Studio di funzione passo passo

Lo studio di funzione è l’esercizio più temuto del quinto anno, e allo stesso tempo il più prevedibile. Sembra una contraddizione, ma non lo è: è temuto perché è lungo e mette insieme mezzo programma di analisi; è prevedibile perché lo schema da seguire è sempre lo stesso, dalla prima all’ultima funzione che studierai. Non c’è nessuna intuizione da avere, nessun trucco da indovinare. C’è una lista di passaggi, e va percorsa in ordine.

Il problema che vedo in lezione è quasi sempre lo stesso: lo studente conosce i singoli pezzi (sa fare un limite, sa derivare) ma non ha in testa la procedura che li collega, quindi salta da un passaggio all’altro a caso, si perde a metà e alla fine disegna un grafico che non c’entra niente con i conti che ha appena fatto. In questo articolo ti do lo schema completo, nell’ordine giusto, con la spiegazione del perché ogni passaggio sta dove sta — e poi lo applico a una funzione intera per farti vedere come si tiene insieme il tutto.

La guida in sei parti

Questo articolo è la mappa: trovi lo schema completo, un esempio svolto per intero e gli errori più comuni. I primi due capitoli raggruppano due passaggi ciascuno — dominio con simmetrie, intersezioni con segno — mentre gli altri quattro ne coprono uno a testa: ovunque trovi l’approfondimento dedicato, con tutti i casi particolari e altri esempi svolti.

Dominio e simmetrie — condizioni di esistenza, sistema, funzioni pari e dispari, periodicità.
Intersezioni e studio del segno — zeri, molteplicità, tabella dei segni.
Limiti e asintoti — verticali, orizzontali, obliqui e i casi in cui non ci sono.
Monotonia, massimi e minimi — segno di $f^{'}$ , punti stazionari, cuspidi e punti angolosi.
Concavità e flessi — segno di $f^{''}$ , classificazione dei flessi, tangente inflessionale.
Il grafico e tre esempi svolti — montaggio finale, checklist di coerenza, gestione del tempo all’esame.

Se hai poco tempo leggi solo questa pagina; se stai preparando la maturità, fai il giro completo.

A cosa serve davvero lo studio di funzione

Prima dello schema, una cosa che quasi nessuno dice: lo studio di funzione non è un esercizio di calcolo. È un esercizio di raccolta di informazioni. Tu non conosci il grafico, e nessuno te lo può disegnare. Quello che fai è porre una serie di domande alla funzione — dove esiste? dove è positiva? cosa fa all’infinito? dove sale e dove scende? — e ogni risposta ti toglie possibilità, finché di grafici compatibili con tutte le informazioni ne resta praticamente uno solo.

Questa è la mentalità giusta, e cambia il modo in cui affronti l’esercizio. Ogni passaggio è un vincolo in più sul disegno finale. Per questo l’ordine conta: alcune domande hanno senso solo dopo che hai risposto alle precedenti (chiedere “dove ci sono gli asintoti verticali?” prima di aver trovato il dominio è aria fritta).

E per questo, soprattutto, il grafico va disegnato alla fine, ma la matita va usata dall’inizio. Il consiglio più utile che do sempre: traccia gli assi su un angolo del foglio appena hai il dominio, e ogni volta che trovi un’informazione, segnala lì sopra. Il grafico non nasce alla fine da un colpo di genio: si costruisce a pezzi mentre fai i conti.

Lo schema completo, nell’ordine giusto

Ecco i passaggi. Impara questa lista a memoria, è l’unica cosa da memorizzare di tutto l’argomento.

Dominio — dove la funzione esiste.
Simmetrie ed eventuali periodicità — pari, dispari, periodica.
Intersezioni con gli assi — dove il grafico taglia $x$ e $y$ .
Segno della funzione — dove sta sopra e dove sotto l’asse $x$ .
Limiti agli estremi del dominio e asintoti — verticali, orizzontali, obliqui.
Derivata prima: crescenza, decrescenza, massimi e minimi.
Derivata seconda: concavità, convessità, flessi.
Grafico — mettere insieme tutto.

Vediamoli uno per uno, con quello che serve sapere davvero.

1. Dominio

È il passaggio da cui dipende tutto il resto: se sbagli il dominio, ogni conto successivo è sbagliato. Le condizioni da controllare sono sempre le stesse tre:

denominatori diversi da zero;
argomento delle radici di indice pari maggiore o uguale a zero;
argomento dei logaritmi strettamente maggiore di zero.

A cui si aggiungono i casi meno frequenti: la tangente (dove il coseno si annulla), l’arcoseno e l’arcocoseno (argomento tra $- 1$ e $1$ ), le funzioni con esponente non intero.

Quando ci sono più condizioni insieme vanno messe a sistema, non in alternativa: devono valere tutte contemporaneamente. È un errore banale ma frequentissimo sotto compito.

2. Simmetrie

Trenta secondi che ti possono dimezzare il lavoro. Calcola $f (- x)$ :

se $f (- x) = f (x)$ la funzione è pari → grafico simmetrico rispetto all’asse $y$ ;
se $f (- x) = - f (x)$ è dispari → simmetrico rispetto all’origine;
se non è né l’una né l’altra, vai avanti senza pensarci più.

Se la funzione è pari o dispari puoi studiarla solo per $x > 0$ e ribaltare il grafico. Alla maturità, con il tempo che stringe, è un regalo.

3. Intersezioni con gli assi

L’intersezione con l’asse $y$ è semplicemente $f (0)$ , se $0$ appartiene al dominio. Quella con l’asse $x$ richiede di risolvere $f (x) = 0$ .

Un’avvertenza pratica: a volte l’equazione $f (x) = 0$ non si risolve con gli strumenti che hai. Non è un dramma e non significa che hai sbagliato qualcosa. Si scrive “l’equazione non è risolubile elementarmente” e si va avanti — la posizione degli zeri la ricaverai comunque dal segno e dal grafico.

4. Segno

Risolvi la disequazione $f (x) > 0$ . Il risultato ti dice in quali intervalli il grafico sta sopra l’asse $x$ e in quali sotto.

Qui l’errore che vedo più spesso è metodologico: molti studenti trattano il segno come un esercizio a sé e poi non lo usano. Invece è oro puro, perché ti chiude intere regioni del piano. Se sai che tra $1$ e $3$ la funzione è negativa, sopra l’asse in quel tratto non ci passi, punto. Riportalo subito sugli assi che hai tracciato: io ci faccio delle campiture leggere sulle zone proibite, così il grafico finale si disegna quasi da solo.

5. Limiti e asintoti

Si calcolano i limiti agli estremi del dominio: dove il dominio è aperto o escluso, e a $\pm \infty$ se la funzione ci arriva. Da questi limiti nascono gli asintoti, di tre tipi.

Asintoto verticale in $x_{0}$ : si ha quando

x \to x_{0} lim f (x) = \pm \infty

Vanno sempre calcolati i limiti destro e sinistro separatamente, perché la funzione può divergere a $+ \infty$ da un lato e a $- \infty$ dall’altro.

Asintoto orizzontale: se il limite all’infinito è finito,

x \to \pm \infty lim f (x) = L

la retta $y = L$ è asintoto orizzontale.

Asintoto obliquo: si cerca solo se il limite all’infinito è infinito e non c’è asintoto orizzontale da quel lato. La retta è $y = m x + q$ , con

m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}

e, se $m$ è finito e diverso da zero,

q = x \to \pm \infty lim [f (x) - m x]

Se ti serve una ripassata sul calcolo vero e proprio, ne ho scritto nel post sui limiti spiegati bene: qui li do per acquisiti.

6. Derivata prima

Deriva la funzione e studia il segno di $f^{'} (x)$ , non il suo valore. Dove $f^{'} (x) > 0$ la funzione cresce, dove $f^{'} (x) < 0$ decresce. I punti in cui la derivata si annulla o non esiste sono i candidati a massimo e minimo: candidati, non ancora vincitori. Si conferma guardando come cambia il segno di $f^{'}$ attorno al punto — da $+$ a $-$ è un massimo, da $-$ a $+$ un minimo, se il segno non cambia è un flesso a tangente orizzontale.

Attenzione anche ai punti dove $f^{'}$ non esiste ma la funzione sì: cuspidi e punti angolosi. Sono quelli che alla maturità distinguono il compito da 7 da quello da 9. Se sulle regole di derivazione sei ancora insicuro, il post sulle derivate spiegate bene copre tutto il necessario.

7. Derivata seconda

Stessa logica un piano più su: si studia il segno di $f^{''} (x)$ . Dove è positiva la funzione è convessa (concavità verso l’alto), dove è negativa è concava (verso il basso). I punti in cui la concavità cambia sono i flessi.

Questo passaggio è quello che tutti tagliano quando il tempo scarseggia, e a volte è la scelta giusta — ma sappi cosa stai perdendo: senza derivata seconda il grafico ha la forma giusta ma non la curvatura giusta, e nelle griglie di valutazione della seconda prova questo costa punti.

8. Il grafico

Se hai riportato le informazioni sugli assi mentre procedevi, adesso è quasi un ricalco. Disegna prima gli asintoti tratteggiati, poi segna zeri, massimi, minimi e flessi, infine unisci rispettando crescenza e concavità che hai trovato.

Poi fai un controllo di coerenza, sempre. Il grafico rispetta il segno che avevi calcolato? Si avvicina agli asintoti come dicono i limiti? Il massimo che hai disegnato è più in alto dei punti vicini? Se qualcosa stona, c’è un errore nei conti — e trovarlo adesso vale molto più che accorgersene con il compito già consegnato.

Un esempio completo

Prendiamo

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}

il classico che gira su metà delle verifiche d’Italia.

Dominio: $x - 1 \neq = 0$ , quindi $D = R ∖ {1}$ .

Simmetrie:

f (- x) = \frac{x ^{2}}{- x - 1}

che non è né $f (x)$ né $- f (x)$ . Nessuna simmetria.

Intersezioni: $f (0) = 0$ , quindi passa per l’origine. E $f (x) = 0$ richiede $x^{2} = 0$ , cioè $x = 0$ : l’origine è l’unica intersezione, ed è uno zero doppio.

Segno: il numeratore $x^{2}$ è sempre $\geq 0$ , quindi il segno lo decide il denominatore. $f (x) > 0$ per $x > 1$ ; per $x < 1$ (escluso $x = 0$ dove si annulla) la funzione è negativa. Già sappiamo che a sinistra dell’asintoto tutto il grafico sta sotto l’asse $x$ .

Limiti e asintoti: per $x \to 1^{-}$ il denominatore tende a $0^{-}$ e il numeratore a $1$ , quindi $f \to - \infty$ ; per $x \to 1^{+}$ si ha $f \to + \infty$ . Asintoto verticale $x = 1$ . Per $x \to \pm \infty$ la funzione diverge, quindi niente asintoto orizzontale: cerchiamo l’obliquo.

m = lim \frac{x ^{2}}{x ( x - 1 )} = 1

q = lim [\frac{x ^{2}}{x - 1} - x] = lim \frac{x}{x - 1} = 1

Asintoto obliquo: $y = x + 1$ .

Derivata prima:

f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}

Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno è quello di $x (x - 2)$ : positiva per $x < 0$ e $x > 2$ , negativa tra $0$ e $2$ . Dunque massimo relativo in $x = 0$ con $f (0) = 0$ , e minimo relativo in $x = 2$ con $f (2) = 4$ . Nota il fatto controintuitivo che spiazza tutti: il massimo vale $0$ e il minimo vale $4$ , cioè il “minimo” sta più in alto del “massimo”. È perfettamente normale — sono estremi relativi, appartengono a due rami separati dall’asintoto.

Derivata seconda: derivando ancora si ottiene

f^{''} (x) = \frac{2}{( x - 1 ) ^{3}}

che è positiva per $x > 1$ e negativa per $x < 1$ . Concavità verso l’alto sul ramo destro, verso il basso su quello sinistro, nessun flesso (in $x = 1$ la funzione non esiste).

Grafico: ramo sinistro tutto sotto l’asse $x$ tranne l’origine, che tocca con un massimo, e poi giù verso $- \infty$ avvicinandosi a $x = 1$ ; ramo destro che scende da $+ \infty$ , tocca il minimo $(2, 4)$ e poi risale appoggiandosi all’asintoto obliquo. Tutto coerente.

I cinque errori che vedo più spesso

Dominio approssimativo. Una condizione dimenticata (tipicamente il logaritmo, o una radice dentro una frazione) e l’intero esercizio è compromesso. Scrivi le condizioni a sistema, sempre.
Cercare l’asintoto obliquo quando c’è quello orizzontale. Sono mutuamente esclusivi dallo stesso lato. Se il limite all’infinito è finito, hai già finito.
Studiare il valore della derivata invece del segno. Serve sapere dove $f^{'}$ è positiva, non quanto vale. Fai la tabella dei segni, come per una disequazione qualunque.
Confondere il segno di $f$ con quello di $f^{'}$ . Sono due tabelle diverse e vanno tenute separate sul foglio. Una funzione può essere negativa e crescente senza nessuna contraddizione.
Disegnare un grafico che smentisce i conti. Capita quando il grafico si fa “a sentimento” alla fine. Il controllo di coerenza finale — trenta secondi — recupera un sacco di punti.

Come lavoriamo su questo argomento nelle lezioni

Il percorso che uso è sempre lo stesso, perché funziona:

Prima lo schema, poi i conti. Nella prima lezione facciamo studi di funzione “a voce”, senza calcolare quasi nulla: guardiamo una funzione e diciamo che domande porre e in che ordine. Serve a costruire l’automatismo, che è il vero contenuto dell’argomento.
Grafici da leggere, non solo da disegnare. Ti do un grafico e ti chiedo di ricavare dominio, segno e segno della derivata. È il percorso inverso, e smonta l’idea che analisi sia una sequenza di conti scollegati.
Funzioni una famiglia alla volta. Razionali fratte, poi irrazionali, poi esponenziali e logaritmiche, poi con valore assoluto. Ogni famiglia ha i suoi due o tre inciampi tipici, e affrontarle mescolate è il modo più veloce per confondersi.
Prove d’esame cronometrate. Nella seconda prova lo studio di funzione ha un tempo assegnato: allenarsi senza orologio dà una falsa sicurezza. Lavoriamo su tracce vere degli anni precedenti.

Sui tempi sono onesto, e distinguo due cose diverse. Per rendere automatico lo schema — sapere sempre quale domanda porre e in che ordine — con limiti e derivate già solidi bastano 3-4 lezioni. Per scendere invece nel dettaglio di ogni passaggio, con tutti i casi particolari che trovi nei sei capitoli qui sopra, il percorso completo è di 7-9 lezioni. Se c’è da recuperare anche il calcolo dei limiti o le regole di derivazione, aggiungi qualche incontro. In ogni caso si parla di settimane, non di mesi: l’argomento è finito e ben delimitato.

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Tra i miei studenti la matematica del quinto anno è il pane quotidiano: voto medio 8.2/10, oltre 215 studenti seguiti e il 97% dei test di ammissione superato. Lo studio di funzione è tipicamente il punto in cui il programma di analisi “si chiude”: chi lo padroneggia arriva alla maturità con la sensazione di avere il controllo, e si vede nel voto.

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Studio di funzione passo passo: lo schema che funziona sempre