Studio di funzione, parte 5: concavità e flessi

Se sei alla quinta parte di questa serie, hai già fatto dominio, segno, limiti, asintoti, derivata prima. A questo punto molti studenti tirano un sospiro di sollievo e saltano dritti al grafico, considerando la derivata seconda un extra facoltativo. Lo capisco: sotto compito, con il tempo che stringe, è la parte che si taglia più spesso. Ma è bene sapere cosa si perde davvero quando lo fai, e quando invece è la scelta giusta. Se non l’hai ancora letta, qui trovi la guida completa allo studio di funzione con la mappa di tutti gli otto punti.

Cosa si perde davvero se salti questo passaggio

Senza la derivata prima non sai nemmeno dove la funzione cresce o decresce: il grafico che disegni è, alla lettera, sbagliato. Senza la derivata seconda, invece, il grafico ha la forma giusta nelle grandi linee — sali dove sali, scendi dove scendi, i massimi e i minimi sono al posto giusto — ma la curvatura no. Una parabola che sale può salire “aprendosi verso l’alto” come una coppa, oppure “richiudendosi” come una collina che si appiattisce in cima: il tuo grafico, senza concavità, non distingue le due cose. Nelle griglie di valutazione della seconda prova la concavità e i flessi sono voci a sé, quindi saltarli costa punti specifici, non solo genericità.

Detto questo, sotto compito con il tempo che stringe, tagliare la derivata seconda è spesso la scelta giusta se hai già in mano dominio, segno, asintoti e derivata prima ben fatti: un grafico qualitativamente corretto ma senza concavità vale comunque la stragrande maggioranza del punteggio. Il calcolo che salti per primo, se proprio devi scegliere, è questo — non il segno di $f$, non i limiti.

Cos’è la concavità, prima con la testa e poi con la formula

La derivata seconda $f^{\prime \prime }$ è la derivata della derivata prima: misura come cambia la pendenza, non la pendenza in sé. Se la pendenza $f^{\prime }$ sta aumentando mentre ti muovi verso destra, il grafico “gira in senso antiorario” e la curva assomiglia a una coppa che tiene l’acqua. Se la pendenza sta diminuendo, il grafico gira nell’altro senso e assomiglia a una collina che rovescerebbe l’acqua.

L’analogia che uso sempre in lezione, ed è quella che sblocca la maggior parte degli studenti: se $f$ è la posizione di un oggetto nel tempo, $f^{\prime }$ è la sua velocità e $f^{\prime \prime }$ è la sua accelerazione. Un’auto che accelera ha velocità crescente: la sua posizione, nel grafico posizione-tempo, curva “verso l’alto”. Un’auto che frena ha velocità decrescente: la posizione curva “verso il basso”. Non stai calcolando quanto va veloce l’auto (quello è $f^{\prime }$), stai calcolando se sta pigiando sull’acceleratore o sul freno.

Attenzione alla terminologia: qui casca in tanti

C’è un punto che genera confusione pura, ed è bene chiarirlo subito: in Italia si usano due convenzioni diverse e capita di trovarle entrambe, anche nello stesso libro di testo a distanza di capitoli.

• Alcuni testi chiamano “concava verso l’alto” (o “concava”) la curva a forma di coppa, quella con $f^{\prime \prime }>0$.
• Altri testi chiamano la stessa curva “convessa”, riservando “concava” alla forma a collina, quella con $f^{\prime \prime }<0$.

Sono esattamente opposte. Qui uso la seconda convenzione, quella più diffusa nei libri di analisi e nei formulari da maturità: convessa = coppa, concavità verso l’alto, $f^{\prime \prime }>0$; concava = collina, concavità verso il basso, $f^{\prime \prime }<0$. Se il tuo libro usa l’altra, va benissimo: quello che conta è che tu sappia sempre associare il nome alla forma disegnata e al segno di $f^{\prime \prime }$, non fidarti mai del nome da solo senza controllare quale forma descrive.

La regola operativa

Esattamente come per crescenza e decrescenza con $f^{\prime }$, qui si studia il segno di $f^{\prime \prime }(x)$, non il suo valore numerico:

Il procedimento è identico a quello della derivata prima: calcoli $f^{\prime \prime }(x)$, la poni maggiore di zero, risolvi la disequazione, e leggi il segno negli intervalli del dominio.

I flessi: dove la concavità cambia davvero

Un punto di flesso è un punto in cui la concavità cambia, da convessa a concava o viceversa. Qui arriva l’errore più diffuso di tutto il capitolo, quindi lo scrivo in modo netto: non basta che $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ per dichiarare un flesso. Serve che il segno di $f^{\prime \prime }$ cambi attraversando $x_0$.

Il controesempio classico è $f(x)=x^4$ nel punto $x=0$. Calcoliamo: $f^{\prime }(x)=4x^3$, $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$. In $x=0$, $f^{\prime \prime }(0)=0$. Ma $12x^2\ge 0$ per ogni $x$: il segno di $f^{\prime \prime }$ è sempre positivo (o nullo solo in quel punto isolato), non cambia mai. La funzione resta convessa a sinistra e a destra dello zero. Niente flesso, nonostante $f^{\prime \prime }(0)=0$. Il grafico di $x^4$ vicino all’origine è più “piatto” di una parabola, ma resta una coppa da entrambi i lati.

Classificazione dei flessi per tipo di tangente

Nei punti di flesso esiste sempre una retta tangente, e in base a come si comporta si distinguono tre casi.

Flesso a tangente orizzontale. Succede quando, oltre al cambio di segno di $f^{\prime \prime }$, anche $f^{\prime }(x_0)=0$. La tangente nel punto di flesso è orizzontale. Esempio canonico: $f(x)=x^3$ in $x=0$. $f^{\prime }(x)=3x^2$, quindi $f^{\prime }(0)=0$; $f^{\prime \prime }(x)=6x$, che è negativa per $x<0$ e positiva per $x>0$: cambia segno, flesso confermato, e con tangente orizzontale perché $f^{\prime }(0)=0$.

Flesso a tangente obliqua. È il caso più comune: $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ ma $f^{\prime \prime }$ cambia comunque segno attraversando $x_0$. La tangente nel punto di flesso ha una pendenza qualsiasi, diversa da zero.

Flesso a tangente verticale. Succede quando $f^{\prime }(x)$ tende a $+\infty$ o a $-\infty$ (con lo stesso segno) da entrambi i lati di $x_0$, mentre la funzione è comunque definita e continua lì. Esempio: $f(x)=\sqrt[3]{x}$ in $x=0$, con derivata

che tende a $+\infty$ sia da sinistra che da destra di $0$ (perché $x^{-2/3}$ è sempre positiva). La tangente diventa verticale nel punto, e infatti guardando il grafico della radice cubica si vede benissimo quella “S” che si impenna verticalmente vicino all’origine.

Come si scrive la tangente inflessionale

È un classico esercizio da maturità: dato un flesso in $x_0$, scrivi l’equazione della retta tangente in quel punto. La formula è la stessa di qualsiasi retta tangente:

Prendiamo $f(x)=x^4-6x^2$ (lo useremo tra poco per esteso) e il suo flesso in $x_0=1$. Calcoliamo $f(1)=1-6=-5$ e $f^{\prime }(x)=4x^3-12x$, quindi $f^{\prime }(1)=4-12=-8$. La tangente inflessionale è:

Cerca i flessi anche dove $f^{\prime \prime }$ non esiste

Un altro punto che si dimentica spesso: i flessi vanno cercati non solo negli zeri di $f^{\prime \prime }$, ma anche nei punti del dominio dove $f^{\prime \prime }$ non esiste ma $f$ sì (tipico con radici, valori assoluti, funzioni definite a tratti). Se lì la concavità cambia segno, è comunque un punto di flesso — a tangente verticale, orizzontale o obliqua a seconda di cosa fa $f^{\prime }$ in quel punto.

Il test della derivata seconda per massimi e minimi

Nella parte 4: monotonia, massimi e minimi trovavamo i punti stazionari con $f^{\prime }(x_0)=0$ e li classificavamo con la tabella dei segni di $f^{\prime }$. C’è una scorciatoia, il test della derivata seconda, che a volte è più veloce:

• se $f^{\prime }(x_0)=0$ e $f^{\prime \prime }(x_0)>0$: $x_0$ è un punto di minimo relativo (la curva è convessa, “tiene l’acqua” attorno al punto stazionario);
• se $f^{\prime }(x_0)=0$ e $f^{\prime \prime }(x_0)<0$: $x_0$ è un punto di massimo relativo;
• se $f^{\prime }(x_0)=0$ e $f^{\prime \prime }(x_0)=0$: il test non dice nulla. Devi tornare al segno di $f^{\prime }$ prima e dopo $x_0$ (è esattamente quello che succede con $x^4$ in $x=0$: $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime \prime }(0)=0$, ma con la tabella dei segni di $f^{\prime }$ si vede subito che è un minimo).

Conviene usarlo quando calcolare $f^{\prime \prime }$ e valutarla in un punto è più rapido che costruire una tabella dei segni complicata di $f^{\prime }$ — tipico con funzioni polinomiali semplici. Non conviene quando $f^{\prime \prime }$ è più complessa di $f^{\prime }$ da studiare (capita spesso con funzioni razionali o trascendenti), oppure quando il test risulta inconclusivo: a quel punto la tabella dei segni di $f^{\prime }$ resta il metodo più affidabile, e in ogni caso è quella che ti serviva già per la monotonia.

Tre esempi svolti

Esempio 1 — polinomiale: $f(x)=x^4-6x^2$

Poniamo $f^{\prime \prime }(x)>0$:

Quindi la funzione è convessa per $x<-1$ e per $x>1$, concava per $-1<x<1$. Il segno cambia in entrambi i punti $x=-1$ e $x=1$: due flessi. Li abbiamo già usati sopra per la tangente in $x=1$: per simmetria (la funzione è pari, come vedremo tra poco) la tangente in $x=-1$ è $y=8x+3$.

Esempio 2 — razionale fratta: $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$

Derivando ancora (quoziente, con un po’ di pazienza nei conti):

Qui $f^{\prime \prime }(x)$ non si annulla mai: per $x>1$ è positiva (convessa), per $x<1$ è negativa (concava). Non c’è nessun flesso, e non è un errore di calcolo — è che il dominio è spezzato in due dall’asintoto verticale $x=1$, e i due rami hanno concavità opposte senza mai “toccarsi” per confrontarle. ”$f^{\prime \prime }$ non si annulla mai” è un risultato legittimo quanto ”$f^{\prime \prime }$ si annulla in due punti”: non state cercando un errore, state leggendo cosa dice la funzione.

Esempio 3 — esponenziale: $f(x)=x{e}^{-x}$

Poiché $e^{-x}>0$ sempre, il segno di $f^{\prime \prime }$ segue $x-2$: negativo per $x<2$ (concava), positivo per $x>2$ (convessa). Cambia segno in $x=2$: c’è un flesso, a tangente obliqua perché $f^{\prime }(2)=e^{-2}(1-2)=-e^{-2}\ne 0$.

Cosa ti dice la concavità che nient’altro ti dice

Immagina due funzioni che condividono esattamente gli stessi punti di massimo, minimo e gli stessi limiti agli estremi del dominio. Tra due punti fissati, puoi collegarli con infinite curve diverse: alcune che si “gonfiano” verso l’alto, altre che si “affossano”. Massimi, minimi e monotonia da soli non bastano a scegliere quale — sono compatibili con entrambe le forme. È proprio la concavità a decidere se il grafico tra un massimo e un minimo passa “sopra” o “sotto” la retta che li congiunge, ed è l’unica informazione del tuo studio che lo stabilisce. Senza, stai disegnando una forma plausibile, non quella vera.

Simmetria: un modo per risparmiare metà dei conti

Se $f$ è dispari (simmetrica rispetto all’origine, come $x^3-x$), i suoi flessi sono simmetrici rispetto all’origine: se trovi un flesso in $x_0$, ne hai automaticamente un altro in $-x_0$, con concavità opposte ai due lati corrispondenti. Se $f$ è pari (simmetrica rispetto all’asse y, come l’esempio $x^4-6x^2$), la concavità è simmetrica rispetto all’asse y: quello che succede a destra di $0$ si ripete specularmente a sinistra. In entrambi i casi, calcoli metà dei punti e deduci l’altra metà — è esattamente quello che ci ha risparmiato un secondo calcolo nell’esempio 1.

Gli errori che vedo più spesso

1. Dichiarare un flesso solo perché $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. È l’errore numero uno del capitolo. Serve sempre verificare che il segno cambi davvero prima e dopo il punto — il controesempio $x^4$ in $0$ va tenuto a mente.
2. Confondere concavo e convesso. Con due convenzioni diverse in circolazione, capita di scambiarle a metà pagina. Fissa una convenzione all’inizio del compito e resta coerente, associando sempre il nome alla forma disegnata, non al ricordo della definizione.
3. Dimenticare i punti dove $f^{\prime \prime }$ non esiste. Ci si concentra solo sugli zeri di $f^{\prime \prime }$ e si trascurano i punti (radici, valori assoluti) dove la derivata seconda non è definita ma potrebbe comunque esserci un cambio di concavità.
4. Usare il test della derivata seconda quando è inconclusivo. Se $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, il test non dice “né massimo né minimo”: dice “non lo so, torna a $f^{\prime }$”. Trattarlo come una risposta è un errore concettuale, non di calcolo.
5. Considerare flesso un punto escluso dal dominio dove la concavità cambia. Attorno a un asintoto verticale, come nell’esempio 2, la concavità passa da un segno all’altro — ma quel punto non appartiene al dominio, quindi non è un flesso. È un errore che nasce dal leggere solo la tabella dei segni senza controllare il dominio.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

• Prima disegniamo a mano libera due o tre curve con la stessa monotonia ma concavità diverse, così lo studente vede cosa aggiunge $f^{\prime \prime }$ prima di calcolare una sola derivata.
• Alleniamo il riflesso “zero di $f^{\prime \prime }$ non basta, serve il cambio di segno” su una batteria di esempi con e senza flesso, incluso almeno un caso stile $x^4$.
• Per le funzioni razionali fratte, insistiamo a controllare sempre il dominio prima di dichiarare o escludere un flesso, per non cadere nell’errore dell’asintoto verticale.
• In genere bastano una lezione dedicata per fissare concavità e classificazione dei flessi, se derivata prima e tabelle dei segni sono già solide da un incontro precedente.

Con questo hai tutto quello che serve sulla derivata seconda. Nella parte 6: come si disegna il grafico mettiamo insieme tutti i pezzi delle cinque parti precedenti in esempi completi, dal dominio al grafico finito. Se vuoi ripassare il passaggio precedente, la parte 4: monotonia, massimi e minimi è qui.

Se lo studio di funzione resta il tuo punto debole, tra dominio, derivate e grafico, scrivimi per una diagnosi gratuita di 20 minuti: individuiamo dove si inceppa il ragionamento nelle mie lezioni di matematica e costruiamo il percorso più corto per arrivarci senza sorprese.