Lavoro ed energia: il compito di 3ª

In terza la fisica passa da due a tre ore e cambia natura: smette di essere descrittiva e diventa quantitativa. Il compito su lavoro ed energia, che cade quasi sempre tra novembre e la metà di dicembre, è il punto in cui questo salto diventa un voto — ed è, insieme a quello sui vettori di prima, la verifica di fisica in cui vedo più insufficienze inattese.

Il motivo non è la difficoltà delle formule, che sono quattro. È che questo capitolo, per la prima volta, chiede una scelta: davanti a un problema bisogna decidere se usare la dinamica, la conservazione dell’energia o la quantità di moto. Chi ha studiato solo le formule le prova tutte finché una dà un numero; chi ha capito il criterio impiega dieci secondi.

Qui trovi il criterio, le formule che servono, tre esercizi svolti con i conti per esteso e i cinque errori che costano più punti.

L’idea: l’energia è una scorciatoia, non una formula in più

Tutto quello che si risolve con l’energia si potrebbe risolvere con $F = ma$ e la cinematica. Il punto è che spesso non conviene, e a volte non si può: se la forza cambia lungo il percorso, o il percorso è curvo, la dinamica diventa impraticabile a livello di terza.

L’energia aggira il problema perché ignora la strada e guarda solo gli estremi: dove parti, dove arrivi, e quanta energia c’è stata scambiata nel mezzo. Un corpo che scende da un’altezza $h$ lungo uno scivolo curvo arriva in fondo con la stessa velocità che avrebbe scendendo da un piano inclinato liscio della stessa altezza, e con l’energia questo si vede in una riga.

È per questo che il capitolo si chiama “conservazione”: non è una formula nuova, è un modo di guardare lo stesso problema che salta tutti i passaggi intermedi.

Il lavoro, e il segno che tutti sbagliano

L = F \cdot s = F s cos θ

dove $θ$ è l’angolo fra la forza e lo spostamento. Il coseno è tutta la fisica di questa formula:

Angolo fra $F$ e $s$	$cos θ$	Lavoro	Esempio tipico
$0°$	$+ 1$	motore, positivo	forza peso in discesa
fra $0°$ e $90°$	fra 0 e 1	positivo, ridotto	traino con fune inclinata
$90°$	$0$	nullo	reazione normale, forza centripeta
$180°$	$- 1$	resistente, negativo	attrito, forza peso in salita

La riga da memorizzare è la terza: una forza perpendicolare allo spostamento non compie lavoro. La reazione normale del piano non compie mai lavoro, la forza centripeta nel moto circolare uniforme nemmeno, e la tensione di un filo in un pendolo neppure. Ogni anno vedo compiti in cui vengono sommate al bilancio energetico: sono punti regalati.

L’unità è il joule, $1 J = 1 N \cdot m$ . La potenza è il lavoro nel tempo:

P = \frac{L}{Δ t} = F v

Il teorema dell’energia cinetica

L_{tot} = Δ K = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

Il lavoro totale — di tutte le forze, attrito compreso — è uguale alla variazione di energia cinetica. È il teorema più generale del capitolo: vale sempre, con o senza attrito, con forze costanti o variabili.

Due conseguenze utili in compito: se la velocità non cambia, il lavoro totale è zero (non che non ci siano forze, ma che i loro lavori si annullano); e se il corpo parte da fermo, $Δ K$ è semplicemente $\frac{1}{2} m v_{f}^{2}$ , senza sottrazioni.

Conservazione, con e senza attrito

Le forze conservative (peso, forza elastica) hanno un’energia potenziale associata:

U_{g} = m g h, U_{e} = \frac{1}{2} k x^{2}

Se agiscono solo forze conservative, l’energia meccanica $E = K + U$ si conserva:

K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}

Se c’è attrito — cioè quasi sempre, nei problemi di dicembre — l’energia meccanica non si conserva, e la differenza è esattamente il lavoro dell’attrito, che è negativo:

E_{f} - E_{i} = L_{attrito} = - μ_{d} N d

Su un piano orizzontale $N = m g$ ; su un piano inclinato di angolo $θ$ vale $N = m g cos θ$ . Il $cos θ$ è la seconda fonte di errori del compito dopo il segno del lavoro.

Nota di metodo: puoi scrivere il bilancio in due modi equivalenti — “energia iniziale meno energia dissipata uguale energia finale”, oppure “variazione di energia meccanica uguale lavoro dell’attrito”. Scegline uno e usa sempre quello. Alternarli è il modo più rapido per sbagliare un segno.

Quantità di moto e urti

p = m v, J = F Δ t = Δ p

La regola che risolve gli esercizi sugli urti sta in una riga: in ogni urto la quantità di moto totale del sistema si conserva; l’energia cinetica no, tranne che negli urti elastici.

Tipo di urto	Si conserva $p$ ?	Si conserva $K$ ?	Cosa succede
Elastico	sì	sì	i corpi rimbalzano
Anelastico	sì	no	parte di $K$ diventa calore e deformazione
Completamente anelastico	sì	no (perdita massima)	i corpi restano attaccati

Il caso completamente anelastico è quello che esce quasi sempre, perché si risolve in due righe: dopo l’urto i corpi hanno la stessa velocità.

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + m_{2}) v_{f}

Energia o quantità di moto? Il criterio

Questa è la domanda che decide il compito, e la risposta è breve:

c’è un urto o un’esplosione → parti dalla quantità di moto, sempre;
c’è una salita, una discesa, una molla, uno scivolo → parti dall’energia;
ti chiedono una forza, un’accelerazione o un tempo → serve la dinamica, $F = ma$ ;
negli urti anelastici, l’energia cinetica persa è una domanda legittima, ma si calcola dopo aver trovato la velocità finale con la quantità di moto. Non è mai il punto di partenza.

Il segnale linguistico più affidabile nel testo di un problema è la parola “urta”, “colpisce”, “si conficca”, “resta attaccato”: da lì si parte sempre da $p$ .

Tre esercizi svolti

1. Piano inclinato con attrito

Un corpo di massa $m = 2, 0$ kg parte da fermo e scende lungo un piano inclinato di $30°$ per una lunghezza $d = 4, 0$ m. Il coefficiente di attrito dinamico è $μ_{d} = 0, 20$ . Con quale velocità arriva in fondo? (Usa $g = 9, 8 m/ s^{2}$ .)

Prima cosa, l’altezza — non la lunghezza del piano:

h = d sin 30° = 4, 0 \cdot 0, 50 = 2, 0 m

Energia potenziale iniziale:

U_{i} = m g h = 2, 0 \cdot 9, 8 \cdot 2, 0 = 39, 2 J

Energia dissipata dall’attrito, con $N = m g cos 30°$ :

∣ L_{attrito} ∣ = μ_{d} m g cos 30° \cdot d = 0, 20 \cdot 2, 0 \cdot 9, 8 \cdot 0, 866 \cdot 4, 0 \approx 13, 6 J

Il bilancio energetico dà l’energia cinetica finale:

K_{f} = U_{i} - ∣ L_{attrito} ∣ = 39, 2 - 13, 6 = 25, 6 J

E infine la velocità:

v_{f} = \frac{2 K _{f}}{m} = \frac{2 \cdot 25 , 6}{2 , 0} \approx 5, 1 m/s

Controllo di senso: senza attrito sarebbe stata $2 g h = 6, 3$ m/s. Con l’attrito deve venire meno, e viene meno. Se ti fosse venuta di più, l’errore sarebbe stato un segno.

2. Urto completamente anelastico

Un carrello di $3, 0$ kg viaggia a $4, 0$ m/s e urta un carrello fermo di $1, 0$ kg; dopo l’urto restano agganciati. Trova la velocità finale e l’energia cinetica persa.

C’è un urto: si parte dalla quantità di moto.

p_{i} = 3, 0 \cdot 4, 0 + 1, 0 \cdot 0 = 12 kg \cdot m/s

v_{f} = \frac{p _{i}}{m _{1} + m _{2}} = \frac{12}{4 , 0} = 3, 0 m/s

Ora, e solo ora, l’energia:

K_{i} = \frac{1}{2} \cdot 3, 0 \cdot 4, 0^{2} = 24 J, K_{f} = \frac{1}{2} \cdot 4, 0 \cdot 3, 0^{2} = 18 J

Sono andati persi $6$ J, cioè il 25% dell’energia iniziale, trasformati in calore e deformazione. Non è un errore di calcolo: è quello che significa “anelastico”.

3. Molla e altezza massima

Una molla di costante $k = 200$ N/m, compressa di $x = 0, 10$ m, lancia un blocco di $m = 0, 50$ kg su un piano orizzontale liscio, che poi prosegue in una salita liscia. Trova la velocità sul piano e la quota massima raggiunta.

Energia elastica immagazzinata:

U_{e} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0, 10)^{2} = 1, 0 J

Tutto liscio, quindi si conserva: diventa energia cinetica sul piano.

v = \frac{2 U _{e}}{m} = \frac{2 \cdot 1 , 0}{0 , 50} = 2, 0 m/s

In salita la stessa energia diventa potenziale gravitazionale:

h = \frac{U _{e}}{m g} = \frac{1 , 0}{0 , 50 \cdot 9 , 8} \approx 0, 20 m

Nota che la massa non serviva per la quota se ragioni in termini di velocità ( $h = v^{2} /2 g$ ), e che la forma della salita è irrilevante: è esattamente il vantaggio dell’approccio energetico.

I cinque errori che costano più punti

1. Usare la lunghezza del piano al posto dell’altezza. In $U = m g h$ , $h$ è la quota verticale: su un piano inclinato è $d sin θ$ , non $d$ . È l’errore più frequente in assoluto di questo compito.

2. Conservare l’energia meccanica quando c’è attrito. Se il testo dà un coefficiente di attrito, l’energia meccanica non si conserva. Il coefficiente è nel testo proprio per verificare che tu lo sappia.

3. Sbagliare il segno del lavoro. L’attrito compie sempre lavoro negativo; la forza peso lo compie positivo in discesa e negativo in salita. Se un’energia ti viene negativa, il segno è quasi sempre il colpevole.

4. Mettere nel bilancio forze che non lavorano. Reazione normale, tensione del filo di un pendolo, forza centripeta: perpendicolari allo spostamento, lavoro nullo.

5. Applicare la conservazione dell’energia cinetica in un urto anelastico. Si conserva $p$ , non $K$ . È l’errore che rende impossibile il problema, perché porta a un sistema senza soluzione.

C’è poi un sesto errore che non è di fisica ma pesa: le unità. Massa in kg, distanze in m, velocità in m/s. Un problema con i grammi o i km/h da convertire c’è quasi sempre, ed è messo lì apposta.

Le due settimane prima della verifica

Ogni giorno, per una settimana, scrivi su un foglio bianco le quattro formule ( $L$ , $K$ , $U_{g}$ , $U_{e}$ ) e il teorema dell’energia cinetica. Due minuti.
Prendi dieci problemi e scrivi solo quale principio useresti, senza risolverli: energia, quantità di moto o dinamica. È l’esercizio che rende di più in assoluto per questo compito.
Fai cinque problemi di piano inclinato con attrito di fila, che è la tipologia più probabile, e cinque urti completamente anelastici.
Controlla ogni risultato con il buon senso: la velocità con attrito deve essere minore di quella senza, l’energia cinetica dopo un urto anelastico minore di prima. Un controllo di plausibilità intercetta più errori di una rilettura.

Gli errori di impostazione ricorrenti in tutta la fisica del liceo — unità, segni, lettura del testo — li ho raccolti in errori tipici di fisica al liceo.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

Su questo capitolo la mia prima lezione non contiene quasi conti. Prendiamo dieci testi di problemi e per ciascuno decidiamo, in dieci secondi, da quale principio partire e perché. Solo dopo si risolve. Chi arriva al compito sapendo scegliere il principio finisce l’ora con tutti gli esercizi fatti; chi le prova tutte ne consegna metà, anche sapendo le formule a memoria.

La seconda cosa su cui insisto è il disegno con le forze e le quote segnate prima di scrivere qualsiasi equazione: dove metti lo zero dell’energia potenziale è una tua scelta, ma va scritta, altrimenti i segni diventano casuali. Le lezioni sono online e uno-a-uno: 40 € l’ora, oppure 360 € per un pacchetto di 10 ore (36 €/h) se in terza il salto di difficoltà ha lasciato buchi anche sui vettori e sulla dinamica.

Il modo più rapido per capire a che punto sei è provare la verifica simulata su lavoro ed energia: quindici quesiti in cinquanta minuti, con il dettaglio dei punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo la prova vedi che l’energia regge ma gli urti no (o viceversa), scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente quante lezioni servono. Il quadro completo di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di fisica.

Lavoro, energia e urti: il compito di dicembre di fisica in terza