Studio di funzione, parte 6: il grafico e tre esempi svolti

Il grafico non nasce alla fine, di colpo, come un premio che ti guadagni dopo aver fatto tutti i conti. Nasce a pezzi, uno alla volta, mentre lavori. Il consiglio più utile che do sempre in questa fase è banale ma cambia tutto: traccia gli assi cartesiani su un angolo del foglio appena hai il dominio, e da lì in poi riporta ogni informazione non appena la trovi — un asintoto tratteggiato appena lo calcoli, un punto appena lo trovi, una zona campita appena sai che lì la funzione non può passare. Alla fine non “disegni il grafico”: lo assembli, perché è già quasi tutto lì.

Questa è la sesta e ultima parte della serie su la guida completa allo studio di funzione. Nella parte 5: concavità e flessi abbiamo chiuso l’ultimo pezzo di informazione — la derivata seconda. Qui mettiamo tutto insieme: l’ordine con cui si disegna, il controllo che ti salva dagli errori più costosi, e tre esempi completi svolti dall’inizio alla fine.

L’ordine con cui si disegna

Non tutte le informazioni vanno a matita nello stesso momento. C’è un ordine che riduce gli errori, perché ogni pezzo nuovo si appoggia su quelli già tracciati:

1. Asintoti tratteggiati. Verticali, orizzontali, obliqui: sono le “guide” del disegno, vanno per prime perché tutto il resto deve rispettarle.
2. Regioni proibite dal segno, campite leggermente. Dove hai trovato $f(x)<0$ o $f(x)>0$, ombreggia (anche solo mentalmente, o con tratteggio leggero) le zone del piano dove il grafico non può passare. È una rete di sicurezza visiva.
3. Punti notevoli. Intersezioni con gli assi, massimi, minimi, flessi — tutti con le coordinate scritte accanto, non solo un puntino.
4. Andamento vicino agli asintoti, secondo quello che dicono i limiti: da sopra o da sotto, verso $+\infty$ o $-\infty$ da destra o da sinistra.
5. Unire i pezzi, rispettando monotonia (dove sale, dove scende, secondo il segno di $f^{\prime }$) e concavità (dove si piega verso l’alto o verso il basso, secondo il segno di $f^{\prime \prime }$).

Fatto questo, hai un disegno che non è un’opinione: è la conseguenza diretta dei conti.

Il controllo di coerenza finale

Prima di considerare il grafico finito, fermati due minuti e passa questa checklist. È il passaggio che vedo saltare più spesso, ed è quello che vale di più: un errore trovato ora costa trenta secondi, lo stesso errore scoperto dopo la consegna costa punti che non recuperi più.

1. Il grafico rispetta il segno che hai calcolato? Se hai scritto $f(x)<0$ per $x\in (0,2)$ e la curva in quell’intervallo sta sopra l’asse x, hai un errore da qualche parte — nel segno o nel disegno.
2. Si avvicina agli asintoti come dicono i limiti? Se il limite per $x\to +\infty$ è $0^{+}$, la curva deve avvicinarsi a $y=0$ da sopra, non da sotto.
3. Il massimo che hai disegnato è davvero più in alto dei punti vicini? Sembra ovvio, ma capita di piazzare un “massimo” più basso di un punto adiacente perché le coordinate sono state trascritte male.
4. La concavità corrisponde al segno di $f^{\prime \prime }$? Dove $f^{\prime \prime }>0$ la curva deve stare “sopra le sue tangenti” (convessa), dove $f^{\prime \prime }<0$ sotto (concava). Se il disegno fa il contrario di quello che hai scritto, uno dei due è sbagliato.
5. Il numero di intersezioni con l’asse x è quello che hai trovato? Se lo studio del segno ti ha dato due zeri e il grafico ne mostra tre, qualcosa non torna.
6. Il grafico attraversa una regione che il segno vietava? È il controllo più rapido e il più efficace: basta guardare se la curva “sconfina” in una zona campita al passaggio 2.
7. Il tratto tra due punti notevoli è coerente con la monotonia? Se tra un massimo e un minimo la funzione deve essere decrescente per tutto il tratto, la curva non può fare una gobba in mezzo.

Se qualcosa stona, non è il grafico a essere sbagliato: è un conto. Torna indietro e ricontrolla segno, limiti, derivata prima o derivata seconda finché il disegno e i numeri raccontano la stessa storia.

Esempio 1 — funzione razionale fratta

È la funzione che uso come filo conduttore di tutta la serie: l’hai già incontrata a pezzi nei capitoli precedenti, qui la vedi montata dall’inizio alla fine in un colpo solo.

1. Dominio

Il denominatore si annulla in $x=1$, quindi il dominio è

2. Simmetrie

diverso sia da $f(x)$ che da $-f(x)$: nessuna simmetria pari né dispari.

3. Intersezioni con gli assi

Con l’asse y: $f(0)=0$. Con l’asse x: $x^2=0\Rightarrow x=0$ (zero doppio). L’unica intersezione è l’origine, e la funzione tocca l’asse x in quel punto senza attraversarlo (zero di molteplicità pari).

4. Segno

$x^2\ge 0$ sempre, quindi il segno di $f$ coincide con il segno di $x-1$: $f(x)>0$ per $x>1$, $f(x)<0$ per $x<1$ (escluso $x=0$ dove $f=0$).

5. Limiti e asintoti

In $x=1$: da sinistra il numeratore tende a $1$ e il denominatore a $0^{-}$, quindi $f\to -\infty$; da destra $f\to +\infty$. Asintoto verticale $x=1$.

Dividendo, $x^2=(x-1)(x+1)+1$, quindi

Per $x\to \pm \infty$ il termine $\frac{1}{x-1}\to 0$, quindi c’è un asintoto obliquo $y=x+1$: da sopra per $x\to +\infty$ (il resto è positivo), da sotto per $x\to -\infty$ (il resto è negativo).

6. Derivata prima

Il denominatore è sempre positivo (dove definito), quindi il segno di $f^{\prime }$ coincide con il segno di $x(x-2)$: positivo per $x<0$, negativo per $0<x<2$ (con $x\ne 1$), positivo per $x>2$. Massimo relativo in $(0,0)$, minimo relativo in $(2,4)$.

7. Derivata seconda

Negativa per $x<1$ (concava), positiva per $x>1$ (convessa). Nessun flesso, perché il cambio di segno avviene in un punto escluso dal dominio.

8. Grafico

Che grafico viene: a sinistra, la curva parte “appoggiata” all’asintoto obliquo $y=x+1$ da sotto, sale fino al massimo in $(0,0)$, poi scende — concava tutto il tempo — fino a precipitare verso $-\infty$ mentre $x\to 1^{-}$. Dall’altra parte dell’asintoto verticale, il ramo destro riparte da $+\infty$ (per $x\to 1^{+}$), scende fino al minimo in $(2,4)$, poi risale, sempre convessa, riavvicinandosi da sopra all’asintoto obliquo $y=x+1$ per $x\to +\infty$. I due rami non si toccano mai: sono separati dalla barriera verticale in $x=1$.

Esempio 2 — funzione esponenziale

1. Dominio

Nessuna restrizione: prodotto di funzioni definite ovunque.

2. Simmetrie

diverso sia da $f(x)$ che da $-f(x)$: nessuna simmetria.

3. Intersezioni con gli assi

$f(0)=0$: unica intersezione, l’origine.

4. Segno

$e^{-x}>0$ sempre, quindi il segno di $f$ è il segno di $x$: $f>0$ per $x>0$, $f<0$ per $x<0$.

5. Limiti e asintoti

Per $x\to +\infty$: $x{e}^{-x}\to 0^{+}$ (l’esponenziale vince sempre sul polinomio), quindi asintoto orizzontale $y=0$ a destra. Dato che $f(x)>0$ per $x$ grandi, la curva si appoggia all’asintoto da sopra.

Per $x\to -\infty$: $x\to -\infty$ e $e^{-x}\to +\infty$ (perché $-x\to +\infty$), quindi $f\to -\infty \cdot +\infty =-\infty$.

Serve controllare se a sinistra c’è un asintoto obliquo:

Il coefficiente angolare non è un numero finito, quindi non c’è asintoto obliquo: a sinistra la funzione precipita più velocemente di qualunque retta, ripida quanto vuoi.

6. Derivata prima

$e^{-x}>0$ sempre, quindi il segno di $f^{\prime }$ è il segno di $1-x$: positivo per $x<1$, negativo per $x>1$. Massimo relativo in $\left(1,\frac{1}{e}\right)$.

7. Derivata seconda

Segno = segno di $x-2$: negativa (concava) per $x<2$, positiva (convessa) per $x>2$. Flesso in $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$.

8. Grafico

Che grafico viene: a sinistra la curva arriva da $-\infty$ con pendenza sempre più ripida (nessun asintoto la rallenta), attraversa l’origine, sale — concava — fino al massimo in $\left(1,\frac{1}{e}\right)$. Da lì scende, resta concava fino a $x=2$, poi diventa convessa nel flesso $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$ e continua a scendere, sempre più lentamente, appiattendosi contro l’asintoto orizzontale $y=0$ senza mai toccarlo: per $x$ grandi la curva è schiacciata contro l’asse x da sopra.

Esempio 3 — funzione logaritmica

1. Dominio

Il logaritmo richiede $x>0$, quindi

2. Simmetrie

Il dominio non è simmetrico rispetto all’origine (non contiene i negativi), quindi lo studio delle simmetrie si può saltare direttamente.

3. Intersezioni con gli assi

Nessuna con l’asse y (lo zero non è nel dominio). Con l’asse x: $\ln x=0\Rightarrow x=1$. Unico zero in $(1,0)$.

4. Segno

Il denominatore $x$ è sempre positivo nel dominio, quindi il segno di $f$ è il segno di $\ln x$: negativo per $0<x<1$, positivo per $x>1$.

5. Limiti e asintoti

Per $x\to 0^{+}$: $\ln x\to -\infty$ e $x\to 0^{+}$, quindi $f\to -\infty$. Asintoto verticale $x=0$.

Per $x\to +\infty$: $\frac{\ln x}{x}\to 0^{+}$ (limite notevole: il logaritmo perde sempre contro la potenza). Asintoto orizzontale $y=0$, con la curva che si appoggia da sopra (dato che $f>0$ per $x>1$).

6. Derivata prima

Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno di $f^{\prime }$ è il segno di $1-\ln x$: positivo per $x<e$, negativo per $x>e$. Massimo relativo in $\left(e,\frac{1}{e}\right)$.

7. Derivata seconda

Il denominatore $x^3$ è sempre positivo nel dominio, quindi il segno di $f^{\prime \prime }$ è il segno di $2\ln x-3$: negativa (concava) per $x<e^{3/2}$, positiva (convessa) per $x>e^{3/2}$. Flesso in $x=e^{3/2}$, con

8. Grafico

Che grafico viene: la curva parte da $-\infty$ appena sopra $x=0$ (asintoto verticale), sale ripidamente, attraversa l’asse x in $(1,0)$, continua a salire — sempre concava — fino al massimo in $\left(e,\frac{1}{e}\right)$. Da lì scende, resta concava fino a $x=e^{3/2}\approx 4,48$, diventa convessa dopo il flesso, e prosegue in discesa lentissima verso destra, appoggiandosi da sopra all’asintoto orizzontale $y=0$ senza mai raggiungerlo.

Tabella riepilogativa

Il pattern che salta all’occhio: le razionali fratte tendono a dare asintoti obliqui e nessun flesso quando il numeratore ha grado esattamente uno in più del denominatore; le esponenziali del tipo $x^n{e}^{-x}$ hanno sempre un asintoto orizzontale a destra e crescita senza freni a sinistra; e le logaritmiche del tipo $\frac{\ln x}{x}$ vivono solo a destra dello zero, con un unico massimo e una discesa lentissima verso l’asintoto orizzontale.

Varianti d’esame

L’area sottesa

Se la traccia chiede l’area di una regione delimitata dal grafico, di solito serve prima trovare gli estremi di integrazione (spesso proprio le intersezioni con l’asse x o con un’altra curva che hai già calcolato al passaggio 3), poi integrare $|f(x)|$ tra quegli estremi — attenzione al valore assoluto se la funzione cambia segno nell’intervallo, altrimenti l’area viene negativa e sbagliata.

La retta tangente in un punto

Ti serve $f^{\prime }(x_0)$, che quasi sempre hai già calcolato al passaggio 6. La tangente è

non c’è altro lavoro da fare, solo sostituire i numeri che hai già in mano.

La discussione con un parametro

Quando compare un parametro (tipo $f(x)=\frac{x^2}{x-k}$), il metodo non cambia: rifai gli stessi otto passaggi tenendo $k$ come lettera, e a ogni passaggio annota per quali valori di $k$ cambia la conclusione (ad esempio il dominio cambia sempre con $k$, ma il numero di intersezioni potrebbe cambiare solo per certi valori). Il trucco è isolare subito le condizioni su $k$ che modificano la struttura del grafico, non aspettare la fine.

Il grafico di $|f(x)|$ e $f(|x|)$

Per $|f(x)|$: tieni fissa la parte del grafico dove $f(x)\ge 0$, e ribalta sopra l’asse x la parte dove $f(x)<0$ (specchio rispetto all’asse x). Per $f(|x|)$: tieni la parte con $x\ge 0$ e la rifletti anche a sinistra dell’asse y, cancellando quello che avevi disegnato per $x<0$ (il grafico diventa sempre simmetrico pari). Sono trasformazioni geometriche, non richiedono nuovi conti — ma richiedono di avere già il grafico di $f$ corretto, altrimenti propaghi l’errore.

Gestione del tempo alla seconda prova

Per uno studio di funzione completo con tutti gli otto passaggi, un tempo ragionevole in sede d’esame è intorno ai 25-30 minuti. Se sei in ritardo, l’ordine di taglio è preciso:

1. Simmetrie, se non sono evidenti a colpo d’occhio: si può menzionare “nessuna simmetria evidente” e passare oltre senza il conto esplicito.
2. Derivata seconda, se il tempo stringe davvero: un grafico con dominio, segno, asintoti e derivata prima corretti vale comunque quasi tutto il punteggio, e puoi disegnare una concavità “plausibile” segnalando che non l’hai verificata.

Quello che non tagli mai: dominio, asintoti, derivata prima. Sono le tre informazioni che fissano forma e comportamento del grafico; senza queste il disegno non è uno studio di funzione, è un abbozzo.

Gli errori che vedo più spesso

1. Il grafico smentisce i conti. Hai scritto $f(x)>0$ per $x>2$ ma disegni la curva sotto l’asse x in quella zona. È l’errore più grave perché mostra che non hai fatto il controllo di coerenza finale.
2. Scale degli assi assurde. Se il massimo vale $0,01$ e usi la stessa unità di misura per un asintoto che arriva a $50$, il grafico diventa illeggibile e i punti notevoli si accavallano. Scegli scale diverse su x e y se serve, e dillo.
3. Asintoti disegnati con la linea continua invece che tratteggiata. Sembra un dettaglio estetico, ma è una convenzione che segnala se hai capito che quella retta non fa parte del grafico.
4. La curva che tocca l’asintoto verticale. Un asintoto verticale non si tocca mai: la curva ci si avvicina all’infinito ma resta sempre a distanza. Se nel disegno la curva “atterra” sulla retta tratteggiata, è un errore concettuale, non solo grafico.
5. Punti notevoli senza coordinate scritte accanto. Un puntino sul grafico senza etichetta non vale come “punto notevole individuato”: scrivi sempre le coordinate esatte vicino al punto, è quello che viene valutato.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

• Schema a voce prima dei conti. Prima di scrivere un solo calcolo, ti faccio descrivere a parole che forma ti aspetti dal grafico, in base al tipo di funzione. Se la previsione e il risultato finale non coincidono, troviamo l’errore subito.
• Grafici da leggere al contrario. Ti do un grafico già disegnato e ti chiedo di ricavarne dominio, segno, segno di $f^{\prime }$ e di $f^{\prime \prime }$. È l’esercizio che consolida di più, perché ti costringe a collegare disegno e informazioni nei due sensi.
• Una famiglia di funzioni alla volta. Razionali fratte una settimana, esponenziali la successiva, logaritmiche dopo: ogni famiglia ha le sue trappole specifiche (asintoti obliqui, crescita senza asintoto obliquo, dominio limitato), e mescolarle troppo presto confonde più che aiutare.
• Prove d’esame cronometrate. Nelle ultime lezioni prima della maturità, simuliamo lo studio di funzione con il tempo reale della seconda prova, per allenare anche la gestione del tempo, non solo il metodo.

Sui tempi sono onesto: se limiti e derivate sono già solide (le parti 3 e 4 di questa serie), bastano 3-4 lezioni per montare uno studio di funzione completo senza inceppamenti. Se invece vogliamo ripassare per bene ogni passaggio della serie, uno alla volta, il percorso realistico è di 7-9 incontri — e se c’è da recuperare anche le basi di limiti e derivate, qualcuno in più. Le modalità e le ore sono spiegate nella pagina prezzi.

Con questa parte si chiude la serie sullo studio di funzione: dominio e simmetrie, intersezioni e segno, limiti e asintoti, derivata prima, derivata seconda, e ora il montaggio finale nel grafico. È il capitolo che, da solo, vale spesso un quarto della seconda prova di matematica, e tra i miei studenti resta uno di quelli su cui si vede il salto più netto tra chi lo tratta come una sequenza di formule e chi lo tratta come un ragionamento — voto medio 8.2/10, oltre 215 studenti seguiti, 97% dei test di ammissione superato sono numeri che nascono soprattutto da qui, dai capitoli “lunghi” fatti bene.

Se hai seguito tutta la serie, il passo naturale ora è mettersi alla prova: le simulazioni gratuite della maturità di matematica hanno diversi studi di funzione completi con soluzione guidata, perfetti per verificare se il metodo è davvero tuo o se hai ancora bisogno di allenamento su qualche passaggio specifico. Per rivedere il pezzo precedente c’è la parte 5: concavità e flessi, e per il quadro d’insieme di tutta la serie resta sempre valida la guida completa allo studio di funzione. Se invece stai preparando un test d’ingresso dove lo studio di funzione compare in forma più compressa, la pagina test di ammissione spiega come lo tratto in quel contesto; per il percorso completo di matematica del quinto anno trovi la panoramica generale.

Se questo capitolo è quello che ti frena — o se vuoi solo capire a che punto sei prima della prova — scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo insieme un paio di funzioni che non ti tornano e ti dico onestamente cosa serve per arrivare pronto.