Gratis · 5ª superiore · 50 minuti · 15 quesiti · nessuna penalità

Verifica di matematica simulata — 5ª: gli integrali.

15 quesiti estratti a caso da una banca di 25, sul blocco di programma che il tuo professore sta chiudendo: ogni tentativo è una prova diversa. Nessuna penalità per le risposte sbagliate, quindi rispondi anche se non sei sicuro. Alla fine ricevi via email la risposta corretta di ogni quesito e i punti deboli per argomento — con un account li vedi subito qui in pagina. La soluzione passo passo si sblocca con la prima lezione.

Nota sugli indirizzi. Allo scientifico gli integrali arrivano fra marzo e aprile di quinta e valgono anche per la seconda prova; al classico e allo scienze umane il programma si ferma di solito agli integrali immediati e alle aree.

Prova preparata da Gaetano Livornese · Ingegnere aerospaziale, Politecnico di Milano · tutor di matematica e fisica · aggiornata settembre 2026

Programma coperto dalla prova

Integrali immediati e quasi-immediati
Integrazione per sostituzione, anche negli integrali definiti
Integrazione per parti e casi ciclici
Integrali di funzioni razionali fratte nei tre casi del Δ
Teorema fondamentale del calcolo integrale e valor medio
Aree con funzioni che cambiano segno e aree fra due curve
Volumi dei solidi di rotazione attorno a x e attorno a y

Due esercizi svolti dalla prova

Quesito 1 · Integrali indefiniti e definiti, aree e volumi · Integrali immediati e quasi-immediati

L'integrale indefinito

$\int 3 x^{2} d x$

è uguale a

A $x^{3}$
B $x^{3} + c$ risposta corretta
C $3 x^{3} + c$
D $6 x + c$

Soluzione

Applico la regola della potenza: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} .$
Quindi $\int 3 x^{2} d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3} .$
L'integrale indefinito però non è una singola funzione: è l'insieme di tutte le primitive, e due primitive differiscono per una costante.
Va perciò sempre aggiunta la costante di integrazione: $x^{3} + c$ . Senza $+ c$ la risposta è incompleta.
$3 x^{3} + c$ nasce dal non dividere per il nuovo esponente; $6 x + c$ è la derivata di $3 x^{2}$ , non una sua primitiva.

Quesito 2 · Integrali indefiniti e definiti, aree e volumi · Integrali immediati e quasi-immediati

Calcola, per $x > 0$ :

$\int (\frac{2}{x} + 5 x) d x$

A $2 ln x + \frac{15}{2} x^{3} + c$
B $- \frac{2}{x ^{2}} + \frac{10}{3} x^{3} + c$
C $2 ln x + \frac{5}{2} x + c$
D $2 ln x + \frac{10}{3} x^{3} + c$ risposta corretta

Soluzione

Per linearità spezzo: $\int \frac{2}{x} d x + \int 5 x d x .$
Primo addendo: $\int \frac{1}{x} d x = ln x$ (qui $x > 0$ ), quindi resta $2 ln x$ .
Secondo addendo: riscrivo $x = x^{1/2}$ e uso la regola della potenza: $\int x^{1/2} d x = \frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3} .$
Moltiplico per $5$ : $\frac{10}{3} x^{3}$ .
Risultato: $2 ln x + \frac{10}{3} x^{3} + c .$
Il coefficiente $\frac{15}{2}$ si ottiene moltiplicando per $\frac{3}{2}$ invece di dividere per $\frac{3}{2}$ .

Nella simulazione online trovi altri 13 quesiti come questi; risposta corretta di ogni quesito via email.

Preferisci la carta? Scarica la prova in PDF (15 quesiti, 5 pagine · 109 KB, da stampare). Le soluzioni le ricevi via email dopo averla fatta online.

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Come è fatta la verifica di matematica su integrali

Integrali immediati e quasi-immediati, una sostituzione, un’integrazione per parti (a volte ciclica), una funzione razionale fratta, il calcolo di un’area anche fra due curve e almeno un volume di rotazione.

L'errore che costa il voto

Nell’area, integrare la funzione dove cambia segno senza spezzare l’intervallo: l’integrale dà zero mentre l’area non lo è. Nella sostituzione all’interno di un integrale definito, dimenticare di cambiare anche gli estremi di integrazione.

Come usare questa simulazione

Falla una prima volta a freddo, senza ripassare e con il timer acceso: serve a sapere da dove parti, non a fare bella figura. Guarda poi i punti deboli per argomento, ripassa solo quelli — di solito sono due o tre, non tutto il capitolo — e rifalla dopo qualche giorno. I 15 quesiti sono estratti da una banca di 25, quindi la seconda prova non è la stessa e il punteggio è confrontabile davvero.

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