Funzioni in quarta al classico: composta, inversa, grafici

Fine settembre 2026, quarta al liceo classico: dopo il ripasso delle coniche si sta chiudendo il capitolo sulle funzioni — dominio, composizione, inversa, trasformazioni dei grafici. La verifica cade fra cinque e otto settimane, quindi tra fine ottobre e metà novembre. Con 2 ore di matematica a settimana non c’è tempo per esercitarsi in classe: quello che non fissi a casa arriva al compito così com’è.

Il livello qui è quello del classico, non dello scientifico: niente tecnicismi che al classico non servono, ma le idee — composizione, inversa, trasformazioni — vanno capite bene, perché sono la base di analisi e logaritmi che arriveranno negli anni successivi.

Cos’è una funzione, in pratica

Una funzione $f$ da un insieme $A$ a un insieme $B$ è una regola che associa a ogni elemento $x$ di $A$ uno e un solo elemento $y=f(x)$ di $B$. La parola chiave è “uno solo”: se a un certo $x$ corrispondono due valori diversi di $y$, quella non è una funzione, è una relazione qualunque.

Nel piano cartesiano questo si legge con il test della retta verticale: se una retta verticale $x=k$ interseca il grafico in più di un punto, quel grafico non rappresenta una funzione. La circonferenza $x^2+y^2=r^2$, per esempio, non è il grafico di una funzione: una verticale che passa per l’interno la taglia in due punti.

Il dominio $A$ è l’insieme dei valori di $x$ per cui la regola ha senso. Qui non lo riprendo per intero — l’ho già trattato in dettaglio, con tutte le condizioni caso per caso, in dominio e simmetrie di una funzione. Le due condizioni che tornano più spesso nella verifica di funzioni composta e inversa sono quelle su fratte e irrazionali:

Quando la funzione con cui lavori è una composizione di più pezzi, ogni pezzo genera la sua condizione e tutte vanno messe a sistema, mai in unione — questo è il punto su cui si perdono più punti, ed è il motivo per cui vale la pena rileggersi quel post prima della verifica.

Funzione composta: l’ordine conta

Date due funzioni $f$ e $g$, la funzione composta $f\circ g$ è definita da

Si legge da destra a sinistra: prima applichi $g$, poi applichi $f$ al risultato. È un dettaglio che sembra ovvio scritto così, ma è la fonte dell’errore più comune del capitolo.

$f(g(x))$ non è uguale a $g(f(x))$, quasi mai. Verifichiamolo con un esempio semplice: $f(x)=x+1$ e $g(x)=x^2$.

Sono due funzioni diverse: la composizione non è commutativa. Quando il testo scrive $f\circ g$ devi partire da $g$, sostituire il suo risultato al posto della $x$ in $f$, e basta — senza scambiare l’ordine “perché sembra più comodo”.

Il dominio della funzione composta

Qui sta il secondo punto delicato. Il dominio di $f(g(x))$ non è semplicemente il dominio di $g$: serve una condizione in più.

Cioè: $x$ deve stare nel dominio di $g$ (altrimenti $g(x)$ non esiste nemmeno), e il valore $g(x)$ che ottieni deve stare nel dominio di $f$ (altrimenti $f$ non lo accetta).

Esempio: $f(x)=\sqrt{x}$ (dominio $x\ge 0$) e $g(x)=x-3$ (dominio $\mathbb{R}$). La composta è

Il dominio di $g$ è tutto $\mathbb{R}$, ma serve anche che $g(x)=x-3$ sia $\ge 0$, cioè $x\ge 3$. Il dominio della composta è $x\ge 3$, molto più piccolo del dominio di $g$ da solo. Chi si ferma al dominio di $g$ e ignora la condizione su $f$ sbaglia il dominio quasi sempre.

Funzione iniettiva e funzione inversa

Una funzione $f$ ammette inversa solo se è iniettiva: a valori diversi di $x$ devono corrispondere valori diversi di $y$. In formula, $f$ è iniettiva se

Graficamente si controlla con il test della retta orizzontale: se una retta orizzontale $y=k$ interseca il grafico in più di un punto, $f$ non è iniettiva su quel dominio e non ha inversa (su tutto il dominio).

Il caso che confonde di più è $f(x)=x^2$: presa su tutto $\mathbb{R}$ non è iniettiva, perché $f(2)=f(-2)=4$ — una orizzontale a $y=4$ taglia il grafico in due punti. Diventa iniettiva, e quindi invertibile, solo se restringi il dominio, per esempio a $x\ge 0$: lì ogni $y$ positivo ha un solo $x$ che lo produce.

Come si ricava l’inversa

Il procedimento è sempre lo stesso, tre passi:

1. Scrivi $y=f(x)$.
2. Scambia $x$ e $y$: ottieni $x=f(y)$.
3. Risolvi rispetto a $y$: quella $y$ è $f^{-1}(x)$.

Esempio: $f(x)=2x+3$.

Quindi $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$.

Con $x^2$ ristretta a $x\ge 0$:

Quindi $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$, con dominio $x\ge 0$ (che coincide con il codominio di $f$ ristretta).

Grafico dell’inversa: simmetria rispetto a $y=x$

Il grafico di $f^{-1}$ si ottiene da quello di $f$ per simmetria rispetto alla bisettrice $y=x$. È una conseguenza diretta dello scambio $x\leftrightarrow y$ del procedimento: ogni punto $(a,b)$ del grafico di $f$ diventa il punto $(b,a)$ sul grafico di $f^{-1}$, e $(a,b)\to (b,a)$ è esattamente la simmetria rispetto a $y=x$.

Due conseguenze pratiche da ricordare per il compito:

• dominio e codominio si scambiano: $\text{dom}(f^{-1})=\text{codom}(f)$ e viceversa;
• se sai disegnare $f$, sai già disegnare $f^{-1}$ senza fare nessun conto: rifletti il grafico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

Trasformazioni dei grafici

Conoscere qualche grafico base (retta, parabola, iperbole $y=1/x$, valore assoluto) e le regole di trasformazione ti permette di disegnare a occhio funzioni molto più complesse, senza fare uno studio completo. Le regole principali:

Traslazioni.

L’errore tipico è il segno nella traslazione orizzontale: $f(x-3)$ sposta a destra, non a sinistra, perché per ottenere lo stesso valore di $y$ di prima ora serve una $x$ più grande di 3 unità.

Simmetrie.

Valore assoluto. Sono due trasformazioni diverse e spesso confuse:

ribalta verso l’alto solo la parte di grafico che sta sotto l’asse $x$, lasciando invariata quella sopra — perché il modulo cambia segno solo ai valori negativi.

cancella la parte del grafico con $x<0$ e rimpiazza quella zona con il ribaltamento simmetrico della parte con $x\ge 0$, perché $f(|x|)$ per $x$ negativo vale come $f$ calcolata sul suo opposto positivo — il grafico risultante è sempre simmetrico rispetto all’asse $y$.

L’errore tipico: dominio di fratte e irrazionali, non la composizione in sé

Il punto su cui la verifica sulle funzioni fa più danni non è la regola della composta in sé, ma il dominio quando fratte e irrazionali si combinano tra loro o dentro una composizione. Due esempi che riassumono il problema:

Qui la condizione non è $x-2\ge 0$: sotto una radice che sta al denominatore la disuguaglianza deve essere stretta, perché se $x-2=0$ il denominatore si annulla comunque. Condizione corretta: $x-2>0⟹x>2$.

Qui serve studiare il segno di una frazione, non di un singolo fattore: $\frac{2x-4}{x+1}\ge 0$ va risolto con lo studio del segno di numeratore e denominatore separatamente (col denominatore comunque $\ne 0$), non “risolvendo” la disequazione come se fosse un prodotto tra interi. È esattamente il tipo di condizione composta che il post sul dominio tratta per intero, con il sistema di condizioni messo a confronto passo passo.

Tre esercizi svolti

1. Funzione composta, dominio compreso

Date $f(x)=\frac{1}{x}$ e $g(x)=x+2$, trova $f(g(x))$, $g(f(x))$ e i rispettivi domini.

Sono due funzioni diverse con domini diversi: conferma diretta che la composizione non è commutativa, sia nell’espressione sia nel dominio.

2. Inversa con restrizione del dominio

Trova l’inversa di $f(x)=(x-1{)}^2$ ristretta a $x\ge 1$, e verifica il risultato.

Pongo $y=(x-1{)}^2$ e scambio:

Siccome la restrizione è $x\ge 1$, cioè $x-1\ge 0$, il valore assoluto si toglie scegliendo il segno positivo:

Quindi $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$, dominio $x\ge 0$. Verifica: $f(f^{-1}(x))=f(1+\sqrt{x})=(1+\sqrt{x}-1{)}^2=(\sqrt{x}{)}^2=x$. Torna.

3. Trasformazioni in sequenza

Parti dal grafico di $f(x)=x^2$ e descrivi il grafico di $y=-f(x+1)+3=-(x+1{)}^2+3$.

Conviene leggere le trasformazioni da dentro verso fuori, nell’ordine in cui agiscono sulla variabile:

1. $x\to x+1$: trasla il grafico di 1 verso sinistra. Vertice in $(-1,0)$.
2. Il segno meno davanti a $f$: ribalta rispetto all’asse $x$. Vertice ancora in $(-1,0)$, ma la parabola ora apre verso il basso.
3. $+3$: trasla verso l’alto di 3. Vertice finale in $(-1,3)$.

Il grafico finale è una parabola con concavità verso il basso, vertice $(-1,3)$, ottenuta senza sviluppare l’espressione: solo leggendo le trasformazioni una alla volta, nell’ordine giusto.

Domande frequenti

Ogni funzione ha un’inversa? No. Serve che sia iniettiva sul dominio considerato. Se non lo è (come $x^2$ su tutto $\mathbb{R}$), o restringi il dominio o l’inversa non esiste.

Come riconosco a colpo d’occhio se una funzione è iniettiva dal grafico? Test della retta orizzontale: se ogni orizzontale taglia il grafico al massimo una volta, è iniettiva.

Perché il grafico dell’inversa è simmetrico rispetto a $y=x$ e non rispetto all’asse $y$? Perché ricavare l’inversa significa scambiare $x$ e $y$, e lo scambio $x\leftrightarrow y$ è geometricamente proprio la simmetria rispetto alla bisettrice $y=x$, non rispetto a un asse coordinato.

Come mi organizzo con chi ha 2 ore a settimana

Con solo due ore settimanali di matematica il tempo per esercitarsi in classe è quasi zero: il professore spiega, e la parte di consolidamento — quella dove davvero si impara a distinguere $f(g(x))$ da $g(f(x))$, o a leggere una trasformazione senza sviluppare i conti — resta a casa. Nelle lezioni online lavoro con esercizi mirati sui due punti che fanno perdere più punti al classico: il dominio di funzioni fratte/irrazionali composte, e la lettura delle trasformazioni in sequenza corretta. È lo stesso schema di ragionamento che serve poi per logaritmi ed esponenziali, quindi il tempo investito ora non si esaurisce con questo compito.

Per farti un’idea di dove sei puoi provare la verifica simulata sulle funzioni: è tarata sul programma di terza scientifico, che tratta gli stessi contenuti — dominio, composta, inversa, trasformazioni — che al classico si fanno in quarta, quindi resta un buon banco di prova anche se la classe è diversa. La risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Il dominio da solo, con tutte le condizioni caso per caso, è coperto in dominio e simmetrie di una funzione; per il resto del programma di quarta al classico (e come si incastra con la fisica dello stesso anno) c’è quarta superiore: tutto il programma di matematica in un formulario e, per la fisica della stessa classe, fisica in quarta al classico: energia e moto circolare. Il quadro generale della materia è nella pagina di matematica; se vuoi una mano a organizzare il ripasso prima della verifica, parti dalla chiamata conoscitiva gratuita.