Sistemi lineari: la verifica di 2ª

I sistemi lineari sono il primo compito serio della seconda: cadono quasi sempre tra la fine di settembre e la metà di ottobre, subito dopo il ripasso delle disequazioni. È una verifica su cui si può prendere un ottimo voto, perché il calcolo è quasi tutto meccanico — e proprio per questo è anche la verifica dove è più facile buttare via punti per distrazione.

Il problema tipico non è “non so risolvere un sistema”. È che il libro presenta quattro metodi, il professore li vuole tutti e quattro, e nessuno spiega mai quale conviene usare quando. Risultato: si sceglie sempre il primo, la sostituzione, anche quando è il più lungo, e si arriva alla fine dell’ora con due esercizi in bianco.

Qui trovi cosa significa davvero risolvere un sistema, i quattro metodi con il criterio per sceglierli, come si riconoscono i casi impossibile e indeterminato, tre esercizi svolti e gli errori che vedo ripetersi in ogni classe.

Cosa stai cercando davvero

Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite è questo:

{2 x + 3 y = 12 x - y = 1

Risolverlo significa trovare la coppia $(x, y)$ che soddisfa entrambe le equazioni insieme. Non due numeri qualsiasi: una coppia, che va scritta come coppia — $(3, 2)$ — perché è quello che il professore si aspetta di leggere in fondo all’esercizio.

L’immagine che rende tutto il capitolo più semplice è questa: ogni equazione di primo grado in due incognite è una retta nel piano cartesiano. Risolvere il sistema vuol dire cercare il punto in cui le due rette si incontrano. Da qui discendono, senza doverli imparare a memoria, i tre casi possibili:

le rette si incontrano in un punto → sistema determinato, una sola soluzione;
le rette sono parallele e distinte → sistema impossibile, nessuna soluzione;
le rette sono coincidenti → sistema indeterminato, infinite soluzioni.

Se il tuo professore chiede l’interpretazione grafica (in molte classi è un punto della verifica), è tutta qui.

I quattro metodi, e quando conviene ciascuno

Metodo	Conviene quando	Il rischio
Sostituzione	un’incognita ha coefficiente $1$ o $- 1$	frazioni ovunque se il coefficiente non è 1
Confronto	la stessa incognita è già isolata, o si isola facilmente, in entrambe	ricopiare male il secondo membro
Riduzione	i coefficienti di un’incognita sono uguali o opposti (o lo diventano con una moltiplicazione facile)	dimenticare di moltiplicare tutta l’equazione
Cramer	coefficienti “brutti”, o quando serve discutere un parametro	scambiare le colonne nei determinanti

Sostituzione. Si ricava un’incognita da un’equazione e la si sostituisce nell’altra. Funziona sempre, ma se nessun coefficiente è $1$ ti ritrovi a lavorare con le frazioni per tutto l’esercizio.

Confronto. Si isola la stessa incognita in tutte e due le equazioni e si uguagliano i due risultati. È il metodo più veloce quando il sistema è già scritto in forma esplicita, tipo $y = 2 x - 1$ e $y = - x + 5$ .

Riduzione (o eliminazione). Si sommano o sottraggono le due equazioni membro a membro per far sparire un’incognita, dopo averle eventualmente moltiplicate. È il metodo più veloce dei quattro nella maggior parte dei compiti, e quello che gli studenti usano meno.

Cramer. Meccanico e immune al panico: si calcolano tre determinanti e si divide. È l’unico che non richiede scelte, ed è quello da usare quando i numeri sono scomodi o quando c’è un parametro da discutere.

Le formule di Cramer, per il sistema in forma normale

{a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}

sono

D D_{x} D_{y} = a a^{'} b b^{'} = a b^{'} - a^{'} b = c c^{'} b b^{'} = c b^{'} - c^{'} b = a a^{'} c c^{'} = a c^{'} - a^{'} c

e la soluzione è

x = \frac{D _{x}}{D}, y = \frac{D _{y}}{D}

Il modo per non sbagliare le colonne: $D_{x}$ si ottiene da $D$ sostituendo la colonna delle $x$ con quella dei termini noti; $D_{y}$ sostituendo la colonna delle $y$ . Un secondo di attenzione qui vale mezzo esercizio.

Determinato, impossibile, indeterminato

Cramer dà anche il criterio più rapido per classificare un sistema, e questa è quasi sempre una domanda del compito:

$D \neq = 0$ → determinato, una sola soluzione;
$D = 0$ e almeno uno fra $D_{x}$ e $D_{y}$ è diverso da zero → impossibile;
$D = 0$ e $D_{x} = D_{y} = 0$ → indeterminato.

Vale la pena vederlo su due sistemi quasi identici. Il primo:

{2 x - y = 3 4 x - 2 y = 1

Qui $D = 2 \cdot (- 2) - 4 \cdot (- 1) = - 4 + 4 = 0$ e $D_{x} = 3 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 1) = - 6 + 1 = - 5 \neq = 0$ : impossibile. Guardando le due equazioni si capisce perché — la seconda è il doppio della prima a sinistra, ma non a destra: due rette parallele che non si toccano mai.

Il secondo:

{2 x - y = 3 4 x - 2 y = 6

Ora $D = 0$ come prima, ma $D_{x} = 3 \cdot (- 2) - 6 \cdot (- 1) = - 6 + 6 = 0$ e allo stesso modo $D_{y} = 0$ : indeterminato. La seconda equazione è esattamente la prima moltiplicata per 2, cioè la stessa retta scritta due volte. Le soluzioni sono infinite: tutte le coppie con $y = 2 x - 3$ .

Tre esercizi svolti

1. Sostituzione, quando è davvero il metodo giusto

{2 x + 3 y = 12 x - y = 1

Nella seconda equazione la $x$ ha coefficiente 1: è il caso in cui la sostituzione è la scelta migliore. Ricavo $x$ :

x = 1 + y

e la sostituisco nella prima:

2 (1 + y) + 3 y = 12 \Rightarrow 2 + 2 y + 3 y = 12 \Rightarrow 5 y = 10 \Rightarrow y = 2

Torno all’espressione di $x$ : $x = 1 + 2 = 3$ . La soluzione è la coppia $(3, 2)$ .

La verifica costa dieci secondi e li vale tutti: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ e $3 - 2 = 1$ . Entrambe tornano.

2. Riduzione, il metodo più veloce quando i coefficienti sono opposti

{3 x + 2 y = 7 5 x - 2 y = 1

I coefficienti della $y$ sono già opposti, $+ 2$ e $- 2$ : sommo le due equazioni membro a membro e la $y$ sparisce.

(3 x + 5 x) + (2 y - 2 y) = 7 + 1 \Rightarrow 8 x = 8 \Rightarrow x = 1

Sostituisco in una qualsiasi delle due, per esempio la prima:

3 \cdot 1 + 2 y = 7 \Rightarrow 2 y = 4 \Rightarrow y = 2

Soluzione $(1, 2)$ . Con la sostituzione lo stesso esercizio richiedeva le frazioni e almeno tre passaggi in più.

3. Cramer, quando i numeri sono scomodi

{4 x - 3 y = 6 2 x + 5 y = 16

Nessun coefficiente è 1, nessuna coppia è opposta: è il caso di Cramer.

D = 4 \cdot 5 - 2 \cdot (- 3) = 20 + 6 = 26

D_{x} D_{y} = 6 \cdot 5 - 16 \cdot (- 3) = 30 + 48 = 78 = 4 \cdot 16 - 2 \cdot 6 = 64 - 12 = 52

Quindi

x = \frac{78}{26} = 3, y = \frac{52}{26} = 2

Soluzione $(3, 2)$ . Verifica: $4 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 6$ e $2 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 16$ . Tornano entrambe.

I problemi da tradurre in sistema

Nella verifica c’è quasi sempre un problema in italiano da trasformare in sistema, e vale più degli altri esercizi. Il metodo è sempre lo stesso, in tre passi.

Dichiara le incognite per esteso, con l’unità di misura: “sia $x$ la base in cm, sia $y$ l’altezza in cm”. Sembra formale, ma è il passaggio che impedisce di confonderle a metà esercizio, e nelle griglie di valutazione vale un punto.
Scrivi un’equazione per ogni informazione numerica del testo. Due informazioni, due equazioni.
Controlla che la soluzione abbia senso nel problema, non solo nel sistema: una lunghezza negativa o un numero di persone con la virgola vanno scartati, ed è quello che il professore sta verificando.

Un esempio tipico. Un rettangolo ha perimetro 34 cm e la base supera l’altezza di 5 cm: trova le dimensioni.

{2 (x + y) = 34 x - y = 5 \Rightarrow {x + y = 17 x - y = 5

Sommando membro a membro: $2 x = 22$ , quindi $x = 11$ e $y = 17 - 11 = 6$ . Base 11 cm, altezza 6 cm — entrambe positive, quindi accettabili. Il perimetro torna: $2 \cdot 17 = 34$ .

Gli errori che costano più punti

1. Moltiplicare solo metà equazione. Nel metodo di riduzione, se moltiplichi per 3 devi moltiplicare tutti i termini, termine noto compreso. È l’errore numero uno del capitolo, ed è invisibile: il conto prosegue liscio e il risultato è sbagliato.

2. Non ridurre a forma normale prima di Cramer. I determinanti si calcolano su un sistema scritto come $a x + b y = c$ , con le incognite nello stesso ordine in entrambe le righe e i termini noti a destra. Applicare Cramer a un sistema disordinato dà numeri senza senso.

3. Rispondere con un numero solo. La soluzione è una coppia. Trovare $x = 3$ e fermarsi lì è un esercizio a metà.

4. Segni sbagliati nei determinanti. $D_{y} = a c^{'} - a^{'} c$ : quando i coefficienti sono negativi, $- 3 \cdot (- 2)$ è $+ 6$ . Un secondo di lentezza qui vale più di dieci esercizi in più.

5. Non verificare. Sostituire la coppia trovata nelle due equazioni di partenza costa dieci secondi e trova praticamente ogni errore di calcolo. In un compito da un’ora è il miglior investimento possibile.

Le due settimane prima della verifica

Fai cinque sistemi con ciascun metodo, in blocchi separati. Non alternati: cinque di sostituzione di fila, poi cinque di riduzione, e così via. Serve a costruire l’automatismo.
Poi fai dieci sistemi misti e, prima di risolverli, scrivi solo quale metodo useresti e perché. Senza risolverli. Cinque minuti in tutto, ed è l’esercizio che al compito ti fa guadagnare più tempo.
Aggiungi due sistemi con parametro e due problemi da tradurre, che sono gli esercizi che nel compito valgono di più.
Verifica sempre. Prendi l’abitudine adesso, non il giorno della prova.

Se il ripasso non è il problema e quello che si blocca è la testa nei primi minuti del compito, ne ho scritto in come gestire l’ansia da verifica in matematica e fisica.

Come lavoriamo su questo nelle lezioni

Sui sistemi il lavoro che rende di più non è fare altri venti esercizi: è fare venti scelte di metodo senza risolvere niente. Guardo il sistema con lo studente, gli chiedo quale metodo userebbe e perché, e passiamo al successivo. In mezz’ora si copre quello che a risolverli tutti richiederebbe tre lezioni, e al compito la differenza si vede sul tempo.

L’altro punto su cui insisto è la traduzione dei problemi: dichiarare le incognite ad alta voce, con l’unità di misura, prima di scrivere qualsiasi equazione. Le lezioni sono online e uno-a-uno: 40 € l’ora, oppure 360 € per un pacchetto di 10 ore (36 €/h) se la seconda è partita in salita e conviene rimettere a posto anche le disequazioni dell’anno scorso.

Il modo più rapido per capire a che punto sei è provare la verifica simulata sui sistemi lineari: quindici quesiti in cinquanta minuti, con il dettaglio dei punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo la prova vedi che il calcolo regge ma la classificazione dei sistemi no (o viceversa), scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente quante lezioni servono. Il quadro completo di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di matematica.

Sistemi lineari in seconda: i quattro metodi e quando usarli