Massimi, minimi e monotonia

C’è un momento preciso in cui vedo bloccarsi la maggior parte dei miei studenti in questo capitolo: hanno calcolato $f^{'} (x)$ giusta, magari con un conto anche lungo, e poi restano lì a fissarla come se dovesse dirgli qualcosa da sola. Provano a sostituire numeri, cercano un pattern, aspettano un’illuminazione. Ma la derivata prima non serve per essere guardata: serve per essere studiata nel segno, esattamente come faresti con qualunque altra disequazione. Una volta capito questo, il capitolo si sblocca.

Questo è il quarto pezzo della serie sullo studio di funzione. Se non l’hai ancora fatto, parti da la guida completa allo studio di funzione per avere la mappa di tutti i passaggi, e recupera parte 3: limiti e asintoti se non hai ancora chiuso quel pezzo — qui do per scontato che dominio, simmetrie e asintoti siano già in tasca. Non rifaccio qui le regole di derivazione: quelle le trovi in derivate spiegate bene. Qui la derivata è uno strumento, non l’argomento.

Il segno, non il valore

Ripetiamolo perché è il concetto che regge tutto il capitolo: di $f^{'} (x)$ non ti interessa quanto vale in un punto, ti interessa se in un certo intervallo è positiva, negativa o nulla. Il valore numerico della derivata (la pendenza esatta della tangente) serve solo in problemi specifici — trovare l’equazione della tangente, un problema di ottimizzazione con vincolo numerico. Per lo studio di funzione, $f^{'} (x) = 3$ e $f^{'} (x) = 300$ raccontano esattamente la stessa storia: la funzione sta salendo. A te serve solo il segno.

Concretamente, il procedimento è: calcoli $f^{'} (x)$ , la scrivi come frazione o prodotto di fattori, e studi $f^{'} (x) > 0$ come una disequazione qualsiasi — con tutti gli strumenti che già usi per le disequazioni fratte, con radicali, con esponenziali.

Il legame tra segno di f’ e monotonia

Il teorema che usi è semplice da enunciare:

f^{'} (x) > 0 su un intervallo ⟹ f \overset{e}{ˋ} crescente su quell’intervallo

f^{'} (x) < 0 su un intervallo ⟹ f \overset{e}{ˋ} decrescente su quell’intervallo

La parola che conta in questa frase è intervallo. La crescenza e la decrescenza sono proprietà che valgono su un pezzo continuo di dominio, non su “tutto il dominio” preso genericamente. Se il dominio è spezzato — tipicamente da un asintoto verticale, come nelle funzioni razionali fratte — non puoi dire “la funzione è crescente su tutto il dominio” anche se il segno di $f^{'}$ è lo stesso a sinistra e a destra del punto escluso. Devi elencare gli intervalli separatamente: crescente su $(- \infty, 1)$ e crescente su $(1, + \infty)$ sono due affermazioni diverse da “crescente su $R ∖ {1}$ ”, perché in quel punto la funzione non è nemmeno definita e il grafico ha un salto (l’asintoto). È uno degli errori più comuni che vedo scrivere in tabella, e te lo segnalo già ora perché lo ritroverai negli esempi svolti più sotto.

Il dominio di f’ può essere più piccolo del dominio di f

Prima di studiare il segno, controlla sempre il dominio della derivata. Non è garantito che coincida con quello di $f$ : può essere più piccolo.

Esempio classico:

f (x) = x, dominio [0, + \infty)

La derivata è

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}

il cui dominio è $(0, + \infty)$ : lo zero è escluso, perché lì il denominatore si annulla. Questo non è un dettaglio tecnico da ignorare — significa che in $x = 0$ la funzione è definita ma non è derivabile, e come vedrai tra poco quel punto va comunque studiato a parte, perché può nascondere un massimo o un minimo. Salta questo controllo e rischi di perdere un punto importante della funzione senza nemmeno accorgertene.

Punti stazionari: candidati, non certezze

I punti stazionari sono i punti dove $f^{'} (x) = 0$ : lì la tangente al grafico è orizzontale. Attenzione a come li chiami mentalmente — non sono “i massimi e i minimi”, sono i candidati a esserlo. Trovare $f^{'} (x_{0}) = 0$ ti dice solo che in $x_{0}$ la funzione ha una tangente piatta: sta a te stabilire cosa succede intorno a quel punto.

Criterio del segno della derivata prima

È il criterio che uso quasi sempre, perché è quello che ti dà anche la monotonia, quindi lo fai comunque. Guardi come cambia il segno di $f^{'}$ attraversando $x_{0}$ :

da $+$ a $-$ : la funzione smette di crescere e comincia a decrescere → massimo relativo
da $-$ a $+$ : la funzione smette di decrescere e comincia a crescere → minimo relativo
segno invariato (per esempio $+$ prima e $+$ dopo): la funzione continua a crescere (o decrescere) come se nulla fosse → non è né massimo né minimo, è un flesso a tangente orizzontale

L’esempio da manuale per il terzo caso è $f (x) = x^{3}$ in $x_{0} = 0$ . Qui $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , che è $\geq 0$ ovunque e si annulla solo in $0$ . Il segno non cambia mai (è sempre $\geq 0$ ), quindi $f$ è sempre crescente, anche attraversando $x = 0$ : quel punto è un flesso a tangente orizzontale, non un minimo, anche se la tangente lì è piatta.

Criterio della derivata seconda (anticipazione)

C’è un’alternativa quando calcolare il segno di $f^{'}$ a mano è scomodo: guardi il segno di $f^{''} (x_{0})$ .

$f^{'} (x_{0}) = 0$ e $f^{''} (x_{0}) > 0$ → minimo relativo (la funzione è concava verso l’alto lì)
$f^{'} (x_{0}) = 0$ e $f^{''} (x_{0}) < 0$ → massimo relativo (concava verso il basso)
$f^{'} (x_{0}) = 0$ e $f^{''} (x_{0}) = 0$ → il criterio non conclude nulla, devi tornare al segno di $f^{'}$

Questo criterio è comodo ma ha un limite chiaro: se $f^{''} (x_{0}) = 0$ non hai risposta, e devi comunque tornare al metodo del segno. Ne parlo per esteso, con la concavità e i flessi veri e propri, nella parte 5: concavità e flessi. Per ora tienilo come strumento di riserva: il segno di $f^{'}$ resta il metodo che funziona sempre.

Massimi e minimi: relativi contro assoluti

Qui si gioca una distinzione che moltissimi studenti trattano come sinonimi, e non lo sono.

Un massimo (o minimo) relativo è un punto che è il più alto (o basso) solo nel suo intorno: guardando poco a destra e poco a sinistra, in nessun altro punto vicino la funzione supera quel valore. Un massimo (o minimo) assoluto è il più alto (o basso) valore su tutto il dominio (o sull’insieme che stai considerando).

Il punto delicato: un minimo relativo può stare più in alto di un massimo relativo, se si trovano su rami diversi del grafico. Non è una stranezza, è la norma nelle funzioni con asintoti verticali. Prendi la funzione che studiamo per intero più sotto:

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}

Ha un massimo relativo in $x = 0$ che vale $f (0) = 0$ , e un minimo relativo in $x = 2$ che vale $f (2) = 4$ . Il “minimo” vale più del “massimo”, perché sono su due rami separati dall’asintoto in $x = 1$ e non c’è nessuna contraddizione: il nome massimo/minimo relativo descrive il comportamento locale, non un confronto globale.

Per trovare i massimi e minimi assoluti su un dominio, confronti tra loro:

i valori di $f$ nei punti stazionari e nei punti di non derivabilità interni al dominio;
i valori di $f$ agli estremi del dominio, se sono inclusi (dominio chiuso);
i limiti di $f$ agli estremi, se sono esclusi (dominio aperto, o all’infinito) — in quel caso il massimo o minimo assoluto potrebbe non esistere affatto, perché ti avvicini a un valore senza mai raggiungerlo.

Un riferimento teorico in una riga, perché torna spesso nei problemi con vincolo: il teorema di Weierstrass garantisce che se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato $[a, b]$ , massimo e minimo assoluti esistono sempre, anche se magari non li trovi tra i punti stazionari (potrebbero cadere proprio agli estremi $a$ e $b$ ).

Punti di non derivabilità: dove si vince o si perde punti al compito

Questa è la parte che separa davvero un compito impostato bene da uno impostato benissimo. Un punto dove $f$ è continua ma non derivabile può comunque essere un massimo o un minimo, e se lo dimentichi nella tabella dei segni lo perdi. Ci sono tre casi, e si distinguono guardando i limiti delle derivate laterali (equivalentemente, il limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra).

Punto angoloso: le derivate laterali esistono, sono finite, ma sono diverse tra loro. Il grafico ha uno spigolo netto. Esempio: $f (x) = ∣ x ∣$ in $x = 0$ :

f^{'} (0^{+}) = 1, f^{'} (0^{-}) = - 1

Finite, diverse. In quel punto c’è, non a caso, un minimo (relativo e assoluto).

Cuspide: le derivate laterali sono entrambe infinite, ma di segno opposto. Il grafico forma una punta acuta, come la cima di una montagna capovolta o dritta. Esempio: $f (x) = ∣ x ∣$ in $x = 0$ :

x \to 0^{+} lim f^{'} (x) = + \infty, x \to 0^{-} lim f^{'} (x) = - \infty

Infinite, segni opposti. Anche qui, in $x = 0$ c’è un minimo.

Flesso a tangente verticale: le derivate laterali sono entrambe infinite ma dello stesso segno. Il grafico non ha una punta, ha un tratto verticale che la funzione attraversa continuando a salire (o scendere) nello stesso verso. Esempio: $f (x) = 3 x$ in $x = 0$ , con

f^{'} (x) = \frac{1}{3 3 x ^{2}}

che tende a $+ \infty$ sia da destra sia da sinistra: stesso segno, quindi non è né massimo né minimo, è un flesso con tangente verticale.

Il punto pratico: ogni volta che c’è un punto di non derivabilità, mettilo in tabella insieme agli zeri di $f^{'}$ . Il segno di $f^{'}$ prima e dopo quel punto ti dice comunque se è massimo, minimo o né l’uno né l’altro — la formula del criterio è identica a quella dei punti stazionari, cambia solo che lì $f^{'}$ non è definita invece di essere zero.

La tabella dei segni di f’: come costruirla senza errori

Nella tabella dei segni di $f^{'}$ vanno inseriti, in ordine crescente sulla riga della $x$ :

gli estremi del dominio;
i punti esclusi dal dominio (asintoti verticali, buchi);
gli zeri di $f^{'} (x)$ (i punti stazionari);
i punti di non derivabilità (angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale).

Un esempio di struttura, per una funzione con dominio $R ∖ {1}$ e $f^{'}$ nulla in $x = 0$ e $x = 2$ :

$x$	$- \infty$		$0$		$1$		$2$		$+ \infty$
segno $f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	n.d.	$-$	$0$	$+$
andamento $f$		crescente	max	decrescente	asintoto	decrescente	min	crescente

Attenzione a non confonderla con la tabella del segno di $f$ (quella della parte 2, dove studi dove il grafico sta sopra o sotto l’asse x): sono due tabelle diverse, con scopi diversi, spesso con gli stessi punti critici ma un significato completamente diverso della riga dei segni. Tenerle separate nella testa — e sul foglio — evita la maggior parte della confusione che vedo al compito.

Due esempi svolti

Esempio 1 — funzione razionale fratta

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}, dominio: x \neq = 1

Derivata con la regola del quoziente:

f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2} \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 2 x - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}

Il denominatore $(x - 1)^{2}$ è sempre positivo (dove definito), quindi il segno di $f^{'}$ coincide con quello del numeratore $x (x - 2)$ : positivo fuori dall’intervallo $[0, 2]$ , negativo dentro.

Tabella: $f^{'} > 0$ su $(- \infty, 0)$ , $f^{'} < 0$ su $(0, 1)$ , $f^{'} < 0$ su $(1, 2)$ , $f^{'} > 0$ su $(2, + \infty)$ . Nota che scrivo due intervalli decrescenti separati, $(0, 1)$ e $(1, 2)$ , e non “decrescente su $(0, 2)$ ”: in $x = 1$ la funzione non esiste (c’è l’asintoto verticale), quindi non posso unire i due pezzi come se fossero collegati.

Conclusione: massimo relativo in $x = 0$ , con $f (0) = 0$ ; minimo relativo in $x = 2$ , con $f (2) = \frac{4}{1} = 4$ . Nessuno dei due è assoluto: per $x \to 1^{-}$ la funzione tende a $- \infty$ e per $x \to 1^{+}$ tende a $+ \infty$ (lo vedi dai limiti calcolati in parte 3), quindi su ciascun ramo la funzione copre comunque tutti i valori intermedi — il massimo relativo in 0 non è il punto più alto in assoluto sul ramo di sinistra, ed è qui che si vede bene perché “relativo” e “assoluto” non sono la stessa cosa.

Esempio 2 — funzione con esponenziale

f (x) = x e^{- x}, dominio: R

Derivata con la regola del prodotto:

f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x} + x \cdot (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - x)

$e^{- x}$ è sempre positivo, quindi il segno di $f^{'}$ dipende solo da $(1 - x)$ : positivo per $x < 1$ , negativo per $x > 1$ . Non ci sono punti esclusi dal dominio, quindi qui la monotonia si può dire senza spezzare nulla: crescente su $(- \infty, 1)$ , decrescente su $(1, + \infty)$ .

In $x = 1$ il segno passa da $+$ a $-$ : massimo relativo, e vale $f (1) = 1 \cdot e^{- 1} = \frac{1}{e}$ . Dato che per $x \to - \infty$ la funzione tende a $- \infty$ e per $x \to + \infty$ tende a $0$ (senza mai risuperare $1/ e$ , visto che è l’unico punto stazionario e la funzione è sempre decrescente dopo), questo massimo relativo è anche assoluto.

Gli errori che vedo più spesso

Studiare il valore invece del segno. Sostituire numeri in $f^{'} (x)$ per “vedere che numero viene” invece di impostare la disequazione $f^{'} (x) > 0$ . Perdi tempo e non arrivi a niente di utile per la monotonia.
Dimenticare i punti di non derivabilità. Concentrarsi solo sugli zeri di $f^{'}$ e saltare gli angolosi, le cuspidi, i flessi a tangente verticale — che possono benissimo essere un massimo o un minimo anche senza che $f^{'}$ si annulli lì.
Dichiarare massimo o minimo senza verificare il cambio di segno. Trovare $f^{'} (x_{0}) = 0$ e scrivere subito “massimo” o “minimo” senza controllare cosa fa il segno prima e dopo — e finire per etichettare come estremo un punto che in realtà è un flesso a tangente orizzontale.
Dire “crescente su tutto il dominio” con un dominio spezzato. Se c’è un asintoto verticale in mezzo, gli intervalli di monotonia vanno elencati separatamente anche quando il segno di $f^{'}$ è lo stesso su entrambi i lati.
Confondere il segno di $f$ con quello di $f^{'}$ . Sono due tabelle diverse con scopi diversi: una ti dice dove il grafico sta sopra o sotto l’asse x, l’altra dove sale o scende. Mescolarle in un’unica riga di conti è la fonte più comune di errori di distrazione.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

Prima alleniamo il riflesso “vedo $f^{'} (x) = 0$ o $f^{'}$ non definita → controllo il segno prima e dopo”, su funzioni semplici, finché diventa automatico prima di passare a quelle più lunghe.
Ogni esercizio lo costruiamo con la tabella completa — punti esclusi dal dominio, zeri di $f^{'}$ , punti di non derivabilità — non solo con la conclusione finale, perché è lì che si perdono i punti al compito.
Lavoriamo su funzioni con dominio spezzato apposta, perché è dove nasce quasi ogni errore di “crescente su tutto il dominio” mal scritto.
In genere bastano 2-3 lezioni per fissare bene questo passaggio dello studio di funzione, una volta che i limiti e gli asintoti della parte 3 sono già solidi.

Il prossimo passaggio naturale è la concavità: vai alla parte 5: concavità e flessi. Se vuoi rivedere lo studio di funzione con me, dalle basi o solo sui punti deboli, nelle mie lezioni di matematica partiamo sempre da dove ti blocchi tu: scrivimi per una diagnosi gratuita.

Studio di funzione, parte 4: monotonia, massimi e minimi