Studio di funzione, parte 3: limiti e asintoti

Gli asintoti sono lo scheletro del grafico. Nella sequenza con cui costruisco uno studio di funzione, sono la prima cosa che disegno sul foglio, tratteggiati, prima ancora di aver calcolato una derivata: sono le pareti dentro cui il grafico deve stare, e tutto quello che viene dopo — segno, crescenza, concavità — si appoggia su quelle pareti invece di partire da un foglio bianco. Se salti questo passo, o lo fai male, rischi di disegnare una curva che è matematicamente coerente con i conti ma visivamente assurda.

Questo è il terzo capitolo de la guida completa allo studio di funzione. Nella parte 2: intersezioni e studio del segno abbiamo capito dove il grafico sta sopra o sotto l’asse x. Qui usiamo i limiti — ma solo come strumento, non come argomento a sé: se hai bisogno di ripassare le tecniche di calcolo vero e proprio, forme indeterminate comprese, quello è tutto in limiti spiegati bene. Do per scontato che tu sappia calcolare un limite, e ci concentro su una domanda diversa: quali limiti calcolare, e cosa farci una volta trovati.

Quali limiti si calcolano, e perché proprio quelli

Non si calcolano limiti a caso. Si calcolano agli estremi del dominio, e basta — nient’altro, ma anche niente di meno.

Il modo più sicuro per non dimenticarne nessuno è scrivere il dominio come unione di intervalli e leggerlo da sinistra a destra. Ogni “confine” che compare in quella scrittura genera un limite:

• se il confine è $-\infty$ o $+\infty$ e il dominio ci arriva davvero, calcoli il limite per $x\to -\infty$ o $x\to +\infty$;
• se il confine è un numero finito escluso dal dominio (un punto tolto, o l’estremo aperto di un intervallo), devi calcolare il limite da quel lato — e se il punto è un confine condiviso tra due intervalli, servono entrambi i lati, destro e sinistro, perché sono due limiti diversi con due informazioni diverse.

Facciamo un esempio concreto. Dominio $(-\infty ,1)\cup (1,3)\cup (3,+\infty )$ — tipico di una funzione con due punti esclusi, $x=1$ e $x=3$. I limiti da calcolare sono sei:

Nota cosa NON compare: nessun limite per $x\to 2$, perché 2 è un punto normalissimo del dominio, dove la funzione è definita e continua — non c’è niente da indagare lì. L’errore che vedo più spesso in questa fase è l’opposto: calcolare limiti in punti interni al dominio “perché il libro lo faceva in un altro esercizio”, sprecando tempo su un’informazione che il grafico già ti dà da solo.

Asintoto verticale

Un asintoto verticale è una retta $x=x_0$ tale che

Il candidato naturale è ogni punto escluso dal dominio per un motivo “che esplode” — tipicamente uno zero del denominatore. Ma è solo un candidato: bisogna verificarlo col limite, non darlo per scontato.

Perché servono sempre entrambi i lati. Prendi la funzione

con dominio $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Vicino a $x=2$ il denominatore cambia segno, e il segno del denominatore decide tutto:

• per $x\to 2^{+}$, cioè $x$ leggermente maggiore di 2 (es. 2,01), il denominatore $x-2$ è un numero piccolo e positivo, quindi $\frac{1}{x-2}\to +\infty$;
• per $x\to 2^{-}$, cioè $x$ leggermente minore di 2 (es. 1,99), il denominatore $x-2$ è piccolo e negativo, quindi $\frac{1}{x-2}\to -\infty$.

Stesso punto, due comportamenti opposti. Se calcoli un solo lato, perdi metà dell’informazione — e nel disegno del grafico è proprio quella metà a dirti se la curva “precipita” o “vola” da quella parte.

Questo è il punto in cui sbagliano quasi tutti: il segno dell’infinito non si indovina, si studia. Il metodo è sempre lo stesso — prendi il segno del numeratore nel punto (se non è zero lì, resta pressoché costante vicinissimo al punto) e il segno del denominatore appena a destra e appena a sinistra di $x_0$, poi applichi la regola dei segni. Non serve altro che sostituire mentalmente un valore leggermente più grande e uno leggermente più piccolo di $x_0$ nel denominatore e guardare il segno che esce.

Un lato può essere finito. Non è detto che entrambi i lati esplodano: a volte uno dei due limiti è un numero, e allora l’asintoto verticale esiste solo da quel lato. Prendi la funzione definita a tratti

Per $x\to 2^{+}$ siamo nel ramo $\frac{1}{x-2}$, che abbiamo appena visto tendere a $+\infty$. Per $x\to 2^{-}$ siamo nel ramo $x$, che tende semplicemente a $2$: limite finito. Qui l’asintoto verticale $x=2$ c’è solo a destra — a sinistra il grafico arriva tranquillamente al punto $(2,2)$ senza nessun’esplosione.

Non tutti i punti esclusi sono asintoti verticali. Se il limite in un punto escluso viene finito da entrambi i lati, non hai un asintoto: hai una discontinuità eliminabile, un semplice “buco” nel grafico. Esempio classico:

Scomponendo,

e quindi

Limite finito uguale da entrambi i lati: in $x=1$ non c’è nessun asintoto, c’è un buco nel grafico esattamente nel punto $(1,2)$, dove la funzione “dovrebbe” passare ma non è definita. Verificalo sempre prima di segnare un asintoto verticale sul foglio: un punto escluso dal dominio non ti garantisce niente, il limite sì.

Asintoto orizzontale

Se, invece di esplodere, il limite all’infinito è un numero finito,

Il grafico si avvicina sempre di più alla retta orizzontale $y=L$ man mano che $x$ si allontana dall’origine.

Possono essercene due diversi, uno a destra e uno a sinistra — l’orizzontale non è un concetto “unico” della funzione, è un concetto per lato. Esempio pulito: $f(x)=\arctan x$, definita su tutto $\mathbb{R}$. Qui

due asintoti orizzontali distinti, $y=\frac{\pi }{2}$ a destra e $y=-\frac{\pi }{2}$ a sinistra. Il grafico di $\arctan x$ vive per sempre in quella striscia orizzontale, avvicinandosi a un “soffitto” diverso da ogni lato.

Il grafico PUÒ intersecare l’asintoto orizzontale. È uno dei miti più radicati — “l’asintoto è una linea che la funzione non tocca mai”, ripetuto come se fosse una legge fisica. Non lo è: l’asintoto descrive il comportamento all’infinito, non vieta nulla in mezzo. Esempio da manuale:

Il limite all’infinito è

(numeratore limitato tra $-1$ e $1$, denominatore che esplode, quindi il rapporto va a zero), asintoto orizzontale $y=0$. Ma $\sin x=0$ ogni multiplo di $\pi$, quindi $f(x)=0$ infinite volte, per $x=\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$ — il grafico attraversa il suo stesso asintoto all’infinito di punti, oscillando sempre più stretto attorno a $y=0$ senza mai smettere di toccarlo. L’asintoto è un limite di comportamento, non un divieto di contatto.

Asintoto obliquo

L’asintoto obliquo si cerca solo in una condizione precisa: il limite all’infinito è infinito (quindi niente asintoto orizzontale da quel lato) e solo da quel lato. Orizzontale e obliquo sullo stesso lato sono mutuamente esclusivi — se a destra c’è un orizzontale, a destra non puoi cercare anche un obliquo, e viceversa. Ha senso: se il limite è finito hai già la risposta, non serve altro.

Quando il limite è $\pm \infty$, la procedura è a due passaggi in sequenza:

Se entrambi i limiti escono finiti, la retta $y=mx+q$ è l’asintoto obliquo. Occhio ai casi in cui la procedura si ferma a metà:

• se $m$ non esiste, oppure viene $\pm \infty$, non c’è asintoto obliquo — punto, non ha senso calcolare $q$;
• se $m$ è finito ma $q$ non esiste o viene infinito, non c’è asintoto obliquo lo stesso (vedi l’esempio sotto);
• se $m=0$, in realtà stai ricadendo nel caso orizzontale ($y=q$), non serve trattarlo come obliquo.

Esempio del secondo caso: $f(x)=x+\sqrt{x}$ per $x\to +\infty$. Il primo passo va bene:

Ma il secondo passo tradisce:

$q$ infinito vuol dire che la funzione si allontana sempre di più dalla retta $y=x$, non ci si avvicina: niente asintoto obliquo, nonostante $m$ fosse un numero pulito.

Scorciatoia per le funzioni razionali fratte. Se

con $N,D$ polinomi, c’è asintoto obliquo esattamente quando il grado di $N$ supera di uno il grado di $D$ — non di due, non di tre, esattamente uno. In quel caso non serve passare per $m$ e $q$ con i limiti: basta fare la divisione tra polinomi, e il quoziente è l’asintoto.

Esempio completo:

Grado 2 sopra, grado 1 sotto: differenza esattamente 1, quindi asintoto obliquo garantito. Divido:

perché $x^2+3x+1=(x-2)(x+5)+11$. Quindi

Per $x\to \pm \infty$ il termine $\frac{11}{x-2}\to 0$, e resta $x+5$: l’asintoto obliquo è $y=x+5$, letto direttamente dal quoziente della divisione, senza scrivere un solo limite in più.

Anche l’asintoto obliquo, come l’orizzontale, può essere intersecato dal grafico — vale lo stesso ragionamento di prima: descrive il comportamento all’infinito, non un divieto locale.

Il caso senza asintoti

Non tutte le funzioni ne hanno, e va benissimo così. Una parabola $f(x)=x^2$ va all’infinito senza asintoto orizzontale (il limite è infinito) né obliquo: applicando la procedura,

già al primo passo $m$ non è finito, quindi ci si ferma lì. Stessa storia per un esponenziale come $e^x$ per $x\to +\infty$: cresce troppo in fretta per avvicinarsi a qualunque retta. In entrambi i casi non stai sbagliando qualcosa — è semplicemente la natura della funzione. L’errore sarebbe insistere a cercare un obliquo che non esiste invece di scrivere “nessun asintoto per $x\to +\infty$” e passare oltre.

Rami di curva senza limite

Un’ultima annotazione, senza approfondire troppo: alcune funzioni non hanno proprio un limite quando $x\to \pm \infty$, né finito né infinito — oscillano per sempre, come $\sin x$ o $\cos x$. In quei casi non esiste nessun asintoto da quel lato, non perché il calcolo fallisca ma perché il comportamento stesso “non converge” verso niente: la funzione continua a salire e scendere senza stabilizzarsi. Lo segnali e vai avanti; è un’informazione in sé, non un buco nell’analisi.

L’esempio guida della serie: tutti gli asintoti

Studiamo tutti i limiti e tutti gli asintoti di

Dominio: $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, cioè $(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$. Estremi da controllare: $-\infty$, $1^{-}$, $1^{+}$, $+\infty$ — quattro limiti.

Limiti in $x=1$. Il numeratore in $x=1$ vale $1^2=1$, positivo. Guardo il segno del denominatore da entrambi i lati:

Entrambi infiniti, di segno opposto: asintoto verticale $x=1$, a due rami.

Limiti all’infinito. Grado del numeratore (2) meno grado del denominatore (1) fa esattamente 1: mi aspetto un asintoto obliquo, niente orizzontale. Verifico con la divisione: $x^2=(x-1)(x+1)+1$, quindi

Per $x\to +\infty$ e per $x\to -\infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$ in entrambi i casi, quindi

Riepilogo: un solo asintoto verticale $x=1$ (con segni opposti nei due rami) e un solo asintoto obliquo $y=x+1$, valido sia per $x\to +\infty$ sia per $x\to -\infty$. Quattro limiti calcolati, due asintoti trovati, zero informazioni lasciate sul tavolo: questo è esattamente il livello di completezza che chiedo ai miei studenti su un esercizio d’esame.

Gli errori che vedo più spesso

1. Cercare l’asintoto obliquo quando c’è già l’orizzontale. Sono alternative sullo stesso lato, mai compresenti. Se ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ è già un numero finito, il lavoro su quel lato è finito lì.
2. Dimenticare un limite laterale. Ogni punto escluso finito nel dominio richiede due limiti, non uno. Saltarne uno vuol dire perdere metà del comportamento della funzione vicino a quel punto.
3. Sbagliare il segno dell’infinito. Non si indovina “a occhio”: si studia il segno del denominatore appena a destra e appena a sinistra del punto, e si applica la regola dei segni con quello del numeratore.
4. Credere che il grafico non possa toccare l’asintoto orizzontale (o obliquo). Falso, e $\frac{\sin x}{x}$ lo dimostra: l’asintoto è un comportamento all’infinito, non un divieto locale.
5. Dimenticare che i due lati possono avere asintoti diversi. Un orizzontale a destra non implica lo stesso a sinistra (vedi $\arctan x$), e lo stesso vale per gli obliqui: vanno controllati separatamente, sempre.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

• Prima costruiamo insieme la lista dei limiti da fare a partire dal dominio scritto come unione di intervalli — è un passaggio meccanico ma se lo salti perdi asintoti per strada, quindi lo pretendo scritto ogni volta.
• Sul segno dell’infinito insisto molto: te lo faccio rifare a voce finché il ragionamento “segno del numeratore, segno del denominatore appena a destra e appena a sinistra” diventa automatico, non un tentativo.
• Per gli asintoti obliqui alleniamo entrambe le strade — $m$ e $q$ con i limiti, e la divisione tra polinomi per le razionali fratte — così sai quando la scorciatoia si applica e quando no.
• Con basi solide su limiti e dominio, questo capitolo si consolida in 2-3 lezioni: è più questione di metodo e di ordine che di calcoli complicati.

Con asintoti e limiti al loro posto, il grafico ha già lo scheletro. Il prossimo passo è la parte 4: monotonia, massimi e minimi, dove aggiungiamo il muscolo — dove la funzione sale, dove scende, dove si ferma. Se vuoi un confronto su dove sei messo con questo argomento, trovi tutto il mio metodo sulla pagina matematica e una diagnosi gratuita per partire.