Circonferenza nel piano cartesiano: la verifica di quarta

Fine settembre 2026, quarta alle scienze umane (LSU/LES): il capitolo in corso è circonferenza e retta tangente, prima che a novembre-dicembre arrivino gli esponenziali. La verifica cade fra cinque e otto settimane, quindi tra fine ottobre e metà novembre. Con 2 ore di matematica a settimana il tempo per fissare il metodo è poco, e i punti dove davvero si sbaglia sono due: passare dall’equazione generale a centro e raggio, e le tangenti.

L’equazione della circonferenza: due forme, un solo oggetto

Una circonferenza è l’insieme dei punti del piano che stanno a distanza fissa (il raggio) da un punto fisso (il centro). Se il centro è $C(x_0,y_0)$ e il raggio è $r$, la definizione si traduce subito in equazione imponendo che la distanza di un punto generico $(x,y)$ da $C$ sia $r$:

Questa si chiama forma canonica: ha il vantaggio che centro e raggio si leggono a vista. Sviluppando i quadrati e riordinando si arriva alla forma generale:

dove $a=-2x_0$, $b=-2y_0$ e $c=x_0^2+y_0^2-r^2$. Sono la stessa curva scritta in due modi diversi: la forma generale è quella che esce quasi sempre nel testo del compito, la canonica è quella che ti serve per disegnare o per ragionare su centro e raggio. Il lavoro del capitolo è saper passare dall’una all’altra senza esitare.

Da forma generale a centro e raggio: il punto critico

Data $x^2+y^2+ax+by+c=0$, centro e raggio si ottengono con:

Qui sta l’errore più diffuso del capitolo, ed è esattamente il punto su cui la verifica insiste: non ogni equazione della forma $x^2+y^2+ax+by+c=0$ rappresenta una circonferenza reale. Sotto la radice del raggio c’è una quantità che deve essere positiva:

Questa si chiama condizione di realtà. Se il valore è positivo, hai una circonferenza vera, con raggio reale. Se vale esattamente zero, l’equazione rappresenta un solo punto (il “centro”, con raggio nullo) — una circonferenza degenere. Se è negativo, non esiste alcun punto reale che soddisfi l’equazione: quell’equazione, pur avendo la forma giusta con i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ uguali a 1 e senza termine misto $xy$, non rappresenta nulla nel piano.

Il motivo per cui questo conto si sbaglia così spesso è che sembra un passaggio meccanico — “applico la formula” — mentre in realtà è una domanda vera: quell’equazione descrive qualcosa che esiste? Saltarla significa arrivare a calcolare tangenti o intersezioni per una curva che, semplicemente, non c’è.

Attenzione ai coefficienti nascosti nel segno. Se l’equazione è scritta come $x^2+y^2-6x+4y-3=0$, allora $a=-6$ e $b=4$ (non $6$ e $-4$): il centro è

Confondere il segno di $a$ o $b$ è il secondo errore più comune, ed è puramente un errore di lettura, non di procedimento.

Circonferenza per tre punti

Se il testo dà tre punti non allineati, l’equazione si trova imponendo il passaggio per ciascuno nella forma generale $x^2+y^2+ax+by+c=0$: si ottiene un sistema lineare di tre equazioni nelle tre incognite $a$, $b$, $c$ (lineare, perché i termini $x^2$ e $y^2$ sono già numeri noti una volta sostituite le coordinate dei punti). Non serve indovinare nulla: è un sistema come tanti altri, solo con nomi diversi per le incognite.

Posizione di una retta rispetto alla circonferenza

Ci sono due metodi equivalenti, e conviene conoscerli entrambi perché il testo a volte impone quale usare.

Metodo del sistema. Metti a sistema la retta e la circonferenza, sostituisci ed ottieni un’equazione di secondo grado in una sola variabile. Il discriminante $\Delta$ di quell’equazione dice tutto:

• $\Delta >0$ → retta secante, due punti di intersezione;
• $\Delta =0$ → retta tangente, un punto (doppio);
• $\Delta <0$ → retta esterna, nessuna intersezione.

Metodo della distanza. Calcoli la distanza $d$ dal centro $C$ alla retta e la confronti con il raggio $r$:

• $d<r$ → secante;
• $d=r$ → tangente;
• $d>r$ → esterna.

La distanza punto-retta, se ti serve ripassarla da zero, è coperta in sistemi lineari e retta in seconda al linguistico. Per la circonferenza il metodo della distanza è quasi sempre più rapido quando la retta ha equazione già nota, perché evita di risolvere l’equazione di secondo grado; il metodo del sistema è più diretto quando ti servono anche le coordinate dei punti di intersezione, non solo il numero.

Retta tangente

Ci sono due situazioni tipiche, e vanno trattate in modo diverso.

Tangente in un punto $P$ della circonferenza

Se $P$ appartiene già alla circonferenza, la tangente in $P$ è perpendicolare al raggio $CP$ in quel punto — è la proprietà geometrica di base della tangente a una circonferenza. Il procedimento:

1. Trova il coefficiente angolare del raggio, $m_{CP}=\frac{y_P-y_C}{x_P-x_C}$.
2. Il coefficiente angolare della tangente è l’antireciproco: $m_t=-\frac{1}{m_{CP}}$.
3. Scrivi la retta per $P$ con quel coefficiente angolare.

Se il raggio è verticale ($x_P=x_C$), la tangente è orizzontale, e viceversa: un caso che si tratta a parte, senza formule, semplicemente ragionando sulla perpendicolarità.

Tangenti da un punto esterno

Se $P$ è esterno alla circonferenza, da $P$ passano due tangenti (mai una sola, mai zero — è proprio la definizione di punto esterno). Il metodo è imporre $\Delta =0$ (o $d=r$) sul fascio di rette per $P$:

Metti a sistema con la circonferenza (o imponi che la distanza di $C$ da questa retta sia uguale a $r$) e risolvi rispetto a $m$: ottieni un’equazione di secondo grado in $m$, con due soluzioni, cioè le due tangenti. Come per la parabola, va controllato a parte il caso della retta verticale per $P$ (che il fascio scritto così non contempla): se anche quella è tangente, va aggiunta a mano.

Tre esercizi svolti

1. Da forma generale a centro, raggio, condizione di realtà

Verifica se $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ rappresenta una circonferenza, e se sì trova centro e raggio.

Qui $a=-4$, $b=2$, $c=-4$.

Condizione di realtà:

Positiva: è una circonferenza vera, con

2. Posizione retta-circonferenza con il metodo della distanza

Data la circonferenza di centro $C(1,2)$ e raggio $r=5$, stabilisci la posizione della retta $3x-4y+9=0$ rispetto ad essa.

Distanza dal centro alla retta:

Confronto con il raggio: $d=\frac{4}{5}=0,8$, mentre $r=5$. Siccome $d<r$, la retta è secante: la interseca in due punti.

3. Tangente in un punto della circonferenza

Data $x^2+y^2=25$ (centro nell’origine, raggio 5), trova la tangente nel punto $P(3,4)$.

Prima verifico che $P$ appartenga davvero alla circonferenza: $3^2+4^2=9+16=25$. Torna.

Il coefficiente angolare del raggio $OP$ è

La tangente ha coefficiente angolare antireciproco:

Scrivo la retta per $P(3,4)$:

Controllo veloce: la distanza dell’origine da questa retta deve valere 5.

Torna.

Domande frequenti

Perché la condizione di realtà non è “sempre soddisfatta” se i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ sono uguali a 1? Perché quella condizione (coefficienti uguali, senza termine $xy$) garantisce solo che l’equazione potrebbe essere una circonferenza, non che lo sia: bisogna ancora controllare che sotto la radice del raggio ci sia un numero positivo.

Quando conviene il metodo della distanza e quando il sistema, per le tangenti? Se ti serve solo sapere se una retta è tangente, la distanza è più veloce. Se ti servono anche le coordinate del punto di tangenza, il sistema te le dà direttamente come soluzione.

Il metodo del raggio perpendicolare funziona anche per le tangenti da un punto esterno? No: quel metodo richiede che il punto sia già sulla circonferenza, perché usa il raggio $CP$ come riferimento. Da un punto esterno il raggio verso $P$ non esiste (P non è sulla curva), quindi serve il fascio di rette con $\Delta =0$ o $d=r$.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

Con 2 ore a settimana il rischio è arrivare al compito avendo visto la teoria una volta sola: nelle lezioni insisto sulla condizione di realtà come primo passo automatico ogni volta che si parte dalla forma generale — prima si controlla che la circonferenza esista, poi si procede — e sulle due tecniche per le tangenti (raggio perpendicolare, o fascio con $\Delta =0$), fatte scegliere allo studente caso per caso invece di applicarne sempre una a memoria.

Il metodo che vedi qui — discriminante o distanza per la posizione retta-curva, $\Delta =0$ per la tangenza — è lo stesso già visto sulla parabola in terza scientifico, spiegato con lo stesso approccio in la parabola in terza: tangenti, fasci e problemi con parametro: chi lo ha già incontrato lì lo riconosce subito qui. Per il ripasso della distanza punto-retta e del legame fra sistemi e rette, sistemi lineari e retta in seconda al linguistico. Per la fisica della stessa classe, cinematica in quarta: leggi orarie e grafici del moto.

Per farti un’idea di dove sei puoi provare la verifica simulata sulla circonferenza: è tarata sul programma di terza scientifico, dove la circonferenza si affronta un anno prima che alle scienze umane, ma i contenuti — equazione, centro e raggio, tangenti — sono gli stessi. La risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Il quadro generale della materia è nella pagina di matematica; se vuoi una mano a organizzare il ripasso prima della verifica, parti dalla chiamata conoscitiva gratuita.