Limiti e forme indeterminate: come risolverle

Negli istituti tecnici, economico o tecnologico, la matematica ha tre ore a settimana e il programma di quarta arriva ai limiti fra novembre e dicembre. Il compito cade di solito a dicembre, fra sei e nove settimane da ora. Fino a lì il tuo lavoro è un altro: studiare funzioni e dominio. Quando il professore scrive “calcolare il limite” alla lavagna, il calcolo vero e proprio è quasi sempre un caso di forma indeterminata, e lì si decide il voto.

Questo post è sulla tecnica: dato un limite, come si riconosce la forma e quale mossa serve. Le definizioni e le idee sono altrove (limiti spiegati bene), gli asintoti e la continuità pure (limiti, continuità e asintoti e limiti e asintoti nello studio di funzione). Per il quadro dell’anno c’è il formulario di quarta.

Il primo passo: sostituire

Qualunque limite si comincia sostituendo il valore a cui tende $x$. Non è una formalità: nella maggior parte dei casi il limite viene fuori subito, e riconoscerlo ti risparmia mezzo foglio. Le sostituzioni dànno risultati che non sono forme indeterminate:

dove $k$ è un numero diverso da zero. Quando il denominatore tende a zero con $k\ne 0$ servono i limiti laterali, per stabilire se il risultato è $+\infty$ o $-\infty$, ma la forma non è indeterminata.

Le forme indeterminate sono sette. Nel programma di quarta ne trovi soprattutto quattro:

Le altre tre ($1^{\infty }$, $0^0$, ${\infty }^0$) compaiono con le potenze e di solito si risolvono con un limite notevole, o non arrivano affatto al compito di tecnico.

Il nome “indeterminata” non significa che il limite non esiste. Vuol dire che dalla sola sostituzione non lo puoi sapere, perché dipende da come le due parti tendono al loro valore. Per questo si riscrive l’espressione fino a togliere l’ostacolo.

Lo schema: che forma è, che tecnica serve

La riga che conta è la prima colonna: ogni volta che ti blocchi, torna a chiederti che forma è, poi guarda se ci sono radici o funzioni trascendenti. Di solito la tecnica è una sola, e il lavoro sta nel riconoscerla.

$\frac{\infty }{\infty }$ con funzioni razionali

Quando $x\to \pm \infty$, comanda il termine di grado massimo di numeratore e denominatore. Si raccoglie $x$ alla potenza massima e il resto tende a zero. Il confronto dei gradi dà il risultato a vista: grado maggiore al numeratore, il limite è infinito (il segno lo decidono i coefficienti dei termini di grado massimo e il segno di $x$); gradi uguali, è il rapporto dei coefficienti direttivi; grado maggiore al denominatore, il limite è zero.

Funziona perché per $x$ molto grande un polinomio si comporta come il suo termine dominante. Ma per $x\to -\infty$ il segno si controlla sempre: $x^3$ tende a $-\infty$, non a $+\infty$, anche se $x^2$ tende a $+\infty$.

$\frac{0}{0}$ con funzioni razionali

Se sostituendo $x_0$ si annullano numeratore e denominatore, $(x-x_0)$ è fattore di entrambi. Si scompone, si semplifica e si sostituisce di nuovo. La scomposizione di prima e seconda superiore (raccoglimento, differenza di quadrati, differenza di cubi, Ruffini) è esattamente quella che serve qui.

Il passaggio da tenere a mente è la semplificazione: puoi semplificare il fattore $(x-x_0)$ perché nel limite $x$ si avvicina a $x_0$ senza mai raggiungerlo, quindi il fattore non è zero. Per questo il limite esiste anche quando la funzione in $x_0$ non è definita.

$\infty -\infty$ e $\frac{0}{0}$ con le radici

Qui la tecnica è la razionalizzazione. Si moltiplica e si divide per l’espressione coniugata, in modo da usare la differenza di quadrati:

La radice sparisce e rimane una frazione che si tratta come nei casi precedenti. Tre casi tipici:

• $\sqrt{f(x)}-x$ per $x\to +\infty$: si moltiplica per $\sqrt{f(x)}+x$;
• $\sqrt{x+a}-b$ in un limite $\frac{0}{0}$: si moltiplica per $\sqrt{x+a}+b$;
• differenza di due radici: coniugata con il segno più.

Se la forma è $\frac{\infty }{\infty }$ con radici, per esempio $\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+3}$, non serve razionalizzare: si raccoglie $x^2$ sotto radice. E qui c’è la trappola più comune: $\sqrt{x^2}=|x|$, non $x$. Per $x\to +\infty$ coincide con $x$, per $x\to -\infty$ vale $-x$. Lo vedrai nell’esercizio 3.

Limiti notevoli: quelli di base

Per le forme $\frac{0}{0}$ con funzioni trascendenti non ci sono manipolazioni algebriche: si usano i limiti notevoli, che vanno studiati a memoria. I tre di base:

La regola d’uso: l’argomento della funzione deve essere uguale al denominatore. Quando non lo è, si moltiplica e si divide per quello che manca. Per esempio:

e per una frazione con due funzioni

perché $\cos 2x\to 1$.

Gli errori che vedo più spesso

Applicare una regola da razionale a una funzione con radici. Il confronto dei gradi vale per i polinomi. Con $\sqrt{x^2+\dots }$ bisogna prima raccogliere sotto radice e ricordarsi del valore assoluto.

Dimenticare il segno a $-\infty$. Per $x\to -\infty$ le potenze dispari sono negative e $\sqrt{x^2}=-x$. Un limite che a $+\infty$ vale $2$ può valere $-2$ a $-\infty$.

Dire “indeterminato” come risultato. La forma indeterminata è un ostacolo, non una risposta. Un limite che si ferma a $\frac{0}{0}$ è un esercizio non finito.

Semplificare i termini invece dei fattori. In $\frac{x^2-4}{x-2}$ non si può “cancellare” la $x$ o il $2$. Si scompone il numeratore in $(x-2)(x+2)$ e poi si semplifica il fattore intero.

Sostituire in un pezzo alla volta. Ridurre prima una parte del limite a un valore e poi continuare con il resto è lecito solo quando quella parte non è una forma indeterminata. Se sostituisci prima di aver risolto l’ostacolo ottieni un numero sbagliato, e di solito è zero.

Usare i limiti notevoli con l’argomento sbagliato. $\frac{\sin 5x}{x}$ non vale $1$: vale $5$.

Tre esercizi svolti

1. $\frac{0}{0}$ con differenza di cubi

La sostituzione dà $\frac{0}{0}$. Scomponiamo il numeratore con la differenza di cubi e il denominatore con la differenza di quadrati:

Controllo con un numero vicino a $1$, per esempio $x=1,01$: il numeratore è $1,030301-1=0,030301$, il denominatore è $1,0201-1=0,0201$, e il rapporto è circa $1,507$, vicino a $\frac{3}{2}$.

2. $\infty -\infty$ con una radice

La sostituzione dà $\infty -\infty$. Moltiplichiamo e dividiamo per la coniugata:

Ora è $\frac{\infty }{\infty }$. Raccogliamo $x$ al denominatore, sapendo che $x>0$ e quindi $\sqrt{x^2}=x$:

Controllo con $x=100$: $\sqrt{10300}\approx 101,489$, quindi $101,489-100=1,489$, vicino a $\frac{3}{2}$.

Per $x\to -\infty$ la forma non è nemmeno indeterminata: $\sqrt{x^2+3x}$ tende a $+\infty$ e $-x$ tende a $+\infty$, quindi la somma tende a $+\infty$. È il motivo per cui conviene riconoscere la forma prima di mettersi a razionalizzare.

3. $\frac{\infty }{\infty }$ con radice, ai due infiniti

Sotto radice raccogliamo $x^2$: $\sqrt{4x^2+1}=|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$. Il denominatore lo scriviamo come $x\left(1+\frac{3}{x}\right)$:

Per $x\to +\infty$, $|x|=x$ e il limite è $\frac{\sqrt{4}}{1}=2$. Per $x\to -\infty$, $|x|=-x$ e il limite è $-\sqrt{4}=-2$.

Controllo: per $x=1000$ il rapporto è $\frac{\sqrt{4000001}}{1003}\approx \frac{2000,0003}{1003}\approx 1,994$. Per $x=-1000$ è $\frac{2000,0003}{-997}\approx -2,006$. I due valori sono vicini a $2$ e $-2$: la funzione ha due asintoti orizzontali diversi, $y=2$ da una parte e $y=-2$ dall’altra, cosa che con una funzione razionale non può succedere.

Per allenarti con più quesiti ci sono le verifiche guidate: sono pensate per il liceo, ma i quesiti sui limiti valgono anche per il tecnico, perché il metodo è lo stesso. Se vuoi il quadro della materia, trovi il resto in matematica.

Come prepararti a dicembre

Il compito sui limiti ha una struttura abbastanza prevedibile: un limite razionale, uno con radice, uno con limite notevole, e quasi sempre una domanda collegata all’asintoto. Quello che consiglio è di fare ogni sera, per qualche giorno, un solo limite per tipo, e di scrivere sempre la forma che trovi dopo la prima sostituzione. È un’abitudine di due secondi e si vede subito nel compito: il professore valuta il ragionamento, non solo il numero.

Se l’algebra delle scomposizioni non è ancora solida, sistemala prima dei limiti: la metà degli errori che vedo nei compiti di dicembre nasce lì, non nei limiti. Alle lezioni facciamo esattamente questo, partendo dai tuoi compiti e dai punti in cui ti blocchi. Se vuoi capire da dove partire, una diagnosi gratuita si prenota da contatti.