Studio di funzione, parte 2: intersezioni e studio del segno

Se dovessi indicare il passaggio più sottovalutato in tutto lo studio di funzione, non avrei dubbi: è lo studio del segno. Non perché sia difficile — è quasi sempre il pezzo più meccanico di tutto il procedimento — ma perché la maggior parte degli studenti lo calcola, lo scrive su un rigo, e poi non lo usa più. Arrivano al grafico finale e ridisegnano tutto a intuito, ignorando che avevano già in mano l’informazione che gli diceva esattamente dove il grafico poteva passare e dove no.

È un errore che costa caro, perché il segno — insieme agli zeri — chiude intere regioni del piano. Fatto bene, il resto dello studio di funzione (limiti, asintoti, derivate) diventa quasi un controllo di coerenza: se il grafico che stai disegnando entra in una zona vietata dal segno, sai già che hai sbagliato qualcosa. Prima però bisogna sapere come arrivarci, e da dove: dal capitolo precedente, parte 1: dominio e simmetrie, che è il prerequisito assoluto di quello che segue — non puoi studiare il segno fuori dal dominio.

Intersezione con l’asse y

Si comincia dalla parte più semplice, quella che spesso si liquida in una riga. L’intersezione con l’asse y è il valore $f(0)$, cioè il punto $(0,f(0))$ — ma solo se 0 appartiene al dominio. Se il dominio esclude lo zero, l’intersezione con l’asse y semplicemente non esiste, e va scritto in chiaro, non sottinteso.

Esempio:

Il dominio è $x>0$ (per via del logaritmo, che è più restrittivo di $x\ne 0$). Lo zero non appartiene al dominio: niente intersezione con l’asse y, punto. Molti studenti a questo punto scrivono comunque “interseca l’asse y in $x=0$” per abitudine, senza controllare — è un errore banale ma frequente.

Un dettaglio che vale la pena fissare bene, perché torna utile più avanti quando disegni il grafico: l’intersezione con l’asse y, se esiste, è una sola. È una conseguenza diretta della definizione di funzione — a ogni $x$ del dominio corrisponde un solo valore di $y$, quindi la retta verticale $x=0$ può incrociare il grafico al massimo in un punto. Con l’asse x invece non c’è questo vincolo: le intersezioni possono essere zero, una, due, o anche infinite (pensa a $\sin x$).

Intersezioni con l’asse x (gli zeri)

Qui si tratta di risolvere $f(x)=0$, sempre dentro il dominio trovato in parte 1. La tecnica cambia a seconda della forma della funzione.

Funzione fratta. Una frazione è zero quando è zero il numeratore, a patto che il denominatore in quel punto non sia anch’esso zero. L’errore classico — lo vedo praticamente ogni settimana — è annullare “tutta l’espressione” senza distinguere sopra e sotto, oppure dimenticarsi di controllare che il denominatore non si annulli nello stesso punto (nel qual caso non avresti uno zero, ma un punto escluso dal dominio). La procedura corretta: risolvi numeratore $=0$, poi verifichi che ogni soluzione trovata renda il denominatore diverso da zero.

Prodotto di fattori. Vale la legge di annullamento del prodotto: un prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero:

Sembra ovvio scritto così, ma su prodotti di tre o quattro fattori (magari con dentro anche radici o esponenziali) è facile perderne uno per strada.

Radice, logaritmo, esponenziale. Qui casca spesso anche chi è solido sul resto:

• $e^{g(x)}$ non è mai zero, per nessun valore di $g(x)$: l’esponenziale è una funzione strettamente positiva su tutto il suo dominio. Se ti trovi a “risolvere” $e^{g(x)}=0$, la risposta è: nessuna soluzione, sempre. Non esiste un valore che annulli un esponenziale.
• $\ln (g(x))=0⟺g(x)=1$ (e non $g(x)=0$, che è invece la condizione sul dominio). Confondere queste due condizioni — $g(x)>0$ per il dominio, $g(x)=1$ per lo zero — è uno degli errori più comuni su questo capitolo.
• Una radice $\sqrt{g(x)}=0⟺g(x)=0$, sempre verificando che quel valore stia nel dominio (dove serve $g(x)\ge 0$).

Molteplicità pari o dispari. Se uno zero nasce da un fattore elevato a potenza, come $(x-2{)}^2$ oppure $(x-2{)}^3$, la molteplicità di quello zero cambia il comportamento del grafico proprio in quel punto:

• molteplicità dispari (1, 3, 5…): il grafico attraversa l’asse x, il segno cambia da un lato all’altro dello zero;
• molteplicità pari (2, 4…): il grafico tocca l’asse x e torna indietro (tangenza), il segno resta lo stesso ai due lati dello zero.

Questo collega direttamente al prossimo paragrafo: la molteplicità è già, di fatto, un’informazione sul segno, non solo sulla forma del grafico vicino allo zero.

Quando l’equazione non è risolubile elementarmente. Capita, soprattutto con funzioni miste (per esempio $f(x)=x-\cos x$): non esiste un metodo algebrico che isoli $x$. In questi casi l’approccio onesto non è “arrenderti”, ma dichiarare esplicitamente che lo zero esiste per via del teorema degli zeri (o teorema di Bolzano): se $f$ è continua su $[a,b]$ e $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno discorde, allora esiste almeno uno zero in $(a,b)$. Trovi due valori dove la funzione cambia segno, dichiari “esiste uno zero $x_0\in (a,b)$ che non si può esprimere in forma chiusa”, e — se serve una stima — restringi l’intervallo a bisezione. Non è una scappatoia: è il modo corretto di trattare un caso che non ha soluzione elementare, e un esaminatore lo apprezza più di un tentativo di algebra impossibile.

Studio del segno: il metodo

Una volta trovati gli zeri e i punti esclusi dal dominio, si tratta di risolvere $f(x)>0$ (il caso $f(x)<0$ è il complementare). Il metodo standard è la tabella dei segni, e vale la pena farla bene, perché è lo strumento che userai identico per ogni funzione da qui in avanti.

Come si costruisce: scomponi $f(x)$ nei suoi fattori (numeratore, denominatore, eventuali fattori separati di un prodotto). Ogni fattore diventa una riga della tabella. Le colonne sono gli intervalli in cui l’asse x viene diviso da tutti i valori “critici”: gli zeri di ciascun fattore e i punti esclusi dal dominio. Questo è il punto che quasi tutti dimenticano: i punti esclusi dal dominio vanno segnati in tabella esattamente come gli zeri, altrimenti perdi l’informazione su dove la funzione cambia comportamento per un salto o un asintoto.

Per ogni riga, segni con $+$ o $-$ il segno del fattore in ciascun intervallo (basta un valore di prova per intervallo), e nell’ultima riga applichi la regola del prodotto/quoziente dei segni: un numero pari di fattori negativi dà segno positivo, un numero dispari dà segno negativo — esattamente come nella moltiplicazione tra numeri relativi. Nei punti esclusi dal dominio la riga finale resta “vuota” (funzione non definita lì), non zero.

Schema generico (i simboli sono solo indicativi):

Dove $a$ è uno zero e $b$ è un punto escluso dal dominio: nella colonna di $b$ la funzione non è definita, non vale zero.

Casi tipici svolti

1. Razionale fratta

Dominio: $x\ne -1$. Zeri: numeratore $x^2-4=0⟺x=\pm 2$, entrambi diversi da $-1$, quindi validi. Fattori: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ positivo per $x<-2$ o $x>2$, negativo tra $-2$ e $2$; $x+1$ positivo per $x>-1$, negativo per $x<-1$.

Quindi

zeri (molteplicità 1, quindi attraversamento) in $x=\pm 2$.

2. Con logaritmo

Dominio: serve $x^2-3x+2>0$. Scomponendo, $(x-1)(x-2)>0⟺x<1$ oppure $x>2$.

Zeri: risolvo $\ln (g(x))=0⟺g(x)=1$, cioè $x^2-3x+2=1⟺x^2-3x+1=0$, che dà

Numericamente $x_1\approx 0,38$ e $x_2\approx 2,62$; entrambi cadono nel dominio (rispettivamente $x<1$ e $x>2$), quindi sono zeri validi.

Il punto centrale, ed è il motivo per cui questo è un buon esempio: dato che $\ln$ è strettamente crescente, il segno di $f$ si riduce a confrontare l’argomento con $1$, senza più bisogno di pensare al logaritmo:

Intersecando con il dominio ($x<1$ o $x>2$):

3. Con esponenziale

Dominio: tutto $\mathbb{R}$. Zeri: $(x-2)e^x=0$. Ma $e^x$ non è mai zero (come detto sopra), quindi l’unico zero è $x=2$.

Per il segno: $e^x>0$ per ogni $x$, quindi il fattore esponenziale non contribuisce mai a cambiare segno — puoi “cancellarlo” dal ragionamento e concentrarti solo sull’altro fattore:

Quindi $f(x)>0$ per $x>2$, $f(x)<0$ per $x<2$, zero (attraversamento) in $x=2$.

Trucchi che fanno risparmiare tempo

Qualche scorciatoia legittima, che uso sempre nelle correzioni:

• Fattori sempre positivi si cancellano dal ragionamento sul segno, non dal calcolo degli zeri. Quadrati come $(x-1{)}^2$, esponenziali $e^{g(x)}$, radici pari $\sqrt{g(x)}$ (dove definite): se un fattore è sempre $\ge 0$ o sempre $>0$, non incide sul segno complessivo — lo elimini dalla tabella e lavori solo sui fattori che possono davvero cambiare segno.
• Il segno di $-g(x)$ è opposto a quello di $g(x)$. Sembra ovvio, ma su espressioni lunghe aiuta riscrivere per portare fuori un segno meno e ridurre il numero di casi.
• Simmetria pari/dispari eredita il segno. Se hai già stabilito in parte 1 che la funzione è pari, il segno per $x<0$ è identico a quello per $x>0$ (basta studiarlo su metà dominio e “specchiare”); se è dispari, il segno si ribalta passando da $x>0$ a $x<0$.

Come si usa il segno sul grafico

Questo è il punto che voglio che tu porti a casa più di ogni altro: segno e zeri, presi insieme, ti dicono già in quale semipiano vive ogni ramo del grafico, prima ancora di calcolare una derivata.

Nella pratica: quando disegni gli assi, campisci (anche solo mentalmente, o con una matita leggera) le zone dove la funzione non può stare — sopra l’asse x negli intervalli dove il segno è negativo, sotto l’asse x dove è positivo. Quello che resta è un corridoio, spesso stretto, dentro cui il grafico è vincolato a passare. Quando più avanti disegni il grafico definitivo con asintoti e derivate, quel corridoio è un controllo automatico: se il ramo che stai tracciando esce da lì, hai sbagliato qualcosa a monte, non nel disegno.

Segno di f vs segno di f′ (anticipazione)

Un chiarimento che faccio sempre esplicitamente, perché è l’errore numero uno di tutta la serie: la tabella del segno di $f$ e la tabella del segno della derivata $f^{\prime }$ sono due tabelle diverse, che rispondono a domande diverse. La prima ti dice dove il grafico sta sopra o sotto l’asse x. La seconda (che vedremo più avanti nella serie) ti dice dove la funzione cresce o decresce.

Non c’è nessuna contraddizione in una funzione che è negativa e crescente allo stesso tempo — pensa a un ramo che sale da $-10$ a $-1$: sta sempre sotto l’asse x (segno negativo) mentre cresce (derivata positiva). Tenere separati questi due studi, e le due tabelle, evita la maggior parte della confusione quando si arriva a unire tutte le informazioni nel grafico finale.

Gli errori che vedo più spesso

1. Annullare l’intera frazione invece del solo numeratore. $\frac{x-1}{x+2}=0$ non ha come soluzioni gli zeri di tutta l’espressione insieme: solo $x=1$ (numeratore), verificando che $x=1$ non annulli il denominatore.
2. “Risolvere” $e^{g(x)}=0$. Non ha soluzione, mai. Se ti ritrovi a cercarla, hai sbagliato l’impostazione del passaggio precedente.
3. Dimenticare i punti esclusi dal dominio nella tabella dei segni. Solo gli zeri non bastano: un punto dove la funzione non è definita spezza comunque un intervallo e va segnato, altrimenti la tabella “mente” su un tratto intero.
4. Confondere la condizione di dominio con la condizione di zero nel logaritmo. $g(x)>0$ è il dominio, $g(x)=1$ è lo zero: sono due equazioni diverse sullo stesso argomento, e vanno tenute separate.
5. Usare la tabella del segno di $f^{\prime }$ per rispondere a una domanda sul segno di $f$ (o viceversa). Sono due studi indipendenti; mischiarli produce grafici che sembrano plausibili ma sono matematicamente sbagliati.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

• Prima la tabella fatta a mano su carta, riga per riga, prima di qualunque scorciatoia: è l’unico modo per interiorizzare davvero perché i punti esclusi dal dominio ci devono stare.
• Alleniamo il riconoscimento dei casi (fratta, prodotto, radice, logaritmo, esponenziale) su esercizi misti, non uno alla volta, perché al compito arrivano mescolati.
• Colleghiamo sempre segno e grafico: dopo ogni tabella, chiedo di disegnare a mano libera “dove può e non può stare” il grafico, prima di passare oltre.
• In genere bastano 1-2 lezioni per padroneggiare questo passaggio da solo; il salto di qualità vero arriva quando lo si combina con derivate e asintoti nel grafico completo, che è il modo in cui affronto l’analisi del quinto anno nel percorso di matematica.

Il capitolo precedente è parte 1: dominio e simmetrie; il prossimo è parte 3: limiti e asintoti. Se lo studio di funzione è il tuo punto debole, scrivimi per una diagnosi gratuita.