Gratis · 5ª superiore · 50 minuti · 15 quesiti · nessuna penalità

Verifica di matematica simulata — 5ª: limiti e continuità.

15 quesiti estratti a caso da una banca di 25, sul blocco di programma che il tuo professore sta chiudendo: ogni tentativo è una prova diversa. Nessuna penalità per le risposte sbagliate, quindi rispondi anche se non sei sicuro. Alla fine ricevi via email la risposta corretta di ogni quesito e i punti deboli per argomento — con un account li vedi subito qui in pagina. La soluzione passo passo si sblocca con la prima lezione.

ItalianoEnglishLe domande di questo simulatore sono in italiano, come nella prova vera.

Prova preparata da Gaetano Livornese · Ingegnere aerospaziale, Politecnico di Milano · tutor di matematica e fisica · aggiornata ottobre 2026

Programma coperto dalla prova

Algebra dei limiti e forme indeterminate
Limiti notevoli
Continuità in un punto e su un intervallo
Punti di discontinuità di prima, seconda e terza specie
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui
Grafico probabile di una funzione

La verifica sui limiti apre l’anno di quinta, a settembre-ottobre, e per molti è il primo voto pesante della maturità che si avvicina: forme indeterminate, almeno due limiti notevoli, la classificazione delle discontinuità e gli asintoti di una funzione fratta, con un grafico probabile da abbozzare alla fine.

Il primo errore che torna più spesso riguarda i limiti notevoli applicati senza prima ricondurre l’argomento alla forma giusta: il limite di sin(5x)/x per x che tende a 0 non è 1. Serve moltiplicare e dividere per 5, scrivendo 5 · sin(5x)/(5x), che tende a 5 · 1 = 5. Il limite notevole vale solo quando l’argomento del seno coincide esattamente con quello che sta al denominatore.

Il secondo riguarda la continuità delle funzioni definite a tratti: verificare solo che i due “pezzi” diano lo stesso valore nel punto di raccordo non basta. Vanno calcolati separatamente il limite da sinistra, il limite da destra e il valore della funzione in quel punto, e confrontati tutti e tre — saltare uno dei tre è l’errore che passa inosservato finché non arriva la correzione.

Il terzo è sulle forme 0/0 con una differenza di radici, per esempio (√x − 2)/(x − 4) per x che tende a 4: provare a semplificare direttamente non porta a nulla, perché la forma indeterminata resta. Serve moltiplicare per la quantità coniugata, √x + 2, che trasforma il numeratore in x − 4 e permette di cancellarlo col denominatore: il risultato è 1/(√x + 2), cioè 1/4.

Per prepararti, rifai i limiti notevoli con l’argomento diverso da x (5x, x², 1/x) prima della simulazione: è lì che si perde la maggior parte dei punti, non nella regola in sé.

Due esercizi svolti dalla prova

Quesito 1 · Limiti, forme indeterminate, continuità, asintoti · Continuità e teoremi fondamentali

Per quale valore di $k$ la funzione

$f (x) = {x^{2} + 1 3 x + k se x \leq 1 se x > 1$

è continua in $x = 1$ ?

A $k = - 1$ risposta corretta
B $k = 1$
C $k = 2$
D $k = - 2$

Soluzione

Passo 1 — Condizione di continuità. Serve

$x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{+} lim f (x) = f (1)$

Passo 2 — Limite sinistro (e valore in $1$ ). Per $x \leq 1$ vale il primo ramo:

$1^{2} + 1 = 2$

Passo 3 — Limite destro. Per $x > 1$ vale il secondo ramo:

$3 \cdot 1 + k = 3 + k$

Passo 4 — Impongo l'uguaglianza.

$3 + k = 2 \Rightarrow k = - 1$

Se avevi scelto $k = 2$ hai imposto che il parametro valga il valore del primo ramo, dimenticando il $3 x$ ; se avevi scelto $k = 1$ hai risolto $3 - k = 2$ , sbagliando il segno del parametro.

Quesito 2 · Limiti, forme indeterminate, continuità, asintoti · Limiti e forme indeterminate

Calcola $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - 4} .$

A $\frac{3}{4}$ risposta corretta
B $0$
C $1$
DIl limite non esiste

Soluzione

Passo 1 — Sostituisco. $\frac{4 - 2 - 2}{4 - 4} = \frac{0}{0} :$ forma indeterminata.

Passo 2 — Scompongo entrambi. Il numeratore ha radici $2$ e $- 1$ , il denominatore è una differenza di quadrati:

$\frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$

Passo 3 — Semplifico il fattore comune $(x - 2)$ , che è ciò che rendeva indeterminata la forma:

$\frac{x + 1}{x + 2}$

Passo 4 — Sostituisco.

$x \to 2 lim \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4}$

Se avevi scelto $1$ hai "semplificato" $x^{2}$ con $x^{2}$ : non si semplificano i singoli addendi di una somma, ma solo i fattori di un prodotto.

Nella simulazione online trovi altri 13 quesiti come questi; risposta corretta di ogni quesito via email.

Preferisci la carta? Scarica la prova in PDF (15 quesiti, 4 pagine · 90 KB, da stampare). Le soluzioni le ricevi via email dopo averla fatta online.

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Come è fatta la verifica di matematica su limiti e continuità

Limiti con forme indeterminate dei tipi ∞/∞, 0/0 e ∞ − ∞, almeno due limiti notevoli, la classificazione dei punti di discontinuità, gli asintoti di una funzione fratta e in genere un grafico probabile da abbozzare.

L'errore che costa il voto

Trattare ∞ come un numero e semplificare ∞ − ∞ a zero. Sugli asintoti, cercare l’obliquo quando esiste già l’orizzontale: o l’uno o l’altro, mai entrambi dalla stessa parte, e cercarli entrambi fa perdere tempo e punti.

Come usare questa simulazione

Falla una prima volta a freddo, senza ripassare e con il timer acceso: serve a sapere da dove parti, non a fare bella figura. Guarda poi i punti deboli per argomento, ripassa solo quelli — di solito sono due o tre, non tutto il capitolo — e rifalla dopo qualche giorno. I 15 quesiti sono estratti da una banca di 25, quindi la seconda prova non è la stessa e il punteggio è confrontabile davvero.

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