Scomposizione delle forze: i vettori in terza senza trigonometria

C’è un problema di calendario che nessuno vi spiega, e che al classico, al liceo delle scienze umane, al linguistico e all’artistico si ripete identico ogni anno. In terza comincia la fisica: due ore a settimana, e già a novembre il libro chiede di scomporre una forza lungo due direzioni perpendicolari, cioè di usare seno e coseno. Aprite il libro di matematica: la goniometria sta a fine terza se va molto bene, più realisticamente in quarta, e al classico arriva addirittura tra febbraio e aprile del quarto anno.

Quindi la prima verifica seria di fisica dell’anno vi chiede uno strumento che il vostro programma di matematica non vi ha ancora dato. Non è una vostra lacuna: è un disallineamento tra due programmi ministeriali che nessuno dei due professori è tenuto a risolvere.

La buona notizia è che la trigonometria che serve per scomporre un vettore è una porzione piccolissima di quella che studierete in quarta: due definizioni e quattro valori numerici, mezz’ora di lavoro. Archi associati, identità ed equazioni goniometriche non c’entrano niente con la fisica di terza.

Qui trovo che cosa esce davvero nel compito, la mezz’ora di trigonometria minima, il metodo in cinque passi che faccio usare a tutti, gli errori che vedo ripetersi e tre esercizi svolti per intero.

Che cosa esce davvero nel compito di novembre

Nel primo periodo di terza il programma di fisica di classico, LSU, LES, linguistico e artistico è quasi sempre questo: grandezze e misura, unità del SI, notazione scientifica e grafici tra settembre e ottobre; da novembre a dicembre vettori, forze, forza peso, legge di Hooke e attrito; da gennaio equilibrio, momenti e leve; poi i fluidi.

Il compito di novembre pesca quasi sempre da quattro famiglie:

1. Somma di due o più vettori che non sono paralleli, da fare per componenti.
2. Scomposizione di una forza lungo due assi scelti da voi, tipicamente su un piano inclinato.
3. Equilibrio di un punto: un corpo appeso a due funi, o tenuto fermo su un piano inclinato.
4. Legge di Hooke e attrito dentro uno degli esercizi sopra, di solito come ultima domanda.

Le prime tre richiedono seno e coseno. La quarta no, ma la usano per far girare il risultato di una delle prime tre. Se la scomposizione regge, il compito è fatto.

La mezz’ora di trigonometria che vi basta

Prendete un triangolo rettangolo. Fissate uno dei due angoli acuti e chiamatelo $\theta$. Dei tre lati, uno è l’ipotenusa, uno è il cateto adiacente a $\theta$ (quello che tocca l’angolo) e uno è il cateto opposto (quello che sta di fronte).

Seno e coseno sono due rapporti, e basta:

Da qui, girando le formule, si ottengono le due che userete davvero:

Questo è tutto. Nella fisica di terza l’ipotenusa è il modulo del vettore e i due cateti sono le sue componenti. Scomporre una forza significa disegnare quel triangolo rettangolo e leggerlo.

I valori che vi servono a memoria sono quattro, più i due casi limite:

Due controlli mentali che valgono più di qualsiasi formula. Primo: seno e coseno di un angolo acuto stanno sempre tra 0 e 1, quindi una componente non può mai venire più grande del modulo del vettore. Se vi esce così, avete moltiplicato invece di dividere o avete sbagliato tasto. Secondo: quando l’angolo cresce da $0°$ a $90°$, il seno cresce e il coseno cala. A $30°$ il seno è piccolo (0,50) e il coseno grande (0,87); a $60°$ è il contrario. Se avete un dubbio su quale dei due usare, immaginate l’angolo che si schiaccia verso zero: la componente che sopravvive va con il coseno, quella che sparisce va con il seno.

Il metodo in cinque passi

Questo è l’ordine che faccio scrivere sul foglio prima ancora di guardare i numeri. Sembra pedante, ma è esattamente ciò che separa un 5 da un 8 in una verifica di due ore.

1. Disegnate. Il corpo come un punto, tutte le forze come frecce che partono da quel punto. Nessuna freccia in più: se non sapete dire chi la esercita, quella forza non esiste.
2. Scegliete gli assi e dichiarateli. Scrivete sul foglio “prendo $x$ orizzontale verso destra, $y$ verticale verso l’alto” — oppure, sul piano inclinato, ”$x$ parallelo al piano diretto verso il basso, $y$ perpendicolare al piano”. La scelta è vostra e non è mai sbagliata: è sbagliato non dichiararla o cambiarla a metà.
3. Scomponete una forza alla volta. Per ciascuna, tracciate il triangolo rettangolo con la forza come ipotenusa e i due cateti lungo gli assi. Guardate dove sta l’angolo: se è attaccato all’asse $x$, allora $F_x=F\cos \theta$ e $F_y=F\sin \theta$; se è attaccato all’asse $y$, i ruoli si scambiano.
4. Mettete i segni. Le componenti sono numeri con segno: positive se puntano nel verso dell’asse, negative se puntano al contrario. Questo è il passaggio in cui si perdono più punti di ogni altro.
5. Sommate per componenti, poi ricomponete. La risultante ha $R_x=\sum F_x$ e $R_y=\sum F_y$, e il suo modulo è

che è Pitagora, non trigonometria: quello lo avete già fatto in seconda.

Se il problema è di equilibrio, il passo 5 diventa più semplice ancora: imponete $R_x=0$ e $R_y=0$ e risolvete il sistema. Due equazioni, di solito due incognite.

Se volete vedere quanto è automatico, la simulazione di fisica con vettori, forze ed equilibrio è tarata esattamente su questo blocco di programma. È etichettata “prima superiore” perché allo scientifico questi argomenti si fanno in prima, ma il contenuto è il vostro programma di terza, identico. La risposta corretta è gratis; la soluzione guidata passo per passo si sblocca con la prima lezione.

I quattro errori che costano punti

Sommare i moduli invece delle componenti. Due forze da 3 N e 4 N danno 7 N solo se sono parallele e concordi. Se sono perpendicolari danno 5 N, per Pitagora. Se formano un angolo qualsiasi, danno un valore compreso tra 1 N e 7 N e va calcolato per componenti. Il numero 7 su un compito di novembre è quasi sempre il segnale che lo studente non ha disegnato niente.

Scambiare seno e coseno. Non succede perché non si sa la formula, succede perché non si guarda dove sta l’angolo. La regola operativa: la componente vicina all’angolo va con il coseno, quella lontana con il seno. Verificatela sempre con il controllo dell’angolo che va a zero.

Perdere i segni. Sul piano inclinato la componente del peso parallela al piano è negativa se avete scelto $x$ verso l’alto, positiva se lo avete scelto verso il basso. Entrambe le scelte sono legittime; scriverla positiva quando avete dichiarato $x$ verso l’alto no.

Usare l’angolo sbagliato sul piano inclinato. L’angolo del piano compare tra la forza peso e la perpendicolare al piano, non tra il peso e il piano stesso: da qui l’errore più diffuso della terza, invertire $P\sin \alpha$ e $P\cos \alpha$. La dimostrazione geometrica è nell’esercizio 2, e vale la pena rifarla una volta invece di imparare a memoria quale va dove.

Su questo e sugli altri scivoloni ricorrenti ho scritto un pezzo a parte, gli errori tipici di fisica al liceo, che copre anche gli anni successivi.

Esercizio 1 — somma di due forze non parallele

Su un punto materiale agiscono due forze complanari: $F_1=12\text{N}$ diretta orizzontalmente verso destra e $F_2=8,0\text{N}$ inclinata di $60°$ sopra l’orizzontale. Determinare modulo della risultante.

Assi: $x$ orizzontale verso destra, $y$ verticale verso l’alto.

$F_1$ è già lungo $x$, quindi $F_{1x}=12\text{N}$ e $F_{1y}=0$.

$F_2$ forma $60°$ con l’asse $x$, e l’angolo è attaccato a $x$: la componente lungo $x$ va con il coseno.

Somma per componenti:

Modulo:

Controllo di ragionevolezza: la somma dei moduli sarebbe 20 N, la differenza 4 N. Il risultato deve stare in mezzo, e 17,5 N ci sta. Chi avesse scritto 20 N avrebbe sommato i moduli di due vettori non paralleli.

Esercizio 2 — corpo fermo su un piano inclinato

Un blocco di massa $m=5,0\text{kg}$ è appoggiato su un piano inclinato di $30°$ rispetto all’orizzontale, ed è tenuto fermo. Calcolare la componente della forza peso parallela al piano e quella perpendicolare, con $g=9,8{\text{m/s}}^2$.

Peso: $P=mg=5,0\cdot 9,8=49\text{N}$, diretto verticalmente verso il basso.

Assi: $x$ parallelo al piano, verso il basso lungo la discesa; $y$ perpendicolare al piano, uscente.

Ora la geometria, che è il punto vero dell’esercizio. Il peso è verticale; l’asse $y$ è perpendicolare al piano inclinato, che a sua volta è inclinato di $\alpha =30°$ rispetto all’orizzontale. Due rette perpendicolari a due rette che formano tra loro un angolo $\alpha$ formano tra loro lo stesso angolo $\alpha$. Quindi l’angolo tra il peso e l’asse $y$ vale proprio $30°$: l’angolo del piano si ritrova tra il peso e la perpendicolare al piano, non tra il peso e il piano.

L’angolo è dunque attaccato all’asse $y$. Allora la componente lungo $y$ va con il coseno e quella lungo $x$ con il seno:

La componente parallela vale 25 N ed è quella che tende a far scivolare il blocco; la perpendicolare vale 43 N in modulo ed è negativa perché punta dentro il piano, mentre l’asse $y$ è uscente. È la componente che il piano deve bilanciare con la reazione normale $N=43\text{N}$.

Controllo: $30°$ è un’inclinazione dolce, quindi la componente che schiaccia il blocco sul piano deve essere molto più grande di quella che lo fa scivolare. 43 contro 25 torna. Se vi fossero usciti 43 N di componente parallela avreste scambiato seno e coseno, e per accorgersene basta questo confronto, non serve rifare i conti.

Ultima domanda tipica: se il blocco sta fermo, quanto vale la forza di attrito statico? Deve annullare la componente parallela, quindi $F_a=25\text{N}$ diretta lungo il piano verso l’alto. Non si calcola con $\mu N$: quella formula dà il valore massimo dell’attrito statico, non quello effettivo.

Esercizio 3 — lampada appesa a due funi

Una lampada di massa $m=2,0\text{kg}$ è appesa al soffitto con due funi che formano ciascuna un angolo di $45°$ con la verticale. Determinare la tensione in ciascuna fune.

Peso: $P=2,0\cdot 9,8=19,6\text{N}$ verso il basso. Per simmetria le due tensioni hanno lo stesso modulo $T$.

Assi: $x$ orizzontale, $y$ verticale verso l’alto. Ogni tensione è diretta lungo la propria fune, verso l’alto e verso l’esterno, e forma $45°$ con la verticale, cioè con l’asse $y$: l’angolo è attaccato a $y$, quindi la componente verticale va con il coseno.

Fune sinistra: $T_x=-T\sin 45°$, $T_y=+T\cos 45°$. Fune destra: $T_x=+T\sin 45°$, $T_y=+T\cos 45°$.

Equilibrio lungo $x$: le due componenti orizzontali sono opposte e si elidono da sole. L’equazione è soddisfatta identicamente, ed è la conferma che la simmetria era lecita.

Equilibrio lungo $y$:

Il risultato ha un significato che al compito vale spesso una domanda di ragionamento: ciascuna fune sopporta 13,8 N, cioè più della metà del peso (9,8 N). Il motivo è che solo una parte della tensione lavora in verticale, il resto tira di lato. E più le funi si aprono verso l’orizzontale, più $\cos \theta$ si avvicina a zero e più la tensione cresce: è la ragione per cui un filo del bucato teso quasi orizzontale si spezza sotto un peso modesto.

Come lo affrontiamo nelle lezioni

Con gli studenti di classico, scienze umane e artistico non parto mai dalla goniometria “seria”, perché non serve e occuperebbe tre lezioni. Nella prima ora costruiamo il triangolo rettangolo e i cinque valori della tabella, e li verifichiamo su un disegno in scala fatto col righello: quando si vede che il cateto misurato col righello coincide con il numero calcolato, la formula smette di essere arbitraria. Da lì in poi lavoriamo solo su esercizi, sempre con lo stesso ordine dei cinque passi, finché il disegno con gli assi dichiarati non viene automatico.

La seconda cosa che facciamo è separare la fisica dal calcolo. Molte insufficienze di terza al classico non sono di fisica: sono conversioni sbagliate, notazione scientifica o potenze risolte male — matematica del biennio che con due ore di fisica a settimana nessuno ha tempo di ripassare in classe. Quando serve dedichiamo mezza lezione a quello, e il voto di fisica sale senza aver toccato la fisica.

Se il quadro è più ampio del solo compito di novembre, ho scritto anche una guida al primo compito di fisica di terza e una panoramica della fisica come materia con quello che seguiamo per ogni anno e indirizzo.

Per riassumere

La trigonometria che vi serve a novembre di terza sono due rapporti e cinque numeri. Il metodo è sempre lo stesso: disegnare, dichiarare gli assi, scomporre una forza alla volta guardando dove sta l’angolo, mettere i segni, sommare per componenti. E due controlli che vi salvano il compito anche quando i conti sono sbagliati: nessuna componente può superare il modulo, e sul piano inclinato la componente perpendicolare è la più grande finché l’inclinazione è sotto i $45°$.

Se il compito è tra due settimane e il disegno con gli assi non viene ancora automatico, si recupera in poche lezioni mirate: scrivimi e ne parliamo. La prima lezione serve a capire dove si rompe la catena — se è la geometria del triangolo, i segni o il calcolo del biennio — perché i tre problemi si curano in modo diverso. Lezione singola 40 €, pacchetto da 10 ore 360 € (36 € l’ora), pagamento offline con bonifico, Satispay, PayPal o Revolut.