Derivate spiegate bene: dal limite del rapporto incrementale ai problemi del liceo

Le derivate sono uno di quei capitoli dove molti studenti imparano a calcolare prima di aver capito cosa stanno calcolando. Il risultato è prevedibile: davanti a un problema diverso da quelli del libro, si bloccano. Eppure, una volta capita l’idea di fondo, le derivate sono uno degli strumenti più puliti dell’analisi.

Il compito cade quasi sempre tra novembre e gennaio di quinta, subito dopo quello sui limiti, e chiede tre cose: calcolare derivate, scrivere la retta tangente, e discutere i punti in cui la derivata non esiste. Le prime due si allenano; la terza è quella che separa il 6 dall’8, perché richiede di aver capito che la derivata è un limite.

Qui trovi la definizione, le regole che servono al 90% dei problemi, i punti di non derivabilità, i teoremi che il compito chiede, tre esercizi svolti e gli errori che vedo più spesso quando preparo studenti di quinta.

La derivata come limite del rapporto incrementale

La definizione formale è questa:

A parole: la derivata in un punto è il limite, quando $h$ tende a zero, del rapporto tra la variazione della funzione e la variazione della $x$. Geometricamente è la pendenza della retta tangente al grafico nel punto $x_0$; in fisica è la velocità istantanea, se la funzione è una legge oraria.

L’esempio più semplice: prendi $f(x)=x^2$ nel punto $x_0=1$:

Per $h$ che tende a 0, il limite è 2.

Quindi $f^{\prime }(1)=2$. Hai trovato la pendenza della tangente al grafico di $x^2$ nel punto $(1,1)$. Tutto il resto del capitolo è una scorciatoia per non dover fare questo calcolo ogni volta — ma il compito di quinta chiede quasi sempre almeno una derivata calcolata con la definizione, proprio per verificare che la scorciatoia non abbia cancellato l’idea.

Se i limiti sono ancora incerti, conviene rimetterli a posto prima: sono il prerequisito di tutto questo capitolo, e ne ho scritto in limiti, continuità e asintoti.

Le regole base che ti servono davvero

Per gli esercizi tipici del liceo bastano poche regole. Se le sai applicare con sicurezza, hai già coperto la maggior parte dei problemi:

• Potenza: $D[x^n]=n\cdot x^{n-1}$. Vale anche per esponenti negativi e razionali.

• Costante: $D[k]=0$. La costante che moltiplica si porta fuori: $D[k\cdot f(x)]=k\cdot f^{\prime }(x)$.

• Somma: $D[f+g]=f^{\prime }+g^{\prime }$. Le derivate “passano” dentro la somma.

• Prodotto: $D[f\cdot g]=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$. Attenzione: non è $f^{\prime }\cdot g^{\prime }$.

• Quoziente:

  $$D\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}$$

• Funzioni elementari: $D[\sin x]=\cos x$, $D[\cos x]=-\sin x$, $D[e^x]=e^x$, $D[\ln x]=\frac{1}{x}$.

Queste sei righe coprono praticamente tutto. Aggiungi la regola della catena e sei al 95%.

Il restante 5% — ogni derivata fondamentale con il suo dominio di validità, le composte già pronte all’uso e la derivata della funzione inversa — è nel formulario completo delle derivate: qui ti spiego come si ragiona, lì le trovi tutte in tabella.

La regola della catena: dove si gioca tutto

La regola della catena serve quando hai una funzione composta, cioè una funzione dentro un’altra. La formula:

Esempio: $D[\sin (x^2)]$. Qui $f$ è seno, $g$ è $x^2$. Allora $f^{\prime }(g(x))=\cos (x^2)$ e $g^{\prime }(x)=2x$, quindi:

Altro esempio: $D[(3x+1{)}^5]$. La funzione esterna è $t^5$, la funzione interna è $3x+1$, quindi:

Il problema è che la regola della catena si applica anche quando non te ne accorgi. $\ln (2x)$ non è “logaritmo di 2x”, è una funzione composta. Il risultato:

Stesso risultato di $\ln x$ (perché $\ln (2x)=\ln 2+\ln x$), ma il passaggio formalmente corretto passa dalla regola della catena.

I punti di non derivabilità

Questa è la parte che al compito vale di più, ed è anche quella che quasi nessuno prova abbastanza. Una funzione può essere continua in un punto e non essere derivabile lì: continuità e derivabilità non sono la stessa cosa. Vale solo un’implicazione, in un verso: se è derivabile allora è continua, mai il contrario.

Il metodo è sempre lo stesso: si calcolano le due derivate laterali nel punto e si confrontano.

Nel caso di $|x|$ la derivata sinistra vale $-1$ e la destra $+1$: due pendenze diverse, il grafico fa uno spigolo. In $\sqrt[3]{x^2}$ la derivata è $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$, che tende a $+\infty$ da destra e a $-\infty$ da sinistra: la punta della cuspide. In $\sqrt[3]{x}$ la derivata è $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, che tende a $+\infty$ da entrambe le parti: la tangente è verticale ma il grafico attraversa.

Il segnale che nel testo di un esercizio c’è un punto di non derivabilità è quasi sempre uno di questi tre: un valore assoluto, una radice con indice pari o dispari sotto cui c’è uno zero, o una funzione definita a tratti.

I teoremi che il compito chiede

Sono tre, e vengono chiesti soprattutto come enunciato con verifica delle ipotesi — non come dimostrazione.

Rolle. Se $f$ è continua in $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$ e vale $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $c$ interno in cui $f^{\prime }(c)=0$. Detto a parole: se parti e arrivi alla stessa quota, da qualche parte in mezzo la tangente è orizzontale.

Lagrange (valor medio). Con le stesse ipotesi ma senza richiedere $f(a)=f(b)$, esiste $c$ interno tale che

cioè in qualche punto la pendenza istantanea coincide con quella media fra gli estremi.

De l’Hôpital. Per una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$,

purché il secondo limite esista. Due avvertenze che valgono punti: si deriva numeratore e denominatore separatamente, non con la regola del quoziente; e va applicato solo dopo aver verificato che la forma sia davvero indeterminata.

Nelle domande di teoria il punto non è recitare l’enunciato ma controllare le ipotesi: la funzione è continua sull’intervallo chiuso? è derivabile su quello aperto? Se una salta, il teorema non si applica e la risposta corretta è dirlo.

Tre esercizi svolti

1. Retta tangente in un punto

Trova la retta tangente al grafico di $f(x)=x^3-3x$ nel punto di ascissa $x_0=2$.

Servono due numeri: il punto e la pendenza.

La formula della retta per un punto con coefficiente angolare noto:

Controllo: per $x=2$ la retta dà $18-16=2$, che è proprio $f(2)$. Torna.

2. Punto di non derivabilità

Studia la derivabilità di $f(x)=|x^2-4|$ in $x=2$.

Vicino a $x=2$ la funzione si scrive a tratti: per $x>2$ vale $x^2-4$, per $x<2$ vale $4-x^2$. Derivo separatamente e calcolo il limite in $2$:

Le due derivate laterali sono finite ma diverse: $x=2$ è un punto angoloso. La funzione è continua lì (entrambi i rami tendono a 0), ma non derivabile — l’esempio più pulito del fatto che le due proprietà non coincidono.

3. Problema di ottimizzazione

Un contenitore a base quadrata, senza coperchio, deve avere volume $32\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$. Quali dimensioni rendono minima la superficie?

Chiamo $x$ il lato di base e $h$ l’altezza. Il vincolo del volume lega le due variabili:

La superficie da minimizzare (base più quattro pareti, niente coperchio) diventa funzione della sola $x$:

Derivo e annullo:

Il segno di $S^{\prime }$ conferma che è un minimo: negativo per $x<4$, positivo per $x>4$. Le dimensioni sono lato $4$ dm e altezza $h=\frac{32}{16}=2$ dm, per una superficie di $48\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2$.

Il passaggio decisivo non è la derivata: è il vincolo usato per ridurre a una sola variabile. È lì che si perdono i punti nei problemi di ottimizzazione, non nel calcolo.

Gli errori tipici (e come evitarli)

Dopo centinaia di lezioni in quinta, gli errori sulle derivate sono quasi sempre questi cinque.

1. Dimenticarsi la regola della catena. Lo studente vede $\cos (2x)$ e scrive $-\sin (2x)$ invece di $-2\sin (2x)$. È l’errore più frequente in assoluto. Regola pratica: ogni volta che dentro una funzione “c’è qualcosa che non sia $x$ da solo”, devi moltiplicare per la derivata di quel qualcosa.

2. Sbagliare la derivata del prodotto. Tantissimi scrivono $D[x\cdot \sin x]=1\cdot \cos x=\cos x$, che è sbagliato. La forma corretta è

Memorizza la formula con esempi, non con simboli.

3. Non semplificare prima di derivare. $D\left[\frac{x^2-1}{x-1}\right]$ con la regola del quoziente è una pena. Ma

quindi la derivata è semplicemente 1. Semplifica sempre prima.

4. Confondere continuità e derivabilità. Sono cose diverse: $|x|$ è continua ovunque e non derivabile in zero. Nelle domande di teoria questa distinzione è chiesta quasi ogni anno.

5. Applicare De l’Hôpital senza verificare la forma. Va usato solo su $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty }{\infty }$, e si deriva sopra e sotto separatamente. Usarlo su una forma determinata dà un numero sbagliato con tutti i passaggi in ordine, che è il modo peggiore di sbagliare.

Come si usano le derivate nei problemi di maturità

I problemi tipici della maturità chiedono:

• Studio di funzione: derivata prima per trovare massimi e minimi, derivata seconda per concavità e flessi. Il percorso completo è in studio di funzione passo passo.
• Tangente in un punto: come nell’esercizio 1, con $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Problemi di ottimizzazione: scrivi la grandezza da massimizzare in funzione di una sola variabile, deriva, imposta uguale a zero.

Il metodo è sempre lo stesso: trasformare un problema “in italiano” in una funzione, derivarla, ragionare sui segni. Se il problema non è il metodo ma la testa nei primi minuti del compito, dai un’occhiata anche a studiare matematica senza stress.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

Sulle derivate la prima cosa che verifico non è il calcolo ma la definizione: chiedo di derivare una funzione semplice con il rapporto incrementale, a mano. Chi ci riesce ha in mano tutto il capitolo, punti di non derivabilità compresi; chi non ci riesce sta applicando regole a memoria, e si bloccherà al primo esercizio scritto in modo diverso da quelli del libro.

Poi lavoriamo sul riconoscimento delle composte, che è la vera abilità del compito: dieci funzioni di fila in cui dire solo “esterna, interna” senza derivare niente. In un quarto d’ora si costruisce l’automatismo che vale metà del voto. Le lezioni sono online e uno-a-uno: 40 € l’ora, oppure 360 € per un pacchetto di 10 ore (36 €/h) se conviene coprire limiti, derivate e studio di funzione come un percorso unico verso la maturità.

Il modo più rapido per capire a che punto sei è provare la verifica simulata sulle derivate: quindici quesiti in cinquanta minuti, con il dettaglio dei punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo la prova vedi che il calcolo regge ma i punti di non derivabilità no (o viceversa), scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente quante lezioni servono. Il quadro completo di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di matematica.