Induzione elettromagnetica: verifica 5ª

L’induzione elettromagnetica apre il programma di fisica di quinta: al liceo scientifico il compito cade tra settembre e novembre, spesso prima ancora che in matematica si sia finito il capitolo dei limiti. È il primo voto dell’ultimo anno, e per molti studenti è anche il primo momento in cui la fisica smette di essere “applica la formula” e chiede di ragionare su un verso, su un segno, su una causa.

Il malinteso più diffuso è pensare che l’induzione riguardi il campo magnetico. Non è così: riguarda il flusso, cioè quanto campo attraversa una certa superficie, e soprattutto riguarda le sue variazioni. Un campo magnetico enorme ma costante non induce assolutamente nulla, e un campo debolissimo che cambia in fretta può accendere una lampadina. Chi non mette a fuoco questa distinzione nella prima settimana non la mette a fuoco più, e alla maturità paga di nuovo.

Qui trovi il flusso, la legge di Faraday-Neumann-Lenz con il suo segno meno spiegato per bene, i tre schemi che escono al compito, tre esercizi svolti e i cinque errori che costano più punti. La mappa dell’intero blocco di elettromagnetismo in vista dell’esame è invece in elettromagnetismo per la maturità.

Il flusso: la grandezza da cui dipende tutto

Φ (B) = B \cdot S = B S cos θ

Si misura in weber ( $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ ) e si legge così: quante linee di campo attraversano la superficie. L’angolo $θ$ è quello fra $B$ e la normale alla superficie, non fra $B$ e il piano della spira: è una distinzione da un punto secco nel compito, perché confonderle sposta il coseno di $90°$ e trasforma un massimo in uno zero.

Da qui discende l’unica classificazione che serve. Il flusso può variare in tre modi, e ogni esercizio del compito è uno di questi tre:

Cosa varia	Esempio tipico	Formula che userai
il campo $B$	magnete avvicinato, corrente variabile in un circuito vicino	$ΔΦ = S Δ B cos θ$
l’area $S$	sbarretta che scorre su due binari	$ΔΦ = B Δ S$
l’angolo $θ$	spira che ruota → alternatore	$Φ (t) = B S cos (ω t)$

Quando apri il testo di un problema, la prima domanda da farti non è “quale formula uso” ma quale dei tre sta cambiando. La formula viene dopo, da sola.

Faraday-Neumann-Lenz

f_{em} = - N \frac{ΔΦ ( B )}{Δ t}

dove $N$ è il numero di spire dell’avvolgimento. Se il circuito ha resistenza $R$ , la corrente indotta segue dalla legge di Ohm:

i = \frac{∣ f _{em} ∣}{R}

Due precisazioni che valgono punti. La forza elettromotrice dipende dalla rapidità della variazione, non dalla sua entità: dimezzare il tempo raddoppia la f.e.m. E la $N$ si dimentica sistematicamente — se il testo parla di una bobina da 200 spire, quel 200 moltiplica tutto.

Il segno meno: la legge di Lenz

Il segno meno non è una convenzione contabile e non significa che la f.e.m. sia negativa. Dice il verso della corrente indotta, con questa regola:

La corrente indotta circola nel verso tale da opporsi alla variazione che l’ha generata.

Attenzione alla parola variazione: la corrente non si oppone al campo, si oppone al suo cambiamento. In pratica:

se il flusso concatenato aumenta, la corrente indotta genera un campo opposto a quello esterno, per frenare l’aumento;
se il flusso diminuisce, la corrente indotta genera un campo concorde, per sostenere il flusso che sta svanendo.

Il motivo profondo è la conservazione dell’energia: se la corrente indotta assecondasse la variazione invece di opporvisi, il fenomeno si autoalimenterebbe e otterresti energia dal nulla. Questa frase, scritta nella parte di teoria del compito, vale sempre un punto.

Nella pratica, davanti a un magnete che si avvicina a una spira: il flusso aumenta, la spira reagisce generando un campo che lo contrasta, e il risultato macroscopico è che la spira respinge il magnete. Se lo allontani, lo attira. In entrambi i casi si oppone a quello che stai facendo — ed è per questo che devi fare lavoro per muoverlo.

Lo schema più chiesto: la sbarretta che scorre

Una sbarretta di lunghezza $l$ scorre con velocità $v$ su due binari conduttori, immersa in un campo $B$ perpendicolare al piano. È il problema più frequente del capitolo, e le formule si ricavano tutte dal flusso.

f_{em} = B l v, i = \frac{B l v}{R}, F_{frenante} = B i l = \frac{B ^{2} l ^{2} v}{R}

La terza formula è quella che rende l’esercizio interessante: la corrente indotta, immersa nel campo, subisce una forza magnetica che frena la sbarretta — di nuovo Lenz. Per tenerla in moto a velocità costante devi applicare una forza uguale e contraria, e la potenza meccanica che spendi è esattamente quella dissipata per effetto Joule:

P_{meccanica} = F v = \frac{B ^{2} l ^{2} v ^{2}}{R} = R i^{2} = P_{dissipata}

Questa uguaglianza è il controllo di coerenza più bello del capitolo, ed è il primo che faccio fare a lezione: se i due numeri non coincidono, c’è un errore da qualche parte.

Autoinduzione, alternatore, trasformatore

Autoinduzione. Una corrente che varia in un circuito genera un flusso variabile nel circuito stesso, e quindi una f.e.m. che si oppone alla variazione:

Φ = L i, f_{em} = - L \frac{Δ i}{Δ t}, W = \frac{1}{2} L i^{2}

L’induttanza $L$ si misura in henry. L’ultima formula dice che un’induttanza percorsa da corrente immagazzina energia nel campo magnetico, esattamente come un condensatore la immagazzina nel campo elettrico.

Alternatore. Una spira che ruota con velocità angolare $ω$ in un campo uniforme:

Φ (t) = N B S cos (ω t) ⟹ f_{em} (t) = N B S ω sin (ω t)

La f.e.m. è massima quando il flusso è nullo (spira parallela al campo) e nulla quando il flusso è massimo. Sembra controintuitivo finché non ricordi che conta la variazione, non il valore: è il punto in cui il flusso cambia più in fretta.

I valori efficaci, che sono quelli letti dagli strumenti:

V_{eff} = \frac{V _{max}}{2}, i_{eff} = \frac{i _{max}}{2}

Trasformatore. Due avvolgimenti sullo stesso nucleo:

\frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}}, \frac{i _{2}}{i _{1}} = \frac{N _{1}}{N _{2}}

Le due proporzioni sono invertite, ed è la trappola preferita dai compiti. La ragione è la conservazione dell’energia: in un trasformatore ideale $V_{1} i_{1} = V_{2} i_{2}$ , quindi se la tensione sale la corrente scende nella stessa proporzione. E un trasformatore funziona solo in alternata: in continua il flusso è costante, quindi non induce niente.

Tre esercizi svolti

1. Spira in un campo che cambia

Una spira quadrata di lato $l = 0, 20$ m e resistenza $R = 2, 0 Ω$ è immersa in un campo perpendicolare al suo piano, che passa da $0, 50$ T a $0, 10$ T in $Δ t = 0, 20$ s. Trova f.e.m. e corrente indotta.

L’area è $S = (0, 20)^{2} = 0, 040 m^{2}$ , e il campo è perpendicolare al piano, quindi parallelo alla normale: $cos θ = 1$ .

ΔΦ = S Δ B = 0, 040 \cdot (0, 10 - 0, 50) = - 0, 016 Wb

∣ f_{em} ∣ = \frac{∣ΔΦ∣}{Δ t} = \frac{0 , 016}{0 , 20} = 0, 080 V

i = \frac{0 , 080}{2 , 0} = 0, 040 A

Il verso: il flusso sta diminuendo, quindi la corrente indotta circola in modo da generare un campo concorde con quello esterno, per sostenerlo. Questa frase va scritta, perché è metà del punteggio dell’esercizio.

2. Sbarretta su binari, con il bilancio energetico

Una sbarretta lunga $l = 0, 50$ m scorre a $v = 4, 0$ m/s su binari in un campo perpendicolare $B = 0, 30$ T. Il circuito ha resistenza $R = 1, 5 Ω$ . Trova f.e.m., corrente, forza frenante e verifica il bilancio energetico.

f_{em} = B l v = 0, 30 \cdot 0, 50 \cdot 4, 0 = 0, 60 V

i = \frac{0 , 60}{1 , 5} = 0, 40 A

F = B i l = 0, 30 \cdot 0, 40 \cdot 0, 50 = 0, 060 N

La forza è diretta in verso opposto alla velocità: frena la sbarretta. La potenza meccanica necessaria a tenerla a velocità costante è

P_{mecc} = F v = 0, 060 \cdot 4, 0 = 0, 24 W

e quella dissipata nel circuito

P_{diss} = R i^{2} = 1, 5 \cdot (0, 40)^{2} = 0, 24 W

Coincidono, come devono: tutto il lavoro che fai per trascinare la sbarretta finisce in calore nel resistore. Se in compito questi due numeri non coincidono, hai sbagliato qualcosa prima.

3. Trasformatore

Il primario di un trasformatore ideale ha $N_{1} = 1000$ spire e tensione $V_{1} = 230$ V; il secondario ha $N_{2} = 50$ spire. Trova $V_{2}$ , e la corrente al primario se al secondario circolano $i_{2} = 2, 0$ A.

V_{2} = V_{1} \frac{N _{2}}{N _{1}} = 230 \cdot \frac{50}{1000} = 11, 5 V

Per la corrente la proporzione si inverte:

i_{1} = i_{2} \frac{N _{2}}{N _{1}} = 2, 0 \cdot \frac{50}{1000} = 0, 10 A

Il controllo è immediato con le potenze: $230 \cdot 0, 10 = 23$ W al primario e $11, 5 \cdot 2, 0 = 23$ W al secondario. Un trasformatore ideale non crea energia, la ridistribuisce fra tensione e corrente.

I cinque errori che costano più punti

1. Sbagliare l’angolo nel flusso. $θ$ è fra il campo e la normale alla superficie. Se il testo dice “il campo forma $30°$ con il piano della spira”, l’angolo da usare è $60°$ .

2. Trattare il segno meno come un segno algebrico. La legge di Lenz indica un verso, non rende la f.e.m. negativa. Nei conti si lavora con i moduli e il verso si discute a parole, come nell’esercizio 1.

3. Dimenticare il numero di spire. $f_{em} = - N ΔΦ/Δ t$ . Se il testo dice “bobina di 200 spire”, quel fattore c’è.

4. Invertire le proporzioni del trasformatore. Le tensioni sono direttamente proporzionali alle spire, le correnti inversamente. Il controllo con le potenze, $V_{1} i_{1} = V_{2} i_{2}$ , lo intercetta in cinque secondi.

5. Pensare che un campo costante induca qualcosa. Non induce niente, per quanto sia intenso. Serve una variazione — di $B$ , di $S$ o di $θ$ .

Gli errori di impostazione ricorrenti in tutta la fisica del liceo — unità, segni, lettura del testo — li ho raccolti in errori tipici di fisica al liceo.

Le due settimane prima della verifica

Ogni giorno, per una settimana, scrivi su un foglio bianco la definizione di flusso e la legge di Faraday-Neumann-Lenz, e accanto i tre modi in cui il flusso può variare. Due minuti.
Prendi dieci testi di problemi e scrivi solo quale dei tre sta variando ( $B$ , $S$ o $θ$ ), senza risolverli. È l’esercizio che rende di più su questo capitolo.
Fai cinque esercizi sulla sbarretta, chiudendo ogni volta con il confronto fra potenza meccanica e potenza dissipata. Se prendi questa abitudine, ti autocorreggi da solo.
Allena il verso di Lenz a parole, su cinque situazioni diverse: magnete che si avvicina, magnete che si allontana, spira che entra nel campo, spira che esce, corrente vicina che aumenta. Il compito chiede il verso quasi sempre, e non è un conto: è un ragionamento che va detto in una frase.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

Sull’induzione la prima lezione la spendo quasi tutta sul flusso e su Lenz, senza formule di alternatore o trasformatore. Chi sa dire in una frase perché la spira respinge il magnete che si avvicina risolve poi tutti gli esercizi del capitolo; chi ha imparato le formule ma non il perché si blocca al primo problema scritto in modo diverso da quelli del libro.

L’altra cosa su cui insisto è il bilancio energetico della sbarretta: farlo tornare a mano, ogni volta, lega l’induzione a quello che si è studiato in terza sul lavoro e sull’energia, e trasforma quattro formule scollegate in una storia sola. Le lezioni sono online e uno-a-uno: 40 € l’ora, oppure 360 € per un pacchetto di 10 ore (36 €/h) se conviene coprire tutto l’elettromagnetismo in vista della maturità e non solo il compito di ottobre.

Il modo più rapido per capire a che punto sei è provare la verifica simulata sull’induzione elettromagnetica: quindici quesiti in cinquanta minuti, con il dettaglio dei punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo la prova vedi che i conti reggono ma il verso di Lenz no (o viceversa), scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente quante lezioni servono. Il quadro completo di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di fisica.

Induzione elettromagnetica: preparare la verifica di quinta