Metà settembre, e in seconda agli istituti professionali il programma di matematica riparte da dove si era fermato a giugno: equazioni e disequazioni di primo grado, poi i sistemi lineari. Agli istituti professionali la verifica scritta arriva ogni 3-4 settimane, più spesso che al liceo, quindi il primo compito su questi argomenti non aspetta novembre: cade già tra la fine di settembre e la metà di ottobre.
Nel biennio dei professionali il rischio di dispersione è strutturalmente più alto della media, e la matematica è uno dei punti dove si vede prima: un debito che si apre a ottobre, se non si chiude subito, tende a restare aperto tutto l’anno, perché il programma non si ferma ad aspettare. La buona notizia è che il rimedio è semplice: recuperare adesso, su un blocco preciso e piccolo, non a gennaio su tre mesi di programma insieme.
Perché il ritmo qui è diverso
Ai professionali la scansione è quasi sempre su due quadrimestri, con la pagella a fine gennaio: rispetto a una scuola con verifiche più rade, questo significa meno tempo per far salire una media che parte male. Una verifica ogni 3-4 settimane, in più, non lascia margine per “recuperare al prossimo compito”: il prossimo compito arriva prima che il precedente sia davvero sistemato, se il buco non viene chiuso a stretto giro. È il motivo per cui, su questi argomenti, conviene intervenire sul singolo blocco appena si scopre fragile, non aspettare un momento più comodo.
Cosa chiede davvero il compito di ottobre
Il taglio è applicativo: meno dimostrazioni, più procedimento e verifica del risultato. Gli argomenti di queste settimane:
- equazioni di primo grado, anche con parentesi e frazioni, come ripasso e consolidamento della prima;
- disequazioni di primo grado, con lo studio del segno per capire quando il verso si inverte;
- sistemi lineari di due equazioni in due incognite, di solito con il metodo che il libro presenta per primo — sostituzione o riduzione.
Il punto critico di queste settimane non è il calcolo delle disequazioni: è capire quando il verso si inverte. È lì che si perde la maggior parte dei punti, non nei passaggi algebrici. (A maggio arriva anche l’INVALSI di grado 10, ma prima c’è il compito di ottobre.)
Gli errori che costano punti
1. Dividere per un numero negativo senza girare il verso. Da , dividendo per il verso deve invertirsi:
Chi scrive ha fatto il calcolo giusto e sbagliato solo l’ultimo passaggio: il verso.
2. Distribuire male un segno meno davanti a una parentesi. In , il meno si applica a entrambi i termini dentro la parentesi:
Scrivere è l’errore più frequente su questo passaggio.
3. Moltiplicare per il mcm solo alcuni termini dell’equazione. Se un’equazione ha una frazione, il mcm dei denominatori va moltiplicato per ogni termine, anche quelli senza frazione, non solo per quello con il denominatore.
4. Sistemi: sostituire con un errore di segno. Da , sostituire in un’altra equazione e scrivere invece di (o viceversa) è l’errore più comune nel metodo di sostituzione.
5. Non verificare la soluzione. Un’equazione o un sistema si controllano rimettendo il risultato trovato nell’equazione di partenza: in un compito di 3-4 settimane fa la differenza tra un errore preso in tempo e uno consegnato.
6. Sommare le due equazioni di un sistema senza un motivo. Il metodo di riduzione funziona solo se, prima di sommare o sottrarre, i coefficienti di un’incognita sono uguali oppure opposti. Sommare e così come sono dà : un’equazione vera, ma inutile, perché non elimina nessuna delle due incognite.
Sostituzione o riduzione: come scegliere
Nel taglio applicativo del professionale i due metodi principali sono questi, e la scelta dipende da come sono scritti i coefficienti:
| Metodo | Conviene quando | Rischio principale |
|---|---|---|
| Sostituzione | un’incognita ha già coefficiente , o si isola con una divisione semplice | errore di segno portando il termine dall’altra parte |
| Riduzione | i coefficienti di un’incognita sono uguali, opposti, o lo diventano moltiplicando un’equazione per un numero piccolo | moltiplicare solo un termine dell’equazione invece di tutti |
Nell’esercizio 3 qui sotto, l’equazione ha entrambi i coefficienti pari e si semplifica in dividendo per 2: da lì si isola in un solo passaggio, ed è per questo che conviene la sostituzione. Se invece i coefficienti non si semplificano così facilmente, la riduzione — moltiplicare un’equazione per il numero giusto e poi sommare — di solito richiede meno passaggi.
Il metodo passo per passo per le disequazioni
- Elimina le parentesi, distribuendo con attenzione ai segni.
- Porta le a sinistra e i numeri a destra (o viceversa), cambiando segno a ciò che passa il simbolo di disuguaglianza.
- Riduci ai minimi termini, ottenendo una forma (o ).
- Se è negativo, dividi e inverti il verso. Se è positivo, il verso resta com’è.
- Scrivi la soluzione come intervallo, non come singolo numero.
Tre esercizi svolti per intero
Esercizio 1 — equazione con parentesi e frazione. Risolvi:
Distribuisci: . Moltiplica ogni termine per 4 (il denominatore):
Verifica: ; e . Coincide.
Esercizio 2 — disequazione con inversione del verso. Risolvi:
Porta le a sinistra e i numeri a destra: , cioè . Ora dividi per e inverti il verso:
Prova con : e , e è vero. Con (che non dovrebbe funzionare): e , e è falso: la disequazione esclude correttamente .
Per allenarti sugli stessi due blocchi trovi le verifiche dedicate — equazioni di primo grado e disequazioni di primo grado — organizzate sul ritmo del liceo scientifico ma sullo stesso contenuto che stai facendo tu: risposta corretta gratis, soluzione guidata con la prima lezione.
Esercizio 3 — sistema lineare, con applicazione pratica. Un pacchetto di 3 quaderni e 2 penne costa 11 €; un pacchetto di 2 quaderni e 4 penne costa 14 €. Quanto costa un quaderno e quanto una penna?
Dalla seconda equazione, dividendo per 2: , quindi . Sostituisci nella prima:
Allora . Un quaderno costa 2 €, una penna 2,50 €. Verifica: ; . Coincide con entrambe.
Non è un caso che il compito arrivi con un problema così, invece di un’equazione astratta con e senza contesto: lo stesso schema — due grandezze note messe in relazione da due condizioni — è quello che poi ritrovi nelle materie di indirizzo, che a servizi commerciali lavorano su fatturazione e magazzino e a enogastronomia su costi e quantità degli ingredienti. Impostare il sistema è la parte che conta: una volta scritto, il calcolo è meccanico.
Per esercitarti su questo tipo di sistemi, con correzione immediata, c’è la verifica di matematica 2ª — sistemi lineari: anche qui, la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.
Come lavoriamo in lezione
Con una verifica ogni 3-4 settimane, il recupero funziona meglio a blocchi piccoli e immediati: quando in classe si scopre che le disequazioni non sono chiare, la lezione utile è su quel blocco specifico, non su tutto il programma dell’anno. Comincio sempre da due o tre esercizi diagnostici per capire se il problema è il calcolo (segni, parentesi, mcm) o il metodo (quando invertire il verso, quale tecnica usare in un sistema): sono due lacune diverse e si chiudono in modi diversi. Aspettare il quadrimestre, in un biennio dove il rischio di perdere il filo è già più alto, è la scelta che costa più tempo dopo — meglio un’ora mirata subito dopo il primo compito che non è andato bene, che tre ore di ripasso generico a gennaio.
Se non hai ancora preso una lezione con me, la prima è una lezione di prova da 20 €, un’ora, per capire subito dove intervenire. C’è anche una chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti, senza impegno. Dopo, una lezione singola costa 40 €, e chi continua con regolarità in genere passa al pacchetto di 10 ore a 360 € (36 €/h).
Sullo stesso argomento, ma con un pubblico e un taglio diversi, ho scritto sistemi lineari in seconda: i quattro metodi e quando usarli — è pensato per il liceo, con tutti e quattro i metodi inclusa la regola di Cramer, mentre qui il taglio resta applicativo. Se il tuo primo compito di seconda è invece su scomposizione e retta, la programmazione tipica del tecnico è in scomposizione e retta: il primo compito di seconda. Il programma completo dell’anno è su la pagina di matematica.
Se un blocco di questi è già fragile, scrivimi: prima lo si affronta, meno lavoro serve per richiuderlo.