ormai si è stanchi. Chi tiene la goniometria sotto controllo a novembre di solito non finisce alla prova di recupero di settembre.

Sei formule, non quaranta

Prima una divisione del lavoro, così non leggi due volte le stesse cose. La parte “statica” del capitolo — circonferenza goniometrica, valori notevoli di $30°$, $45°$ e $60°$, angoli associati, addizione e duplicazione con le loro derivazioni — l’ho già scritta per esteso nel post sulle formule di goniometria che servono davvero alla maturità: se quei pezzi non sono ancora automatici, parti da lì. Qui li do per acquisiti e vado dove la quarta ha i suoi problemi specifici: bisezione e parametriche, i tre tipi di equazione, la trigonometria con la discussione.

Il nucleo da automatizzare è fatto di sei formule. Le prime quattro:

Le altre due sono i teoremi che in quarta arrivano nuovi. Il teorema dei seni, in un triangolo qualsiasi di lati $a$, $b$, $c$, angoli opposti $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e circonferenza circoscritta di raggio $R$:

E il teorema del coseno, detto anche di Carnot:

Il motivo per cui conviene fermarsi a sei è pratico, non filosofico. Le formule goniometriche si assomigliano tutte: sotto tempo la memoria pura non distingue $\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ da $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$, e un segno sbagliato all’inizio manda a monte l’esercizio anche se i passaggi successivi sono impeccabili. E una lista imparata a memoria decade: chi impara quaranta righe a novembre ne ricorda otto a giugno, quando la trigonometria torna nei problemi di geometria solida e, in quinta, negli studi di funzione. Chi sa ricavare ne ricorda sei e ricostruisce le altre a comando.

Le altre formule della quarta — angoli associati, Werner, prostaferesi, più il metodo per le disequazioni goniometriche — le trovi raccolte per intero nel formulario di quarta, con un esempio svolto e un errore tipico per ciascuna sezione e dodici esercizi risolti: comodo per il ripasso finale, quando serve tutto sotto mano in un colpo d’occhio, non per impararle da capo qui.

Le formule che si ricavano in trenta secondi

Bisezione. Parti dalla forma $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ della duplicazione e risolvi rispetto a ${\sin }^2\alpha$: viene ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$, e ponendo $\alpha \to \frac{\alpha }{2}$

Il segno non si sceglie a caso: dipende dal quadrante in cui cade $\frac{\alpha }{2}$, ed è la prima cosa che il professore controlla.

Teorema della corda e area. Dal teorema dei seni segue che una corda vale $2R\sin \gamma$, dove $\gamma$ è un qualsiasi angolo alla circonferenza che la vede; e l’area di un triangolo è $\frac{1}{2}ab\sin \gamma$, perché l’altezza relativa ad $a$ vale $b\sin \gamma$. Sono due righe di derivazione, non due formule da memorizzare.

Formule parametriche. Con $t=\tan \frac{\alpha }{2}$ valgono:

Questa è l’unica coppia che conviene tenere scritta sul formulario mentale, ma con un avvertimento che vale più della formula stessa: le parametriche perdono sempre la soluzione $\alpha =\pi +2k\pi$, perché lì $\tan \frac{\alpha }{2}$ non esiste. Se usi le parametriche in un’equazione, devi verificare a parte se $x=\pi +2k\pi$ è soluzione. Chi non lo fa consegna un esercizio incompleto.

Equazioni goniometriche: dove si perdono le soluzioni

Le equazioni del programma di quarta sono di tre tipi, e ognuna ha la sua trappola.

Elementari ($\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$). Le famiglie di soluzioni le ho scritte tutte nel post sulla maturità; qui serve solo l’avvertimento operativo, cioè che per seno e coseno le famiglie sono due e non una. Se $\sin x=\frac{1}{2}$, oltre a $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ c’è anche $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, perché sulla circonferenza ci sono due punti con la stessa ordinata. Solo la tangente ne ha una sola, con periodo $\pi$.

Lineari ($a\sin x+b\cos x=c$). Si risolvono con l’angolo aggiunto — raccogliendo $\sqrt{a^2+b^2}$ e riconoscendo una formula di addizione — oppure con le parametriche, con la verifica di $x=\pi +2k\pi$ di cui sopra. Il metodo dell’angolo aggiunto è più veloce e non perde nulla: quando puoi, usa quello.

Omogenee ($a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=0$). Si dividono per ${\cos }^{2}x$ per ottenere un’equazione di secondo grado in $\tan x$. Ma dividere per ${\cos }^{2}x$ è lecito solo se $\cos x\ne 0$: prima di dividere devi verificare se $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ è soluzione dell’equazione di partenza. Nove volte su dieci non lo è e la verifica costa una riga; la decima volta hai salvato metà esercizio.

C’è poi un errore che non dipende dal tipo di equazione ma dall’argomento: se l’incognita compare come $2x$ o $x+\frac{\pi }{3}$, la periodicità va riportata indietro sull’incognita vera. Da $2x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ segue $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, non $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$: dividendo per due si dimezza anche il periodo. È forse l’errore più frequente in assoluto nei compiti di novembre.

Tre esercizi svolti

1. Equazione omogenea

Prima la verifica: se $\cos x=0$ allora ${\sin }^{2}x=1\ne 0$, quindi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ non è soluzione e possiamo dividere per ${\cos }^{2}x$:

Posto $t=\tan x$ si ha $t^2-3t+2=0$, cioè $t=1$ oppure $t=2$. Quindi

Il periodo è $\pi$ e non $2\pi$ perché l’equazione è stata ridotta alla tangente.

2. Equazione lineare

Qui $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$. Dividiamo tutto per 2:

I due coefficienti sono $\cos \frac{\pi }{3}$ e $\sin \frac{\pi }{3}$, quindi il primo membro è la formula di addizione del seno:

Da qui le due famiglie: $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ oppure $x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, cioè

Verifica veloce, che vale sempre la pena fare: per $x=\frac{\pi }{2}$ si ottiene $1+0=1$, e per $x=-\frac{\pi }{6}$

Entrambe corrette.

3. Triangolo qualsiasi

In un triangolo $ABC$ si sa che $a=7$, $b=5$ e l’angolo compreso $\gamma =60°$. Calcolare il terzo lato e l’angolo $\alpha$.

Il terzo lato con Carnot:

quindi $c=\sqrt{39}\approx 6,24$.

Per l’angolo $\alpha$ la tentazione è usare il teorema dei seni, ma è proprio lì che nasce la “discussione” che fa perdere punti: da $\sin \alpha$ si risalgono due angoli supplementari, e bisogna scegliere quello giusto. Con il teorema del coseno invece l’angolo è determinato, perché il coseno è iniettivo tra $0°$ e $180°$:

da cui $\alpha \approx 76°$. Il controllo di coerenza è immediato: $a$ è il lato maggiore, quindi $\alpha$ deve essere l’angolo maggiore — e $76°$ è effettivamente più grande di $\gamma =60°$ e del terzo angolo, che vale circa $44°$. Regola pratica: cerca i lati con il teorema dei seni, gli angoli con il teorema del coseno. Ti risparmia quasi tutte le discussioni.

Gli errori che vedo più spesso nei compiti di quarta

• Dividere per $\cos x$ (o per $\sin x$) senza verificare che non sia zero. È il modo numero uno di perdere metà delle soluzioni.
• Dimenticare la seconda famiglia nelle equazioni con seno o coseno, o scrivere $+2k\pi$ dove va $+k\pi$.
• Non riportare il periodo sull’incognita quando l’argomento è $2x$, $3x$ o $\frac{x}{2}$.
• Sbagliare quadrante nella bisezione. Il $\pm$ davanti alla radice non è decorativo: va deciso guardando dove cade $\frac{\alpha }{2}$.
• Scrivere $\sqrt{{\sin }^{2}x}=\sin x$. Vale $|\sin x|$, e nelle identità da dimostrare questo dettaglio è spesso l’intero esercizio.
• Mescolare gradi e radianti nello stesso esercizio: se lavori in radianti resta in radianti fino alla fine, e converti solo se il testo lo chiede.
• Nella trigonometria, non verificare che il triangolo esista. Un angolo trovato che, sommato agli altri, supera $180°$ va scartato: è la discussione del problema, non un dettaglio formale.

Le due settimane prima della verifica

Il ripasso che funziona non è rileggere il capitolo. È questo, in tre passaggi.

1. Scrivi le sei formule a memoria su un foglio bianco, ogni giorno, per una settimana. Due minuti al giorno. Se una non esce, quella è la tua priorità.
2. Ricava le derivate a partire dalle sei, senza guardare il libro: duplicazione, bisezione, teorema della corda, area. Se ci metti più di un minuto a formula, ripeti il giorno dopo.
3. Fai esercizi divisi per tipo, non a caso. Cinque equazioni elementari di fila, poi cinque lineari, poi cinque omogenee. Il compito richiede di riconoscere il tipo in dieci secondi, e il riconoscimento si allena solo vedendo gli esercizi vicini tra loro, non alternati.

Negli ultimi due giorni, una prova a tempo nel formato del compito, corretta classificando ogni errore: teoria mancante, calcolo sbagliato, oppure procedimento giusto ma soluzione persa. Sono tre problemi diversi con tre rimedi diversi, e distinguerli vale più di altri dieci esercizi.

Se il problema non è la preparazione ma il vuoto che arriva nei primi cinque minuti, vale la pena lavorare anche su quello: ne ho scritto in come gestire l’ansia da verifica in matematica e fisica.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

Con la goniometria il mio ordine di lavoro è sempre lo stesso: prima la circonferenza disegnata, poi le sei formule, poi le derivazioni fatte a voce dallo studente — non da me. Chi ricava la formula di duplicazione da solo tre volte non la dimentica più; chi la legge sul formulario trenta volte la confonde comunque a dicembre.

Sui problemi di trigonometria lavoriamo soprattutto sulla discussione: quali soluzioni sono geometricamente accettabili, perché un angolo va scartato, come si imposta la condizione sull’incognita angolare. È una competenza diversa dal calcolo e va allenata a parte. Le lezioni sono online e uno-a-uno: 40 € l’ora, oppure 360 € per un pacchetto di 10 ore (36 €/h) se la quarta è partita male e serve un percorso più lungo.

Il modo più rapido per capire a che punto sei è provare il quiz di goniometria: quindici domande a risposta multipla senza penalità, su angoli notevoli, identità e formule. Se invece il compito che ti aspetta è quello di dicembre, con i triangoli e la discussione, la prova mirata è la verifica simulata di trigonometria: quindici quesiti in cinquanta minuti su teorema della corda, dei seni e di Carnot, con il dettaglio dei punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo il quiz vedi che le equazioni reggono ma la trigonometria no (o viceversa), scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente quante lezioni servono. Il quadro completo di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di matematica.