Sistemi lineari e retta in seconda al linguistico

Fine settembre 2026: in seconda al liceo linguistico si sta chiudendo il capitolo sui radicali, e a novembre parte il blocco successivo, sistemi lineari e retta nel piano cartesiano. La verifica cade fra sei e nove settimane, quindi tra inizio novembre e inizio dicembre. Con 3 ore di matematica a settimana e un monte ore dominato dalle lingue, questo è uno dei pochi blocchi dell’anno in cui algebra e geometria analitica si studiano insieme, nello stesso periodo: vale la pena capire da subito come si tengono insieme, invece di trattarli come due capitoli separati che per caso capitano vicini sul calendario.

L’idea che tiene insieme i due capitoli

Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite è, in sostanza, una sola domanda: dove si incontrano queste due rette? Ogni equazione di primo grado in $x$ e $y$, scritta nella forma $ax+by+c=0$, rappresenta una retta nel piano cartesiano. Risolvere il sistema formato da due di queste equazioni vuol dire trovare il punto (o i punti, o nessun punto) che appartiene a entrambe le rette contemporaneamente — cioè il punto in cui i due grafici si incrociano.

Da questa idea escono, senza bisogno di impararli a memoria separatamente, i tre casi possibili:

• una soluzione: le due rette sono incidenti, si incontrano in un punto solo;
• nessuna soluzione: le due rette sono parallele e distinte, non si incontrano mai;
• infinite soluzioni: le due rette sono in realtà la stessa retta, scritta due volte in modo diverso (coincidenti).

Il resto di questo post segue lo stesso ordine con cui lo tratto in lezione: prima i tre metodi per risolvere un sistema algebricamente, poi la retta nel piano cartesiano, poi il collegamento esplicito fra le due cose.

I tre metodi per risolvere un sistema

Un sistema lineare in due incognite si presenta così:

Ci sono tre metodi classici. Non vanno imparati come alternative equivalenti da provare a caso: c’è un criterio pratico per scegliere quale usare, guardando i coefficienti prima di iniziare a scrivere.

Sostituzione. Si isola un’incognita da una delle due equazioni e la si sostituisce nell’altra. Conviene quando un’incognita ha già coefficiente 1 (o $-1$) in una delle due equazioni: isolarla non richiede nessuna divisione, solo spostare i termini.

Riduzione. Si moltiplicano una o entrambe le equazioni per numeri opportuni in modo che un’incognita abbia coefficienti uguali od opposti, poi si sommano o si sottraggono le due equazioni, eliminando quell’incognita. Conviene quando i coefficienti di un’incognita sono già uguali, opposti, o lo diventano moltiplicando per un numero piccolo.

Confronto. Si isola la stessa incognita in entrambe le equazioni, e si eguagliano le due espressioni ottenute. È utile soprattutto quando entrambe le equazioni sono già scritte (o si scrivono facilmente) in forma esplicita rispetto alla stessa lettera — per esempio quando il sistema arriva già come $y=\dots$ e $y=\dots$, cioè come due rette scritte in forma esplicita: in quel caso il confronto è quasi automatico.

Il criterio pratico, in una riga: guarda i coefficienti prima di scegliere. Se uno di essi è già 1, sostituzione. Se due coefficienti della stessa incognita sono uguali o opposti (o diventano tali con una moltiplicazione semplice), riduzione. Se il sistema arriva già con entrambe le equazioni isolate rispetto alla stessa incognita, confronto.

Errore tipico nei tre metodi

Il problema più comune non è scegliere il metodo sbagliato — anche il metodo “meno comodo” arriva comunque al risultato giusto, solo con più passaggi — ma sbagliare i segni durante il metodo scelto: nella riduzione, moltiplicare un’equazione per un numero negativo e dimenticare di cambiare il segno di uno dei due termini; nella sostituzione, sostituire un’espressione con un segno meno davanti e dimenticare di distribuirlo a tutti i termini dentro la parentesi. Un secondo errore, più concettuale, è confondere “nessuna soluzione” con “soluzione zero”: un sistema senza soluzione non ha $x=0,y=0$ come risultato, non ha proprio nessuna coppia di numeri che soddisfi entrambe le equazioni insieme.

La retta nel piano cartesiano

La forma esplicita della retta è

$m$ è il coefficiente angolare: dice quanto la retta sale o scende, e in che direzione. Se $m>0$ la retta sale da sinistra a destra, se $m<0$ scende, se $m=0$ la retta è orizzontale. $q$ è l’ordinata all’origine: il valore di $y$ nel punto in cui la retta interseca l’asse delle ordinate, cioè dove $x=0$.

Dati due punti $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$, il coefficiente angolare della retta che li unisce si calcola così:

Una volta trovato $m$, si trova $q$ sostituendo le coordinate di uno dei due punti nell’equazione $y=mx+q$ e risolvendo rispetto a $q$.

Parallelismo. Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare:

Perpendicolarità. Due rette (nessuna delle quali orizzontale o verticale) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale $-1$:

In pratica, per trovare il coefficiente angolare della perpendicolare a una retta di coefficiente $m$, si calcola $-\frac{1}{m}$: si cambia il segno e si fa il reciproco.

Errore tipico nella retta

Il più frequente è ricavare $m$ dalla forma implicita $ax+by+c=0$ con il segno sbagliato. Isolando $y$:

quindi $m=-\frac{a}{b}$, con il segno meno che molti dimenticano di scrivere. Da una retta come $2x-3y+6=0$, il coefficiente angolare corretto è $m=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3}$, non $\frac{2}{3}$ con il segno preso a occhio dai coefficienti senza applicare la formula.

Il collegamento: sistema come intersezione

Mettere insieme le due equazioni di due rette in un sistema, e risolverlo, equivale a chiedersi dove quelle due rette si incontrano. Se il sistema ha una soluzione $(x_0,y_0)$, quel punto sta su entrambe le rette: sostituendolo in ciascuna delle due equazioni, l’uguaglianza deve risultare vera in entrambe — è lo stesso controllo che si fa per verificare che un punto appartenga a una singola retta, applicato due volte. Se il sistema è impossibile, le due rette sono parallele e distinte: stesso $m$, $q$ diverso. Se il sistema è indeterminato, le due equazioni descrivono la stessa retta, solo scritta con coefficienti diversi (una è multipla dell’altra).

Primo esercizio svolto: sostituzione e verifica con riduzione

Risolvi il sistema:

Con la sostituzione. Nella prima equazione l’incognita $x$ ha già coefficiente 1: la isolo.

Sostituisco nella seconda equazione:

Sostituendo $y=3$ in $x=8-2y$: $x=8-6=2$. Soluzione: $(2,3)$.

Verifica con la riduzione. Riparto dal sistema originale e moltiplico la seconda equazione per 2, in modo che il coefficiente di $y$ diventi opposto a quello della prima:

Sommo membro a membro: $7x=14$, quindi $x=2$. Sostituendo nella prima equazione: $2+2y=8\Rightarrow y=3$. Stessa soluzione, $(2,3)$: i due metodi si controllano a vicenda.

Verifica finale nel sistema di partenza: $2+2\cdot 3=8$, corretto; $3\cdot 2-3=3$, corretto.

Per allenarti su altri sistemi con questi tre metodi trovi esercizi organizzati per argomento nella verifica di matematica — sistemi lineari: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata passo per passo si sblocca con la prima lezione.

Secondo esercizio svolto: sistema impossibile e indeterminato

Caso impossibile. Risolvi:

Con la riduzione, moltiplico la prima equazione per 2:

Sottraendo membro a membro ottengo $0=7$, un’uguaglianza falsa: il sistema è impossibile, nessuna coppia $(x,y)$ lo soddisfa. Graficamente, le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare (isolando $y$ in entrambe si trova $m=-2$ per tutte e due) ma $q$ diverso: sono parallele e distinte, non si incontrano mai.

Caso indeterminato. Risolvi:

La seconda equazione è la prima moltiplicata per 2: dividendo la seconda per 2 si ottiene esattamente la prima. Con la riduzione, moltiplicando la prima per $-2$ e sommando alla seconda si ottiene $0=0$, un’uguaglianza sempre vera: il sistema è indeterminato, ha infinite soluzioni, perché le due equazioni descrivono la stessa retta.

Terzo esercizio svolto: retta per due punti, parallela e perpendicolare

Dati $A(2,1)$ e $B(6,9)$, trova l’equazione della retta $r$ per $A$ e $B$; poi la retta $s$ parallela a $r$ passante per $C(0,4)$; poi la retta $t$ perpendicolare a $r$ passante per lo stesso punto $C$.

Retta $r$. Coefficiente angolare:

Uso il punto $A$ per trovare $q$: $y-1=2(x-2)\Rightarrow y=2x-3$.

Verifica con $B$: $2\cdot 6-3=9$, corretto.

Retta $s$, parallela a $r$ per $C(0,4)$. Stesso coefficiente angolare, $m_s=2$. Poiché $C$ ha $x=0$, $q$ si legge direttamente: $q=4$. Quindi $s:y=2x+4$.

Retta $t$, perpendicolare a $r$ per lo stesso $C(0,4)$. Serve $m_t$ tale che $2\cdot m_t=-1$, quindi $m_t=-\frac{1}{2}$. Con $q=4$ letto allo stesso modo: $t:y=-\frac{1}{2}x+4$.

Quarto esercizio svolto: un problema tradotto in sistema

In una cartoleria, 3 quaderni e 2 penne costano insieme 12,50 €; 1 quaderno e 4 penne costano insieme 11 €. Quanto costa un quaderno e quanto una penna?

Indico con $x$ il prezzo di un quaderno e $y$ il prezzo di una penna:

Nella seconda equazione $x$ ha coefficiente 1: isolo con la sostituzione.

Sostituisco nella prima: $3(11-4y)+2y=12,5\Rightarrow 33-12y+2y=12,5\Rightarrow -10y=-20,5\Rightarrow y=2,05$.

Allora $x=11-4\cdot 2,05=11-8,2=2,8$. Un quaderno costa 2,80 €, una penna 2,05 €.

Verifica: $3\cdot 2,8+2\cdot 2,05=8,4+4,1=12,5$, corretto; $2,8+4\cdot 2,05=2,8+8,2=11$, corretto.

Come lavoriamo su questo blocco

Al linguistico la matematica ha meno ore che in altri indirizzi, ed è spesso la materia su cui uno studente punta meno — ed è del tutto legittimo. Non per questo vale meno il tempo speso a capirla bene: un blocco come sistemi e retta si chiude in poche lezioni mirate, senza bisogno di reinventarsi “portati per la matematica”. In lezione parto sempre da un paio di sistemi per capire se il punto debole è il calcolo (segni, distribuzione) o il metodo (quale scegliere, e perché), e lavoro solo lì.

Se il capitolo precedente, i radicali, non è ancora del tutto solido, conviene chiuderlo prima: la precisione richiesta nei conti è la stessa. Sul blocco parallelo visto da un altro indirizzo, con lo stesso periodo dell’anno ma un taglio diverso, c’è scomposizione e retta: il primo compito di seconda. Per chi arriva in terza allo stesso liceo linguistico, il capitolo successivo su questo impianto algebrico è raccontato in divisione fra polinomi e regola di Ruffini in terza.

Per esercitarti sui sistemi lineari con correzione immediata, la verifica dedicata è su /simulazioni/verifiche-liceo/seconda/sistemi-lineari/: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Il programma completo di matematica per l’indirizzo è sulla pagina di matematica. Se vuoi una mano su questo blocco prima della verifica di novembre, scrivimi dai contatti.