Limiti, continuità e asintoti: la verifica di quinta

La verifica sui limiti è la prima dell’ultimo anno e, nella maggior parte delle classi, quella con più insufficienze di tutto il quinquennio. Al liceo scientifico cade tra la fine di settembre e novembre; nelle scuole con due ore di matematica — scienze umane, linguistico, artistico — arriva più tardi, tra novembre e gennaio, ma il compito è lo stesso.

Il motivo per cui va male non è il concetto di limite, che quasi tutti afferrano. È che la verifica chiede tre cose diverse insieme — calcolare limiti, classificare le discontinuità, trovare gli asintoti — e le ultime due arrivano nell’ultima settimana di lezione, quando l’attenzione è già finita sul calcolo. Chi arriva al compito sapendo solo calcolare prende 5, anche facendo tutti i limiti giusti.

Qui trovi le tecniche che servono davvero, come si classificano le discontinuità, il metodo per gli asintoti (obliquo compreso), tre esercizi svolti e i cinque errori che costano più punti.

Cosa chiede la verifica di quinta

Vale la pena chiarire subito il perimetro, perché in rete si trovano soprattutto materiali universitari e sono un’altra cosa. Sul concetto di limite, la definizione con $\epsilon$ e $\delta$ e i limiti notevoli visti in profondità ho scritto una guida a parte, che copre anche il livello di Analisi 1: limiti spiegati bene. Questa pagina è invece tarata sul compito di quinta, che chiede tre blocchi:

1. calcolare limiti con le forme indeterminate, senza De l’Hôpital — le derivate arrivano dopo, e usarlo prima che il professore lo abbia introdotto è un rischio inutile;
2. discutere la continuità di una funzione e classificare i punti di discontinuità;
3. trovare gli asintoti di una funzione, obliquo compreso, che è l’esercizio che vale di più.

Il terzo blocco è quello su cui si decide il voto, e non a caso è anche il ponte verso lo studio di funzione di febbraio.

Se la tua classe anticipa già i teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi, li trovi enunciati con le rispettive ipotesi nel formulario di quinta, insieme alle sette forme indeterminate per intero e a dodici esercizi con la soluzione completa — qui restiamo sul perimetro del compito.

Le forme indeterminate e le tre tecniche del liceo

Una forma indeterminata non è un errore né un risultato: è un segnale che la sostituzione diretta non basta e serve riscrivere l’espressione. Le forme che escono al compito sono $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$ e, più raramente, $0\cdot \infty$ e $1^{\infty }$.

Le tecniche sono tre, e si scelgono guardando la forma.

Raccogliere il termine di grado massimo, per $\frac{\infty }{\infty }$ con funzioni razionali. In pratica la regola operativa è il confronto fra i gradi di numeratore e denominatore:

Scomporre, per $\frac{0}{0}$ con funzioni razionali. Se sostituendo $x_0$ si annullano sia numeratore che denominatore, allora $(x-x_0)$ è fattore di entrambi: si scompone, si semplifica, si sostituisce di nuovo. Non fallisce mai, ed è per questo che la scomposizione di prima superiore torna utile fino all’ultimo giorno di liceo.

Razionalizzare, per $\infty -\infty$ e per $\frac{0}{0}$ con le radici. Si moltiplica e si divide per l’espressione coniugata: la differenza di quadrati fa sparire la radice e la forma indeterminata con lei.

A queste si aggiungono i limiti notevoli, che vanno sapiti a memoria:

La regola d’uso è una sola e la si sbaglia spesso: l’argomento della funzione e il denominatore devono essere la stessa cosa. In $\frac{\sin 3x}{x}$ non sono uguali, quindi si aggiusta:

Continuità e i tre tipi di discontinuità

Una funzione è continua in $x_0$ se valgono tre condizioni insieme: $f(x_0)$ esiste, il limite per $x\to x_0$ esiste finito, e i due coincidono. Quando qualcosa salta, la discontinuità si classifica così:

Il calcolo da fare è sempre lo stesso: limite destro, limite sinistro, valore della funzione. Tre numeri, e la classificazione viene da sé. Il salto della prima specie ha anche un’ampiezza, cioè la differenza fra i due limiti, e i professori la chiedono spesso.

Nota pratica: le funzioni definite a tratti sono il caso preferito dai compiti, perché permettono di chiedere anche “per quale valore del parametro $k$ la funzione è continua?”. Si risolve imponendo che limite destro e limite sinistro nel punto di raccordo siano uguali.

Asintoti: il metodo, in ordine

Verticali. Si cercano nei punti esclusi dal dominio. La retta $x=c$ è asintoto verticale se

Vanno calcolati entrambi i limiti laterali, perché il comportamento a destra e a sinistra può essere diverso — ed è proprio quello che il compito vuole vedere scritto.

Orizzontali. La retta $y=L$ è asintoto orizzontale se

Anche qui i due lati vanno guardati separatamente: una funzione può avere un asintoto orizzontale a destra e uno diverso (o nessuno) a sinistra.

Obliqui. Si cercano solo se da quella parte non c’è l’asintoto orizzontale: i due si escludono a vicenda. La retta è $y=mx+q$ con

e serve che $m$ sia finito e diverso da zero. Per una funzione razionale fratta c’è una scorciatoia che vale la pena conoscere: l’asintoto obliquo esiste quando il grado del numeratore supera di esattamente uno quello del denominatore, e si ottiene facendo la divisione fra polinomi — il quoziente è l’asintoto. È il modo più rapido di controllare il risultato dei due limiti.

Tre esercizi svolti

1. Forma $\frac{\infty }{\infty }$

Sostituendo si ottiene $\frac{\infty }{\infty }$. Raccolgo $x^2$ sopra e sotto:

Tutti i termini con la $x$ al denominatore tendono a zero. Il risultato è il rapporto dei coefficienti direttivi, come dice la tabella — ma il passaggio del raccoglimento va scritto: è quello che il professore valuta.

2. Forma $\frac{0}{0}$

Sostituendo, sia il numeratore sia il denominatore si annullano: forma $\frac{0}{0}$, quindi $(x-2)$ è fattore comune. Scompongo:

Il limite esiste finito ma la funzione in $x=2$ non è definita: è una discontinuità di terza specie, eliminabile. Se il testo chiede la classificazione, la risposta è già qui.

3. Asintoti di una funzione fratta

Trova dominio e asintoti di $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$.

Il dominio è $x\ne 1$. Comincio dall’asintoto verticale, con i due limiti laterali:

(il numeratore tende a $2$, positivo; il denominatore tende a zero, positivo da destra e negativo da sinistra). Quindi $x=1$ è asintoto verticale, e la discontinuità è di seconda specie.

All’infinito il grado del numeratore supera quello del denominatore, quindi il limite è infinito: niente asintoto orizzontale, e vale la pena cercare l’obliquo.

L’asintoto obliquo è $y=x+1$, da entrambe le parti.

Il controllo con la divisione fra polinomi è immediato:

Il quoziente è $x+1$, cioè l’asintoto, e il resto $\frac{2}{x-1}$ tende a zero: torna tutto in dieci secondi.

I cinque errori che costano più punti

1. Scrivere $\frac{0}{0}$ come risultato. Non è un numero, è la constatazione che il lavoro deve ancora cominciare. Un limite non può “valere” una forma indeterminata.

2. Scrivere $\frac{k}{0}=\infty$ senza il segno. Serve sapere se il denominatore tende a zero da sopra o da sotto, e quindi vanno calcolati i due limiti laterali. È il passaggio che distingue chi ha capito gli asintoti verticali da chi li tira a indovinare.

3. Dimenticare il valore assoluto con $x\to -\infty$. Vale $\sqrt{x^2}=|x|$, che per $x$ negativo è $-x$. È l’errore classico dell’asintoto obliquo di una funzione irrazionale: a destra e a sinistra vengono due rette diverse, e chi non mette il valore assoluto ne trova una sola.

4. Cercare l’asintoto obliquo quando c’è già quello orizzontale. Si escludono a vicenda dalla stessa parte. Se hai trovato $y=2$ per $x\to +\infty$, l’obliquo a destra non esiste e cercarlo è tempo perso.

5. Applicare un limite notevole senza aggiustare l’argomento. In $\frac{\sin 3x}{x}$ il denominatore deve diventare $3x$, e il fattore $3$ va portato fuori. Vale per tutti i notevoli, nessuno escluso.

Le due settimane prima della verifica

1. Scrivi i cinque limiti notevoli su un foglio bianco ogni giorno per una settimana. Due minuti. Quello che non esce è la priorità del giorno.
2. Fai dieci limiti scrivendo solo la forma indeterminata e la tecnica, senza risolverli: $\frac{\infty }{\infty }$ → raccoglimento, $\frac{0}{0}$ razionale → scomposizione, radici → razionalizzazione. È l’esercizio che al compito fa guadagnare più tempo.
3. Fai cinque studi di asintoti completi, con dominio, limiti laterali e obliquo. È l’esercizio che vale di più e quello che quasi nessuno prova abbastanza.
4. Aggiungi tre funzioni definite a tratti con un parametro da determinare per la continuità: è la domanda più probabile fra quelle “difficili”.

Quando i limiti sono a posto, il passo successivo del programma sono le derivate, e da lì lo studio di funzione completo — dove tutto quello che hai imparato qui torna, ma dentro un esercizio solo.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

La prima lezione sui limiti la spendo quasi tutta sul riconoscimento: guardiamo venti limiti e per ciascuno diciamo solo la forma indeterminata e la tecnica, senza fare un conto. In un’ora si copre quello che risolvendoli richiederebbe quattro lezioni, e al compito la differenza si vede sul tempo, che è la vera variabile scarsa.

Sugli asintoti lavoro sempre con il grafico accanto: ogni limite calcolato va tradotto in un pezzo di disegno, altrimenti restano quattro conti scollegati. Chi sa disegnare mentalmente cosa sta calcolando non sbaglia i segni dei limiti laterali. Le lezioni sono online e uno-a-uno: 40 € l’ora, oppure 360 € per un pacchetto di 10 ore (36 €/h) se la quinta è appena cominciata e conviene arrivare preparati fino allo studio di funzione.

Il modo più rapido per capire a che punto sei è provare la verifica simulata sui limiti: quindici quesiti in cinquanta minuti, con il dettaglio dei punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo la prova vedi che il calcolo regge ma gli asintoti no (o viceversa), scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente quante lezioni servono. Il quadro completo di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di matematica.