La parabola in terza: la verifica

Il compito sulla parabola cade quasi sempre tra la fine di novembre e la metà di dicembre, cioè a ridosso dello scrutinio del trimestre. È il primo vero compito di geometria analitica del triennio, e chi arriva impreparato paga due volte: sulla pagella di dicembre e poi a gennaio, perché il metodo delle tangenti che si impara qui è identico per circonferenza, ellisse e iperbole. Chi lo capisce a dicembre risparmia tre mesi.

Il malinteso che vedo più spesso è credere che la parabola sia “le equazioni di secondo grado con il disegno”. Non lo è. In seconda si cercavano i valori di $x$ che annullano un trinomio; qui si cercano punti, cioè coppie, e quasi tutti gli esercizi del compito si riducono a una sola idea ripetuta: mettere a sistema una retta con la parabola e guardare il discriminante.

Qui trovi le formule che servono davvero, il metodo delle tangenti nelle tre versioni che escono al compito, tre esercizi svolti e i cinque errori che costano più punti.

Le formule che servono (e quelle che puoi ricavare)

L’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse $y$ è

y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)

Le formule da avere automatiche sono tre, non dieci:

V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a}), asse: x = - \frac{b}{2 a}, Δ = b^{2} - 4 a c

La coordinata $x$ del vertice è quella che conta: l’ordinata la puoi sempre ottenere sostituendo quella $x$ nell’equazione, senza ricordare $- \frac{Δ}{4 a}$ . Se hai un dubbio in compito, sostituisci: costa dieci secondi ed è impossibile sbagliare.

Il segno di $a$ dà la concavità: verso l’alto se $a > 0$ , verso il basso se $a < 0$ . Il termine $c$ è l’ordinata del punto di intersezione con l’asse $y$ , perché per $x = 0$ resta solo $c$ .

Fuoco e direttrice servono meno spesso, ma in molte classi compaiono in un quesito di teoria:

F (- \frac{b}{2 a}, \frac{1 - Δ}{4 a}), direttrice: y = - \frac{1 + Δ}{4 a}

Infine, quando l’asse è parallelo all’asse $x$ l’equazione è $x = a y^{2} + b y + c$ : tutte le formule valgono con $x$ e $y$ scambiate, nient’altro da imparare. È il classico esercizio in cui chi ha memorizzato le formule si blocca e chi ha capito la simmetria risolve in un minuto.

Determinare una parabola: tante condizioni quante incognite

L’equazione ha tre parametri, $a$ , $b$ , $c$ : servono tre condizioni indipendenti per trovarla, e ciascuna diventa un’equazione del sistema. Le condizioni tipiche del compito:

Condizione nel testo	Equazione che scrivi
passa per $P (x_{0}, y_{0})$	$y_{0} = a x_{0}^{2} + b x_{0} + c$
ha vertice in $V (x_{V}, y_{V})$	vale per due: $- \frac{b}{2 a} = x_{V}$ e il passaggio per $V$
ha asse $x = k$	$- \frac{b}{2 a} = k$
interseca l’asse $x$ in $x_{1}$ e $x_{2}$	conviene scriverla come $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
è tangente a una retta data	$Δ = 0$ del sistema retta-parabola

Due avvertenze che valgono punti. Il vertice conta per due condizioni, non una: chi lo tratta come un semplice punto di passaggio si ritrova con due equazioni e tre incognite. E quando conosci le due intersezioni con l’asse $x$ , la forma $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ riduce l’esercizio a una sola incognita: è la scorciatoia più utile del capitolo.

Tangenti: tutto il compito è una sola idea

Metti a sistema la retta e la parabola, ottieni un’equazione di secondo grado in $x$ , e guardi il suo discriminante:

$Δ > 0$ → la retta è secante, due punti in comune;
$Δ = 0$ → la retta è tangente, un punto (doppio);
$Δ < 0$ → la retta è esterna, nessun punto.

Questo discriminante non è il $Δ$ della parabola. Sono due numeri diversi che si chiamano allo stesso modo: il $Δ$ della parabola dice quante volte la curva taglia l’asse $x$ , questo dice quante volte la incontra la retta che stai studiando. Confonderli è l’errore numero uno del compito di dicembre — vale la pena chiamarli $Δ_{par}$ e $Δ_{sist}$ sul foglio finché non diventa automatico.

Le tre versioni che escono al compito:

Tangenti da un punto esterno $P$ . Scrivi il fascio di rette per $P$ , cioè $y - y_{P} = m (x - x_{P})$ , metti a sistema e imponi $Δ_{sist} = 0$ : ottieni un’equazione di secondo grado in $m$ e quindi due tangenti. Una nota che i professori apprezzano: il fascio scritto così esclude la retta verticale $x = x_{P}$ , e va detto che l’esclusione non perde soluzioni, perché una retta verticale incontra una parabola ad asse verticale in un punto solo ma non è tangente, la attraversa.
Tangente parallela a una retta data. Il coefficiente angolare $m$ è noto, l’incognita è $q$ : scrivi $y = m x + q$ e imponi $Δ_{sist} = 0$ . Un’equazione, una soluzione.
Tangente in un punto $P$ della parabola. Qui funziona la formula di sdoppiamento, che evita il sistema:

\frac{y + y _{0}}{2} = a x x_{0} + b \frac{x + x _{0}}{2} + c

Si ottiene dall’equazione della parabola sostituendo $y^{2}$ con $\frac{y + y _{0}}{2}$ , $x^{2}$ con $x x_{0}$ e $x$ con $\frac{x + x _{0}}{2}$ . Funziona solo se $P$ appartiene alla parabola: usarla per un punto esterno dà una retta che non c’entra niente.

I fasci di parabole

Un fascio si scrive combinando due parabole (o una parabola e una retta) con un parametro:

y = a x^{2} + b x + c + k (a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'})

Le domande del compito sono sempre le stesse tre: trovare i punti base (le intersezioni comuni a tutte le curve del fascio, che si ottengono mettendo a sistema le due generatrici), trovare la curva del fascio che soddisfa una condizione in più (passaggio per un punto, vertice su una retta, tangenza), e riconoscere le curve degeneri, cioè i valori di $k$ per cui il coefficiente di $x^{2}$ si annulla e la parabola diventa una retta.

Quest’ultimo punto è quello che si dimentica: se il testo dice “per quali valori di $k$ si ottiene una parabola”, la risposta comincia con $a + k a^{'} \neq = 0$ .

Tre esercizi svolti

1. Parabola per tre punti

Trova la parabola passante per $A (0, 3)$ , $B (1, 0)$ e $C (3, 0)$ , e determina il vertice.

$B$ e $C$ sono sull’asse $x$ : sono le due intersezioni, quindi conviene la forma fattorizzata

y = a (x - 1) (x - 3)

Resta una sola incognita. Impongo il passaggio per $A (0, 3)$ :

3 = a (0 - 1) (0 - 3) = 3 a \Rightarrow a = 1

Sviluppando: $y = (x - 1) (x - 3) = x^{2} - 4 x + 3$ .

Il vertice ha ascissa $x_{V} = - \frac{- 4}{2} = 2$ , e sostituendo, $y_{V} = 4 - 8 + 3 = - 1$ . Quindi $V (2, - 1)$ , concavità verso l’alto perché $a = 1 > 0$ .

Con il sistema in $a$ , $b$ , $c$ lo stesso esercizio richiedeva tre equazioni: la forma fattorizzata ne ha richiesta una.

2. Tangenti da un punto esterno

Trova le rette tangenti alla parabola $y = x^{2}$ condotte da $P (0, - 1)$ .

Il punto ha ordinata negativa e la parabola ha vertice nell’origine: $P$ è esterno. Scrivo il fascio di rette per $P$ :

y = m x - 1

Metto a sistema con la parabola e porto tutto a primo membro:

x^{2} = m x - 1 \Rightarrow x^{2} - m x + 1 = 0

Impongo la tangenza:

Δ_{sist} = m^{2} - 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2

Le due tangenti sono quindi $y = 2 x - 1$ e $y = - 2 x - 1$ .

I punti di tangenza si trovano risolvendo l’equazione con il $Δ$ nullo, cioè $x = \frac{m}{2}$ : per $m = 2$ si ha $x = 1$ , per $m = - 2$ si ha $x = - 1$ . I punti sono $(1, 1)$ e $(- 1, 1)$ , e sono simmetrici rispetto all’asse della parabola — un controllo di coerenza che vale la pena fare sempre.

3. Tangente parallela a una retta data

Trova la retta tangente a $y = x^{2} - 4 x + 3$ e parallela a $y = 2 x + 5$ .

Parallela significa stesso coefficiente angolare: $m = 2$ . L’incognita è solo $q$ .

y = 2 x + q

Sistema con la parabola:

x^{2} - 4 x + 3 = 2 x + q \Rightarrow x^{2} - 6 x + (3 - q) = 0

Condizione di tangenza:

Δ_{sist} = 36 - 4 (3 - q) = 24 + 4 q = 0 \Rightarrow q = - 6

La tangente è $y = 2 x - 6$ . Il punto di tangenza ha ascissa $x = \frac{6}{2} = 3$ e ordinata $y = 2 \cdot 3 - 6 = 0$ ; sulla parabola: $9 - 12 + 3 = 0$ . Torna.

I cinque errori che costano più punti

1. Confondere i due discriminanti. Il $Δ$ della parabola riguarda le intersezioni con l’asse $x$ ; il $Δ$ del sistema riguarda le intersezioni con la retta che stai studiando. Sono diversi e servono a cose diverse.

2. Dimenticare il segno meno nel vertice. L’ascissa è $- \frac{b}{2 a}$ . Con $b$ negativo il doppio segno confonde: in $y = x^{2} - 4 x + 3$ l’ascissa è $+ 2$ , non $- 2$ .

3. Trattare il vertice come una condizione sola. Vale per due. È il motivo per cui molti sistemi del compito “non tornano”.

4. Usare lo sdoppiamento con un punto esterno. Vale solo per punti che stanno sulla parabola. Per un punto esterno servono il fascio di rette e $Δ = 0$ .

5. Non discutere il caso $a = 0$ nei problemi con parametro. Se il coefficiente di $x^{2}$ dipende da $k$ , esiste un valore di $k$ che lo annulla: lì la curva non è più una parabola ma una retta, e va detto esplicitamente. È mezzo punto che quasi nessuno prende.

Le due settimane prima della verifica

Riscrivi le tre formule del vertice su un foglio bianco ogni giorno, e accanto la loro versione con l’asse parallelo all’asse $x$ . Due minuti.
Fai dieci esercizi di tangenza divisi per tipo: cinque da punto esterno, tre parallele a una retta data, due con lo sdoppiamento. In blocchi, non alternati.
Fai cinque “determina la parabola” scrivendo solo il sistema, senza risolverlo. L’errore, nella quasi totalità dei casi, è nell’impostazione, non nel calcolo — e questo esercizio lo allena in un quarto del tempo.
Negli ultimi due giorni una prova a tempo, corretta classificando ogni errore in tre categorie: impostazione sbagliata, calcolo sbagliato, condizione dimenticata. Sono tre problemi diversi e tre rimedi diversi.

Se quello che si blocca non è la preparazione ma la testa nei primi minuti, ne ho scritto in come gestire l’ansia da verifica in matematica e fisica.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

Sulla parabola insisto su una cosa sola: impostare senza risolvere. Guardiamo il testo, scriviamo il sistema, e passiamo all’esercizio successivo senza fare i conti. Dieci esercizi impostati in mezz’ora insegnano più di tre risolti per intero, perché il compito di dicembre si perde quasi sempre nella traduzione del testo, non nell’algebra.

L’altra cosa su cui lavoro è il collegamento in avanti: il metodo $Δ = 0$ che si impara qui è lo stesso che a gennaio userai sulla circonferenza e in primavera su ellisse e iperbole. Chi lo interiorizza adesso arriva a marzo con metà del programma già in mano. Le lezioni sono online e uno-a-uno: 40 € l’ora, oppure 360 € per un pacchetto di 10 ore (36 €/h) se conviene coprire tutto il blocco delle coniche invece del singolo compito.

Il modo più rapido per capire a che punto sei è provare la verifica simulata sulla parabola: quindici quesiti in cinquanta minuti, con il dettaglio dei punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo la prova vedi che le tangenti reggono ma i fasci no (o viceversa), scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente quante lezioni servono. Il quadro completo di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di matematica.

La parabola in terza: tangenti, fasci e problemi con parametro