Elettrostatica e circuiti: la verifica

L’elettrostatica arriva al liceo scientifico tra gennaio e marzo di quarta (al classico, allo scienze umane e al linguistico un anno più tardi, a settembre-dicembre di quinta), e apre il blocco che occuperà tutto il resto del percorso di fisica fino alla maturità. Il compito è quasi sempre in due parti: una di elettrostatica pura — cariche, campo, potenziale — e una di circuiti in corrente continua, con le resistenze da ridurre.

Il problema che vedo più spesso non è il calcolo. È che in tre settimane arrivano quattro grandezze che si somigliano nel nome e si comportano in modo diverso — forza, campo, energia potenziale, potenziale — e nessuno le mette in fila una accanto all’altra. Chi non fa quella tabella confonde $E$ e $V$ per tutto l’anno, e alla maturità paga di nuovo.

Qui trovi le quattro grandezze messe in fila, il metodo per ridurre un circuito, tre esercizi svolti con i conti per esteso e i cinque errori che costano più punti.

Coulomb: la stessa forma della gravitazione, due differenze

F = k \frac{∣ q _{1} ∣ ∣ q _{2} ∣}{r ^{2}}, k = \frac{1}{4 π ε _{0}} \approx 8, 99 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}

La struttura è identica a quella della legge di gravitazione universale: prodotto delle “cariche” diviso il quadrato della distanza. Le differenze sono due, ed entrambe sono materia da quesito di teoria.

La forza elettrica può essere attrattiva o repulsiva, quella gravitazionale solo attrattiva. Per questo nella formula si usano i moduli delle cariche: il verso lo decidi dal disegno, guardando i segni, non dal risultato del conto. Chi mette i segni dentro la formula ottiene forze negative che non sa interpretare.

È enormemente più intensa. Fra due protoni la forza elettrica è circa $1 0^{36}$ volte quella gravitazionale. È il motivo per cui nei problemi di elettrostatica il peso delle particelle si trascura sempre, salvo quando il testo dice esplicitamente il contrario.

Le quattro grandezze, in fila

Questa è la tabella che vale la pena avere davanti per tutto il capitolo. Le prime due dipendono dalla carica di prova, le altre due no.

Grandezza	Simbolo	Vettore o scalare?	Formula (carica puntiforme)	Unità
Forza	$F$	vettore	$F = k \frac{∣ q _{1} q _{2} ∣}{r ^{2}}$	N
Campo elettrico	$E$	vettore	$E = k \frac{∣ Q ∣}{r ^{2}}$	N/C = V/m
Energia potenziale	$U$	scalare	$U = k \frac{q _{1} q _{2}}{r}$	J
Potenziale	$V$	scalare	$V = k \frac{Q}{r}$	V

Le relazioni fra loro sono due sole, e vale la pena leggerle come definizioni:

E = \frac{F}{q}, V = \frac{U}{q}

Detto a parole: campo e potenziale descrivono lo spazio, forza ed energia descrivono cosa succede a una carica messa lì dentro. Il campo esiste anche se non c’è nessuna carica di prova; la forza no.

Le due differenze da tenere a mente per non confondere $E$ e $V$ : il campo è un vettore e va come $1/ r^{2}$ , il potenziale è uno scalare e va come $1/ r$ . E nel potenziale il segno della carica si mette dentro: una carica negativa genera potenziale negativo. Nel campo no, si usa il modulo e il verso lo dà il disegno (uscente dalle cariche positive, entrante in quelle negative).

Il lavoro della forza elettrica per spostare una carica da A a B è

L_{A B} = q (V_{A} - V_{B}) = - Δ U

e in un campo uniforme — quello fra le armature di un condensatore piano — le formule si semplificano:

E = \frac{Δ V}{d}, L = q E d

Condensatori

C = \frac{Q}{Δ V}, C_{piano} = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d}, W = \frac{1}{2} C Δ V^{2}

La capacità si misura in farad, e il farad è enorme: nei problemi trovi microfarad ( $1 0^{- 6}$ F) e picofarad ( $1 0^{- 12}$ F). Il dielettrico fra le armature aumenta la capacità di un fattore $ε_{r}$ , che è sempre maggiore di 1.

L’insidia sta nei collegamenti, perché per i condensatori valgono le formule scambiate rispetto alle resistenze:

parallelo: C_{eq} = C_{1} + C_{2}, serie: \frac{1}{C _{eq}} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}

Non è una cattiveria del libro: in parallelo le armature affiancate offrono più superficie, e più superficie significa più capacità.

Corrente, Ohm e Joule

i = \frac{Δ q}{Δ t}, Δ V = R i, R = ρ \frac{l}{S}, P = Δ V i = R i^{2}

La prima legge di Ohm ( $Δ V = R i$ ) lega tensione e corrente; la seconda ( $R = ρl / S$ ) dice da cosa dipende la resistenza: materiale, lunghezza e sezione. Un filo più lungo resiste di più, uno più grosso di meno — l’analogia con l’acqua in un tubo qui funziona davvero.

Per i resistori:

serie: R_{eq} = R_{1} + R_{2}, parallelo: \frac{1}{R _{eq}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

Il criterio per riconoscerli in uno schema, senza guardare come è disegnato:

in serie se sono attraversati dalla stessa corrente, cioè se fra l’uno e l’altro non c’è nessun nodo;
in parallelo se hanno ai capi la stessa tensione, cioè se sono attaccati agli stessi due nodi.

Due controlli che salvano l’esercizio: la resistenza equivalente di una serie è sempre maggiore della più grande del gruppo; quella di un parallelo è sempre minore della più piccola. Se ti viene il contrario, hai sbagliato formula.

Tre esercizi svolti

1. Forza fra due cariche

Due cariche puntiformi $q_{1} = + 3, 0 μ C$ e $q_{2} = - 2, 0 μ C$ sono a distanza $r = 0, 20$ m. Calcola la forza fra loro.

Prima le conversioni: $3, 0 μ C = 3, 0 \times 1 0^{- 6}$ C e $2, 0 μ C = 2, 0 \times 1 0^{- 6}$ C.

F = 8, 99 \times 1 0^{9} \cdot \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{- 6} \cdot 2 , 0 \times 1 0 ^{- 6}}{( 0 , 20 ) ^{2}} = 8, 99 \times 1 0^{9} \cdot \frac{6 , 0 \times 1 0 ^{- 12}}{0 , 040}

F \approx 1, 3 N

Le cariche hanno segno opposto, quindi la forza è attrattiva: ciascuna è diretta verso l’altra. Questa frase va scritta — è metà della risposta, e il conto da solo non la contiene.

2. Campo e potenziale generati da una carica

Una carica $Q = + 5, 0$ nC. Trova il campo elettrico e il potenziale a $r = 0, 10$ m di distanza.

E = 8, 99 \times 1 0^{9} \cdot \frac{5 , 0 \times 1 0 ^{- 9}}{( 0 , 10 ) ^{2}} \approx 4, 5 \times 1 0^{3} N/C

V = 8, 99 \times 1 0^{9} \cdot \frac{5 , 0 \times 1 0 ^{- 9}}{0 , 10} \approx 4, 5 \times 1 0^{2} V

Il campo è diretto radialmente verso l’esterno, perché la carica è positiva; il potenziale è un numero, positivo, senza direzione.

Nota il rapporto fra i due valori: $V = E \cdot r$ per una carica puntiforme, ed è un controllo veloce. Ma attenzione, vale solo in questo caso: nel campo uniforme la relazione è $Δ V = E d$ con $d$ distanza fra le armature, e in generale il legame è più complicato.

3. Circuito con serie e parallelo

Un generatore da $12$ V alimenta $R_{1} = 6, 0 Ω$ in serie con il parallelo fra $R_{2} = 6, 0 Ω$ e $R_{3} = 3, 0 Ω$ . Trova la corrente totale, la tensione su ciascun resistore e la potenza dissipata.

Prima il parallelo, che è il “blocco più interno”:

R_{23} = \frac{R _{2} \cdot R _{3}}{R _{2} + R _{3}} = \frac{6 , 0 \cdot 3 , 0}{9 , 0} = 2, 0 Ω

Il controllo torna: $2, 0 Ω$ è minore della più piccola delle due, cioè $3, 0 Ω$ .

Ora la serie:

R_{tot} = R_{1} + R_{23} = 6, 0 + 2, 0 = 8, 0 Ω

i = \frac{Δ V}{R _{tot}} = \frac{12}{8 , 0} = 1, 5 A

Questa corrente attraversa tutta $R_{1}$ , quindi

Δ V_{1} = R_{1} i = 6, 0 \cdot 1, 5 = 9, 0 V

e sul parallelo resta $12 - 9, 0 = 3, 0$ V, la stessa su entrambi i resistori:

i_{2} = \frac{3 , 0}{6 , 0} = 0, 50 A, i_{3} = \frac{3 , 0}{3 , 0} = 1, 0 A

La somma è $1, 5$ A, cioè la corrente totale: il conto è coerente. Infine la potenza:

P = Δ V \cdot i = 12 \cdot 1, 5 = 18 W

Osserva che nel parallelo la resistenza minore si prende la corrente maggiore. È il controllo di plausibilità più rapido su questo tipo di esercizio.

I cinque errori che costano più punti

1. Confondere campo e potenziale. $E$ è un vettore che va come $1/ r^{2}$ , $V$ è uno scalare che va come $1/ r$ . Se sommi due campi come se fossero numeri, stai sbagliando: i campi si sommano vettorialmente, i potenziali algebricamente. Questo è, di gran lunga, l’errore più costoso del capitolo.

2. Confondere potenziale ed energia potenziale. $V$ è una proprietà del punto dello spazio, $U$ dipende anche dalla carica che ci metti dentro: $U = q V$ . Un punto ha un potenziale anche se non c’è nessuna carica.

3. Invertire le formule di serie e parallelo dei condensatori. Sono opposte a quelle dei resistori. È l’errore che il compito controlla apposta con un esercizio breve.

4. Dimenticare di invertire alla fine del parallelo. Con $1/ R_{eq} = 1/6 + 1/3 = 1/2$ la risposta è $R_{eq} = 2 Ω$ , non $0, 5 Ω$ . Il controllo “minore della più piccola” la intercetta sempre.

5. Non convertire i sottomultipli. $μ C$ , nC, pF, k $Ω$ , mA: le conversioni vanno fatte prima di toccare la calcolatrice, e la distanza va elevata al quadrato dopo essere stata portata in metri.

Altri errori di impostazione che ricorrono in tutta la fisica del liceo — segni, unità, lettura del testo — li ho raccolti in errori tipici di fisica al liceo.

Le due settimane prima della verifica

Rifai la tabella delle quattro grandezze su un foglio bianco, ogni giorno per una settimana. Colonne: vettore o scalare, come dipende da $r$ , unità di misura. Due minuti, ed è l’esercizio che rende di più.
Fai cinque riduzioni di circuito senza calcolare niente: solo scrivere quali resistori sono in serie e quali in parallelo, partendo dal blocco più interno. La riduzione sbagliata è la causa numero uno degli esercizi persi.
Fai cinque problemi di Coulomb con più di due cariche, che sono quelli in cui serve sommare vettorialmente e dove si perde più tempo se non si è allenati.
Negli ultimi due giorni una prova a tempo, e correggila classificando ogni errore in tre categorie: formula sbagliata, conversione sbagliata, impostazione sbagliata. Sono tre problemi diversi con tre rimedi diversi.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

La prima cosa che faccio su questo capitolo è la tabella delle quattro grandezze, costruita insieme allo studente, non consegnata già fatta. Poi ci torniamo sopra a ogni esercizio: “questo è un vettore o uno scalare? dipende dalla carica di prova?”. Sono due domande che in tre lezioni diventano automatiche e chiudono da sole metà degli errori del compito.

Sui circuiti lavoro con lo schema ridisegnato: quasi tutti gli errori nascono dal leggere il disegno del libro invece di riscrivere il circuito raggruppando i blocchi. Ridisegnarlo costa un minuto e vale l’esercizio. Le lezioni sono online e uno-a-uno: 40 € l’ora, oppure 360 € per un pacchetto di 10 ore (36 €/h) se conviene coprire tutto il blocco elettrico invece del singolo compito.

Il modo più rapido per capire a che punto sei è provare la verifica simulata su elettrostatica e circuiti: quindici quesiti in cinquanta minuti, con il dettaglio dei punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo la prova vedi che l’elettrostatica regge ma i circuiti no (o viceversa), scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente quante lezioni servono. Il quadro completo di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di fisica.

Elettrostatica e circuiti: preparare la verifica di quarta