Studio di funzione, parte 1: dominio e simmetrie

Il primo errore in uno studio di funzione quasi sempre non è nella derivata, non è nel segno, non è nell’asintoto. È nel dominio, calcolato al minuto zero, prima ancora di aver scritto qualcosa di interessante. E se sbagli lì, ogni conto successivo è invalidato: puoi derivare benissimo una funzione che a quella x non esiste, trovare un asintoto in un punto escluso dal campo di esistenza, disegnare un grafico che passa dove non dovrebbe passare. Il dominio non è un timbro burocratico da mettere a inizio pagina: è la mappa dei territori dove hai il permesso di ragionare. Tutto il resto dello studio si muove dentro quei confini, mai fuori.

Questo è il primo capitolo di una serie in sei parti su come si affronta la guida completa allo studio di funzione. Qui ci fermiamo su due cose sole, dominio e simmetrie, ma le copriamo per intero: è la parte che, se solida, ti fa risparmiare tempo per tutto il resto del compito.

Cos’è il dominio, davvero

Il dominio di una funzione $f$ è l’insieme delle $x$ per cui l’espressione che definisce $f(x)$ ha senso — cioè produce un numero reale, non un’operazione impossibile. Nient’altro.

Vale la pena distinguere due casi che gli studenti confondono spesso:

• Dominio naturale: quello che ottieni analizzando solo l’espressione matematica, senza sapere da dove viene. Se $f(x)=\frac{1}{x-3}$, il dominio naturale è $x\ne 3$, punto.
• Dominio imposto dal problema: quando la funzione modella qualcosa di concreto, il contesto aggiunge condizioni che la sola espressione non vedrebbe. Se $A(x)=x(10-x)$ è l’area di un rettangolo di lati $x$ e $10-x$, il dominio naturale sarebbe tutto $\mathbb{R}$, ma fisicamente serve $x>0$ e $10-x>0$, cioè $0<x<10$. Un lato negativo non esiste, anche se algebricamente il prodotto è calcolabile.

Negli esercizi di analisi pura lavori quasi sempre sul dominio naturale. Nei problemi di massimo e minimo applicati (geometria, ottimizzazione, fisica) il dominio imposto è spesso la parte più trascurata, e infatti è quella che nei compiti fa perdere più punti: si trova il massimo di una funzione dimenticando che metà del suo dominio naturale non ha senso nel problema reale.

Le condizioni di esistenza, una per una

Ogni “operazione sospetta” dentro l’espressione di $f$ genera una condizione. Le vediamo tutte, con un esempio svolto per ciascuna.

Denominatore diverso da zero. Se $x$ compare al denominatore, quel denominatore non può annullarsi.

Scomponi:

Condizione: $x\ne 2\wedge x\ne 3$.

Attenzione ai denominatori nascosti, quelli dentro un’altra frazione o dentro un’espressione composta:

Qui ci sono due denominatori, non uno: quello interno, $x\ne 0$, e quello esterno, che si annulla quando

cioè $x=1$. Se ti fermi al denominatore “grande” e ignori quello dentro, perdi metà del dominio.

Radice di indice pari: argomento maggiore o uguale a zero.

Condizione: $4-x^2\ge 0⟹x^2\le 4⟹-2\le x\le 2$.

Per l’indice dispari (radice cubica, quinta, …) non c’è nessuna condizione: $\sqrt[3]{x-1}$ esiste per ogni $x$ reale, perché la radice dispari di un numero negativo esiste (è negativa). È uno degli errori più frequenti: mettere la condizione $\ge 0$ anche su una radice cubica.

Logaritmo: argomento strettamente maggiore di zero.

Condizione:

Se anche la base è una variabile, come in ${\log }_x(5)$, servono due condizioni in più sulla base: $x>0$ e $x\ne 1$ (la base di un logaritmo deve essere positiva e diversa da 1, altrimenti l’operazione non è definita o è banale).

Tangente e cotangente: dove si annullano coseno e seno.

non esiste dove $\cos x=0$, cioè $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. La cotangente,

non esiste dove $\sin x=0$, cioè $x\ne k\pi$.

Arcoseno e arcocoseno: argomento compreso tra $-1$ e $1$.

Condizione:

Esponente non intero, o esponente variabile: base strettamente positiva. Quando hai $f(x{)}^{g(x)}$ e $g(x)$ non è un intero fissato (o è addirittura variabile essa stessa), la base deve essere positiva perché l’elevamento a potenza con esponente reale qualunque è definito solo lì.

Condizione:

Non basta $x-3\ne 0$: con esponente non intero, una base negativa non ha nemmeno senso (pensa a $(-1{)}^{1/2}$).

Valore assoluto: nessuna condizione. Questo lo chiarisco sempre perché genera un equivoco costante: $|x-2|$ è definito per ogni $x$ reale, non impone nulla al dominio. Il valore assoluto è un’operazione sempre calcolabile, come una somma o un prodotto. La condizione nasce solo se il valore assoluto sta, per esempio, al denominatore o dentro un logaritmo — ma è quell’altra operazione a generarla, non il modulo in sé.

Come si mettono insieme le condizioni: sistema, non unione

Quando in una funzione ci sono più condizioni contemporaneamente, vanno messe a sistema, cioè si intersecano, perché tutte devono essere vere nello stesso punto $x$ perché $f(x)$ esista lì. Usare l’unione al posto dell’intersezione è probabilmente l’errore più diffuso su questo argomento: prendere l’unione allarga il dominio invece di restringerlo, e ti fa includere punti in cui la funzione in realtà non esiste.

Facciamo un esempio con tre condizioni insieme:

Le condizioni da imporre sono tre:

1. Il denominatore non si annulla: $\ln (x-1)\ne 0⟹x-1\ne 1⟹x\ne 2$.
2. L’argomento della radice è non negativo: $x+2\ge 0⟹x\ge -2$.
3. L’argomento del logaritmo è positivo: $x-1>0⟹x>1$.

Le metto a sistema:

Intersecando le prime due, $x>1$ assorbe $x\ge -2$ (è più restrittiva). Resta $x>1$, a cui va tolto il punto $x=2$. Il dominio, in notazione insiemistica, è:

e come unione di intervalli:

Nota che il punto $x=2$ non è escluso “per estetica”: se lo dimentichi, in seguito calcoli un valore di $f$ che in realtà è una divisione per zero mascherata.

Come si scrive il dominio (e dove si sbaglia a scriverlo)

Tre cose da tenere a mente sulla forma:

• L’insieme finale va scritto come unione di intervalli disgiunti, con parentesi tonde nei punti esclusi e quadre in quelli inclusi. $(1,2)\cup (2,+\infty )$ è corretto; $(1,+\infty )\setminus \{2\}$ è equivalente ma meno standard nei compiti di liceo — usa la prima forma.
• Non confondere $\cup$ con $\cap$: l’unione la usi solo per scrivere il risultato finale (i pezzi di dominio ottenuti sono in unione tra loro), non per calcolarlo a partire dalle condizioni, che restano sempre a sistema.
• Quando il denominatore è un logaritmo, la condizione che si dimentica più spesso è la seconda: si impone l’argomento positivo e ci si scorda che quel logaritmo, oltre a dover essere definito, non deve nemmeno annullarsi. E $\ln (g(x))=0$ significa $g(x)=1$, non $g(x)=0$ — è lì che casca la maggior parte degli studenti.

Simmetrie: pari, dispari, né l’una né l’altra

Una funzione è pari se $f(-x)=f(x)$ per ogni $x$ del dominio: il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$. È dispari se $f(-x)=-f(x)$ per ogni $x$ del dominio: il grafico è simmetrico rispetto all’origine.

C’è un requisito che quasi tutti saltano: perché il test $f(-x)$ abbia senso, il dominio deve essere simmetrico rispetto all’origine — cioè se $x_0$ appartiene al dominio, deve appartenerci anche $-x_0$. Se questo non succede, la domanda “è pari o dispari?” non si pone nemmeno: la funzione non può essere né l’una né l’altra, a prescindere da come è fatta l’espressione.

Esempio: $f(x)=\sqrt{x}$ ha dominio $x\ge 0$, che non è simmetrico (per $x_0=4$ c’è $\sqrt{4}$, ma $\sqrt{-4}$ non esiste). Non ha senso calcolare $f(-x)$: la funzione non è né pari né dispari, e lo sai già dal dominio, prima ancora di guardare l’espressione.

Tre esempi su domini simmetrici:

Pari. $f(x)=x^4-2x^2+1$, dominio $\mathbb{R}$ (simmetrico).

Pari, grafico simmetrico rispetto all’asse $y$.

Dispari. $f(x)=x^3-x$, dominio $\mathbb{R}$.

Dispari, simmetrico rispetto all’origine.

Né pari né dispari. $f(x)=x^2+x$, dominio $\mathbb{R}$.

Questo non è uguale a $f(x)$ (quindi non è pari) e non è uguale a $-f(x)=-x^2-x$ (quindi non è dispari). È il caso più comune in assoluto: appena un polinomio mischia potenze pari e dispari senza cancellazioni, esce né-né.

Un paio di regolette pratiche che velocizzano il riconoscimento senza dover sviluppare $f(-x)$ ogni volta:

• Potenze pari di $x$ ($x^2,x^4,\dots$) e costanti danno contributi pari; potenze dispari ($x,x^3,\dots$) danno contributi dispari.
• $\cos x$ e $\cosh x$ sono pari; $\sin x$, $\tan x$ e $\sinh x$ sono dispari.
• Il prodotto (o il quoziente) di una funzione pari per una dispari è dispari; pari per pari, o dispari per dispari, è pari.

Il motivo per cui vale la pena riconoscere subito la simmetria è pratico, non estetico: se una funzione è pari o dispari, studi il grafico solo per $x\ge 0$ e poi lo ribalti (rispetto all’asse $y$ se pari, rispetto all’origine se dispari). Significa metà dei conti su segno, derivata e limiti a destra, e l’altra metà ottenuta gratis per simmetria.

Periodicità

Cercare la periodicità ha senso soprattutto per le funzioni goniometriche (o loro combinazioni), non in generale — su un polinomio o un logaritmo non ha senso chiederselo, perché non possono essere periodici (a parte la funzione costante). $\sin (kx)$ e $\cos (kx)$ hanno periodo $\frac{2\pi }{|k|}$; per esempio $\sin (3x)$ ha periodo $\frac{2\pi }{3}$.

Quando sommi funzioni periodiche con periodi diversi, il minimo comune multiplo dei periodi singoli è sempre un periodo della somma, se i periodi sono commensurabili — ed è quello effettivo salvo cancellazioni esatte tra le componenti, caso che a scuola non incontrerai quasi mai. $\sin x+\cos (2x)$ ha periodi $2\pi$ e $\pi$: il periodo della somma è $2\pi$.

Per la maturità la periodicità raramente richiede una dimostrazione formale: basta riconoscerla (di solito è dichiarata dalla presenza di seno, coseno o loro composizioni) e, se serve per lo studio del grafico, restringere l’analisi a un intervallo lungo quanto il periodo.

Simmetria rispetto a una retta verticale (bonus)

Oltre alla simmetria rispetto all’asse $y$ o all’origine, una funzione può essere simmetrica rispetto a una retta verticale $x=a$ qualunque, non necessariamente l’asse $y$: la condizione è $f(a+t)=f(a-t)$ per ogni $t$. È il caso tipico delle parabole, il cui asse di simmetria non passa quasi mai per l’origine: $f(x)=x^2-4x+3$ ha vertice in $x=2$, e infatti

Non è un argomento che serve spessissimo fuori dalle coniche, ma torna utile per riconoscere a colpo d’occhio l’asse di un grafico parabolico o simile senza calcolare la derivata.

Gli errori che vedo più spesso

1. Usare l’unione al posto dell’intersezione quando ci sono più condizioni. Il dominio finale è sempre l’intersezione delle singole condizioni, scritto poi come unione di intervalli.
2. Dimenticare il denominatore nascosto dentro un logaritmo, una radice o una frazione di frazioni — si vede solo il denominatore “principale” e si perde una condizione.
3. Mettere la condizione $\ge 0$ su una radice di indice dispari, che invece non ne ha bisogno.
4. Concludere “pari” o “dispari” senza controllare che il dominio sia simmetrico. Se il dominio non è simmetrico rispetto all’origine, la domanda non ha risposta, e non è “né pari né dispari per definizione dell’espressione” — è proprio un caso a parte.
5. Applicare un limite notevole o una proprietà del logaritmo prima di aver verificato il dominio, ottenendo un risultato che vale in un punto dove la funzione non esiste nemmeno.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

• Partiamo da un catalogo di 15-20 funzioni composte (radici dentro logaritmi, logaritmi dentro radici, denominatori con più fattori) e le risolviamo tutte a sistema, senza scorciatoie, finché il riflesso “quali condizioni genera questa operazione” diventa automatico.
• Per le simmetrie, lavoriamo su coppie di esempi molto simili tra loro (uno pari, uno che sembra pari ma non lo è) per allenare l’occhio a non fidarsi dell’aspetto della formula.
• In genere bastano 1-2 lezioni per rendere automatiche le condizioni di esistenza standard (denominatore, radice, logaritmo). Per arrivare a gestire con sicurezza casi composti a tre o quattro condizioni, e le simmetrie non banali, serve qualche esercizio in più: realisticamente un’altra lezione di consolidamento.
• Lavoriamo online con tavoletta grafica, scrivendo passo per passo come al compito: la sequenza “identifico l’operazione → scrivo la condizione → metto a sistema” deve uscire da sola, senza doverci pensare.

Con dominio e simmetrie solidi, il prossimo passo naturale è la parte 2: intersezioni e studio del segno, che si costruisce esattamente sopra il dominio appena trovato. Per il quadro generale sulla materia c’è la pagina matematica; se il dominio è il tuo punto debole, scrivimi per una diagnosi gratuita.