Trasformazioni di grafici: traslazioni, simmetrie, modulo

Inizio ottobre 2026, terza all’istituto tecnico: dopo il ripasso di equazioni, disequazioni, valore assoluto e irrazionali, in molte classi arriva il blocco sulle funzioni (dominio, composizione, inversa, grafici), che precede la parabola. La verifica cade tipicamente fra cinque e nove settimane da ora, fra novembre e dicembre, e le trasformazioni di grafici sono una di quelle domande che sembrano facili finché non si deve disegnare qualcosa.

L’idea di partenza è questa: se conosci il grafico di una funzione $f$, puoi ottenere il grafico di molte altre senza rifare lo studio. Basta sapere cosa fa ogni modifica della formula al disegno. Chi non lo sa rifà una tabella di punti per ogni funzione, ci mette dieci minuti e sbaglia il verso di una traslazione. Chi lo sa parte da un grafico noto (retta, parabola, $\sqrt{x}$, $1/x$), sposta, specchia, ribalta, e ha finito.

Questo post riguarda proprio il disegno a mano. Per il dominio e le simmetrie di una funzione data c’è lo studio di funzione, parte 1; per composta e inversa, le funzioni in quarta, dove le trasformazioni compaiono in un paragrafo, mentre qui le trattiamo per intero e con più esempi.

Le trasformazioni in una tabella

Parti da $y=f(x)$. Ogni riga dice cosa succede al grafico:

Le prime quattro righe sono quelle che si usano sempre; vediamole una per una.

Traslazione verticale: la più intuitiva

$y=f(x)+b$ aggiunge $b$ a ogni valore di $y$, quindi ogni punto $(x_0,f(x_0))$ diventa $(x_0,f(x_0)+b)$. Il grafico sale o scende rigidamente, senza cambiare forma. Il dominio non cambia, l’immagine si sposta di $b$. Un esempio: da $y=x^2$ a $y=x^2-3$ il vertice passa da $(0,0)$ a $(0,-3)$.

Traslazione orizzontale: dove si sbaglia più spesso

$y=f(x-a)$ sposta il grafico a destra di $a$. Con $a=3$, cioè $f(x-3)$, il grafico va a destra anche se c’è un segno meno; con $f(x+3)$ va a sinistra. A prima vista sembra il contrario di quello che dovrebbe essere, ed è l’errore numero uno.

Il modo per non impararlo a memoria è chiedersi: quale $x$ mi dà lo stesso valore di $y$ che prima ottenevo in $x_0$? La nuova funzione $g(x)=f(x-3)$ ha lo stesso valore $f(x_0)$ quando l’argomento di $f$ vale $x_0$, cioè quando $x-3=x_0$, quindi $x=x_0+3$. Il valore che $f$ aveva in $x_0$, adesso lo ha $g$ tre unità più avanti. Il grafico è scivolato a destra.

Esempio con numeri: se $f(2)=5$, allora $g(5)=f(5-3)=f(2)=5$. Il punto $(2,5)$ è diventato $(5,5)$.

Una conseguenza che si dimentica: si sposta anche il dominio. Se $f$ è definita per $x\ge 0$, $f(x-3)$ è definita per $x\ge 3$.

Simmetrie: $-f(x)$ e $f(-x)$

$y=-f(x)$ cambia segno a tutti i valori di $y$: il grafico si specchia rispetto all’asse $x$. Dominio invariato, zeri invariati, i punti sopra l’asse vanno sotto e viceversa.

$y=f(-x)$ cambia segno alla $x$: il grafico si specchia rispetto all’asse $y$. Il dominio si specchia (se $f$ è definita per $x\ge 0$, $f(-x)$ lo è per $x\le 0$), mentre l’intercetta con l’asse $y$ resta ferma, perché $-0=0$. Se applichi entrambe, $-f(-x)$, ottieni la simmetria rispetto all’origine.

Un legame con quanto fatto sullo studio di funzione: una funzione è pari se $f(-x)=f(x)$, cioè se il suo grafico coincide con quello specchiato; è dispari se $f(-x)=-f(x)$, cioè se specchiare rispetto all’origine non lo cambia.

Dilatazioni: solo un accenno

$kf(x)$ moltiplica le altezze per $k$: con $k=2$ il grafico si allunga in verticale (i punti sull’asse $x$ restano fermi). $f(kx)$ agisce sulla $x$ e al contrario: con $k=2$ il grafico si stringe in orizzontale, perché lo stesso valore di $f$ si raggiunge con una $x$ metà. Per esempio, con $f(x)=\sqrt{x}$ si ha $f(4x)=\sqrt{4x}=2\sqrt{x}$: stringere in orizzontale di 4 equivale qui a stirare in verticale di 2.

Quando si combinano dilatazione e traslazione conviene mettere in evidenza: $f(2x-4)=f(2(x-2))$ prima contrae di fattore 2 in orizzontale, poi sposta a destra di 2, non di 4.

Il caso più frequente in verifica, però, sono traslazioni, simmetrie e modulo: questi sono i tre da saper fare a occhi chiusi.

Il modulo: $|f(x)|$ contro $f(|x|)$

Sono due cose diverse e si confondono di continuo, quindi vanno scritte con calma.

$|f(x)|$: il modulo sta fuori. Il valore assoluto agisce sulle $y$. Dove $f(x)\ge 0$ il grafico resta com’è; dove $f(x)<0$ il valore diventa $-f(x)$, quindi quella parte si ribalta sopra l’asse $x$. Il risultato non ha mai punti sotto l’asse $x$, e nei punti in cui il grafico taglia l’asse compaiono, in genere, degli spigoli.

$f(|x|)$: il modulo sta dentro. Il valore assoluto agisce sulle $x$. Per $x\ge 0$ si ha $|x|=x$ e il grafico è quello di $f$. Per $x<0$ si ha $|x|=-x$, quindi $f(|x|)=f(-x)$: il grafico a sinistra è lo specchio rispetto all’asse $y$ di quello a destra. La parte di $f$ che stava a sinistra (per $x<0$) sparisce: viene sostituita dallo specchio di quella di destra. Il risultato è sempre una funzione pari.

Regola pratica per non scambiarli: guarda dove è scritto il modulo. Fuori, sulla $y$: ribalta il sotto. Dentro, sulla $x$: copia il destro a sinistra.

Un controllo a metà strada

A questo punto prova a disegnare a mano, senza guardare gli esempi sotto, $y=\sqrt{x-1}+3$ e $y=-(x+2{)}^2+4$. Per allenarti sotto tempo, le verifiche simulate (15 quesiti in 50 minuti, una per argomento) sono su /simulazioni/verifiche-liceo/.

Come si disegna a mano

1. Riconosci la funzione base e disegnala, segnando 3-4 punti chiave: vertice, intersezioni con gli assi, eventuali asintoti.
2. Applica le trasformazioni una alla volta, da dentro verso fuori (prima ciò che agisce sulla $x$, poi ciò che agisce sulla $y$).
3. Trasforma i punti chiave, non solo la forma: scrivi dove vanno a finire il vertice, gli zeri, l’intercetta.
4. Ricava dominio e immagine dal disegno e controllali su un punto.

Se la funzione base è una parabola, gli stessi passaggi diventano quelli del capitolo sulla parabola: vertice, zeri, asse. Conviene arrivarci con le trasformazioni già in mano.

Tre esercizi svolti

1. $y=x^2-4x+3$ e il suo modulo

Si chiede: vertice, intersezioni, grafico di $y=|x^2-4x+3|$.

Completando il quadrato:

quindi la parabola è $y=x^2$ traslata a destra di 2 e giù di 1. Vertice $V(2,-1)$. Zeri: $x^2-4x+3=0$ dà $(x-1)(x-3)=0$, cioè $x=1$ e $x=3$. Intersezione con l’asse $y$: $(0,3)$. Un quinto punto simmetrico rispetto all’asse $x=2$: $(4,3)$.

La funzione è negativa solo fra gli zeri, per $1<x<3$. Per $|f(x)|$ si ribalta esattamente quel pezzo: il vertice diventa $(2,1)$, gli zeri restano $(1,0)$ e $(3,0)$, il resto non cambia. In formule:

Verifica sul vertice: per $x=2$ il secondo ramo dà $-4+8-3=1$, coerente con $(2,1)$. Il grafico ha due spigoli, in $(1,0)$ e $(3,0)$, e fra i due la parabola ribaltata ha la concavità verso il basso.

Per vedere cosa cambierebbe con il modulo dentro, il grafico di $f(|x|)=x^2-4|x|+3$ si costruisce così: a destra dell’asse $y$ resta la parabola originale, con $(0,3)$, $(1,0)$, $(2,-1)$, $(3,0)$; a sinistra si specchiano questi punti: $(-1,0)$, $(-2,-1)$, $(-3,0)$. È una “W” simmetrica, con due minimi in $(\pm 2,-1)$. Il pezzo originale a sinistra dell’asse $y$ (il ramo che scendeva da $(0,3)$ verso il vertice) non compare più: è stato cancellato e sostituito dallo specchio di quello di destra.

Una domanda che si lega all’equazione: quante soluzioni ha $|x^2-4x+3|=1$? Si spezza in $x^2-4x+3=1$, cioè $x^2-4x+2=0$, con $x=2\pm \sqrt{2}$, e in $x^2-4x+3=-1$, cioè $x^2-4x+4=0$, con $x=2$ doppia. Le soluzioni sono $2-\sqrt{2}$, $2$, $2+\sqrt{2}$: tre intersezioni con la retta $y=1$, e si vedono subito nel disegno, perché la retta tocca il vertice ribaltato e taglia i due rami esterni.

2. Da $y=\sqrt{x}$ a $y=\sqrt{x+2}-1$

Il grafico base parte da $(0,0)$ e sale: dominio $x\ge 0$, immagine $y\ge 0$, punti $(1,1)$, $(4,2)$.

$\sqrt{x+2}$ è una traslazione orizzontale a sinistra di 2; il $-1$ finale sposta in basso di 1. Il punto di partenza $(0,0)$ va in $(-2,-1)$. Dominio: $x+2\ge 0$, cioè $x\ge -2$. Immagine: $y\ge -1$.

Punti da tracciare, ottenuti calcolando direttamente e controllando:

• $x=-2$: $\sqrt{0}-1=-1$, punto $(-2,-1)$;
• $x=-1$: $\sqrt{1}-1=0$, punto $(-1,0)$, che è l’intersezione con l’asse $x$;
• $x=0$: $\sqrt{2}-1\approx 0,41$, intersezione con l’asse $y$;
• $x=2$: $\sqrt{4}-1=1$, punto $(2,1)$;
• $x=7$: $\sqrt{9}-1=2$, punto $(7,2)$.

Controllo di coerenza: i punti base $(1,1)$ e $(4,2)$ traslati di $(-2,-1)$ danno $(-1,0)$ e $(2,1)$, che sono proprio quelli trovati calcolando.

3. Da $y=1/x$ a $y=\frac{1}{x-1}+2$

L’iperbole $y=1/x$ ha asintoti $x=0$ e $y=0$. La traslazione di $+1$ in $x$ e di $+2$ in $y$ sposta tutto con gli asintoti:

Dominio $x\ne 1$, immagine $y\ne 2$. Non serve tabella di punti per sapere dove sono i rami: per $x>1$ il termine $\frac{1}{x-1}$ è positivo, quindi il ramo sta sopra $y=2$; per $x<1$ è negativo, quindi il ramo sta sotto.

Intersezioni: con l’asse $y$, $x=0$ dà $-1+2=1$, punto $(0,1)$. Con l’asse $x$: $\frac{1}{x-1}=-2$, quindi $x-1=-\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{2}$, punto $\left(\frac{1}{2},0\right)$. Altri punti: $x=2$ dà $3$, $x=3$ dà $\frac{5}{2}$, $x=-1$ dà $\frac{3}{2}$.

Se la stessa funzione ti viene data come $y=\frac{2x-1}{x-1}$ (una funzione omografica), la riconosci riscrivendola: $\frac{2x-1}{x-1}=\frac{1}{x-1}+2$, e quindi è la stessa iperbole traslata. L’asintoto verticale è dove si annulla il denominatore, quello orizzontale è il rapporto dei coefficienti di $x$.

Gli errori tipici

• Il segno nella traslazione orizzontale. $f(x-3)$ va a destra. Controlla con un punto: se $f(2)=5$, il nuovo grafico passa per $(5,5)$.
• Il modulo sulla $x$ al posto che sulla $y$, o viceversa: guarda dove sta e applica la regola del dentro/fuori.
• Confondere $|f(x)|$ e $f(|x|)$. Il primo ribalta il sotto, il secondo sostituisce la parte sinistra con lo specchio della destra. Nell’esempio 1 le due funzioni hanno disegni molto diversi.
• Dimenticare che il dominio si sposta insieme al grafico: in $\sqrt{x+2}-1$ il dominio è $x\ge -2$, non $x\ge 0$.
• Applicare le trasformazioni nell’ordine sbagliato, in particolare con dilatazione e traslazione insieme: metti in evidenza e leggi da dentro verso fuori.

Collegamento con equazioni e disequazioni con modulo

Il disegno è il modo più rapido per controllare un’equazione o una disequazione con valore assoluto. Quando risolvi $|x^2-4x+3|=1$ per via algebrica, spezzi in due casi; il grafico ti dice quanti risultati aspettarti e dove stanno. La disequazione $|x^2-4x+3|<1$ si legge come “la parte del grafico di $|f|$ sotto la retta $y=1$”. Le regole algebriche, con le condizioni da scrivere prima, sono in valore assoluto e irrazionali in terza; qui basta il disegno per capire se il risultato è plausibile.

Per allenarti

Le verifiche simulate del catalogo sono 15 quesiti in 50 minuti, una per argomento, e sono un buon modo di vedere se la parte sui grafici regge sotto tempo: le trovi in /simulazioni/verifiche-liceo/. Sulle sole trasformazioni di grafici non c’è una verifica dedicata: nell’indice trovi gli argomenti che esistono già.

Come lavoriamo nelle lezioni

Parto sempre dal disegno: chi arriva a questo capitolo con difficoltà di solito non ha un problema di formule, ma non ha ancora il riflesso di trasformare i punti chiave. Lavoriamo su una funzione base alla volta, con una sola trasformazione per volta, e solo dopo si combinano. Faccio fare a mano, su carta, due o tre grafici a lezione e poi chiedo di spiegarmi a voce perché il verso è quello. Se la verifica è ancora lontana si costruisce il metodo; se è vicina si lavora direttamente su tracce tipiche. La materia è matematica; per i dettagli sul formato delle lezioni c’è la pagina pricing.

Se vuoi capire da dove ripartire, la diagnosi gratuita è un colloquio breve in cui guardiamo insieme un compito o un quaderno e decidiamo se serve davvero un percorso o bastano un paio di consigli.