Scomposizione e retta: il primo compito di seconda

La scuola è ripartita da pochi giorni. Il primo compito di matematica di seconda, negli istituti tecnici, arriva quasi sempre fra metà ottobre e i primi di novembre — fra quattro e sei settimane da oggi. Il programma è quasi sempre lo stesso ovunque: ripasso della scomposizione in polinomi, poi piano cartesiano e retta. Sono gli argomenti su cui la prof ricomincia da capo, ma anche quelli su cui il debito di prima si è formato: quasi sempre a gennaio-febbraio, proprio su polinomi e scomposizione. Se in prima quel capitolo è rimasto fragile, è qui che si vede subito.

Questo post copre i due blocchi con lo stesso metodo che uso in lezione: prima gli errori che fanno perdere punti — con i numeri, non in astratto — poi il procedimento passo per passo, poi tre esercizi svolti per intero.

Cosa chiede davvero il primo compito

Alla voce “scomposizione” un compito di seconda di un tecnico chiede in genere: raccoglimento totale, raccoglimento parziale, differenza di quadrati, quadrato di binomio (a volte cubo di binomio), somma o differenza di cubi, il trinomio speciale $x^2+sx+p$, e almeno un esercizio dove questi passaggi servono per semplificare una frazione algebrica — con le condizioni di esistenza scritte, non solo pensate.

Alla voce “retta” ci si aspetta: scrivere l’equazione della retta per due punti, calcolare il coefficiente angolare, riconoscere rette parallele e perpendicolari, e spesso un esercizio misto che chiede distanza fra due punti o punto medio di un segmento.

Sono due capitoli diversi ma il compito li mette quasi sempre insieme, perché la seconda parte del programma (piano cartesiano) si costruisce sulla prima (algebra): un errore di segno nella scomposizione si ripropone identico quando si calcola un coefficiente angolare con una frazione.

Gli errori che costano punti

1. Scomporre senza raccogliere prima. Preso $2x^3-8x$, l’errore più comune è partire subito con la differenza di quadrati su $x^3-4x$, saltando il raccoglimento totale del 2. Il metodo giusto è sempre lo stesso ordine: prima il raccoglimento totale, sempre — anche quando sembra che non ci sia nulla da raccogliere.

Chi salta il primo passaggio spesso si ferma anche al secondo, consegnando $2x(x^2-4)$ come se fosse già scomposto del tutto: non lo è, perché $x^2-4$ è ancora una differenza di quadrati.

2. Segni sbagliati nel raccoglimento parziale. In $ax-ay-bx+by$ il problema non è raccogliere, è il segno con cui si raccoglie il secondo gruppo:

Il tranello è scrivere $-b(x-y)$ come $-b(x+y)$ o dimenticare che il segno meno davanti a $bx$ va portato fuori insieme al raccoglimento, non lasciato dentro la parentesi.

3. Confondere $a^2-b^2$ con $a^2+b^2$. $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ si scompone sempre. $a^2+b^2$ non si scompone in $\mathbb{R}$: non esiste nessuna coppia di fattori reali il cui prodotto dia una somma di due quadrati positivi. Vedere un più al posto di un meno e scomporre comunque è uno degli errori che un correttore nota per primo.

4. Il segno del termine noto nel trinomio speciale. Per scomporre $x^2+sx+p$ nella forma $(x+a)(x+b)$ servono due numeri $a$ e $b$ tali che $a\cdot b=p$ e $a+b=s$. L’errore tipico è cercare due numeri che sommati diano $s$ e poi controllare il prodotto per approssimazione, invece di partire dal prodotto: se $p$ è negativo, $a$ e $b$ hanno segni opposti; se $p$ è positivo, hanno lo stesso segno di $s$.

5. Condizioni di esistenza dimenticate. Su una frazione algebrica come $\frac{x^2-4}{x^2-2x}$, semplificare senza scrivere prima le C.E. (qui $x\ne 0$ e $x\ne 2$, perché il denominatore si annulla lì) è un errore che molti insegnanti considerano grave quanto un conto sbagliato, perché cambia il dominio della funzione, non solo l’aspetto dell’espressione.

Il metodo per la scomposizione, passo per passo

1. Raccogliere sempre il fattore comune totale, se esiste — numerico e letterale.
2. Contare i termini che restano: due termini → provare differenza di quadrati o somma/differenza di cubi; tre termini → provare quadrato di binomio o trinomio speciale; quattro termini → provare il raccoglimento parziale a coppie.
3. Dopo ogni scomposizione, guardare di nuovo ciascun fattore ottenuto: può ancora scomporsi? Il caso classico è $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$, dove $x^2+4$ non si tocca oltre ma $x^2-4$ sì.
4. Se compare una frazione algebrica, scomporre numeratore e denominatore, scrivere le C.E. dal denominatore scomposto, poi semplificare i fattori comuni.

Il metodo per la retta, passo per passo

Dati due punti $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$, il coefficiente angolare della retta che li unisce è

Una volta trovato $m$, l’equazione della retta si scrive con la forma esplicita $y=mx+q$ sostituendo le coordinate di uno dei due punti per trovare $q$, oppure resta in forma implicita $ax+by+c=0$ quando conviene non isolare la $y$ — per esempio proprio nel caso delle rette verticali $x=k$, che non hanno una forma esplicita: non esiste nessun $m$ per una retta parallela all’asse $y$.

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, $m_1=m_2$. Sono perpendicolari se il prodotto dei coefficienti angolari vale $-1$:

Il punto medio del segmento $AB$ è la media delle coordinate, $M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$, e la distanza fra $A$ e $B$ è

Gli errori più frequenti qui: leggere il segno di $m$ al contrario da un grafico (una retta che scende da sinistra a destra ha $m$ negativo, non positivo), sbagliare il segno passando dalla forma implicita a quella esplicita quando il coefficiente di $y$ è negativo, e confondere “il punto appartiene alla retta” (si sostituiscono le coordinate nell’equazione e deve venire un’uguaglianza vera) con “è soluzione di un sistema” (che riguarda l’intersezione fra due rette, non l’appartenenza di un punto a una sola retta).

Tre esercizi svolti

Esercizio 1 — scomposizione mista. Scomporre $3x^3-12x$.

Primo passo, raccoglimento totale: il fattore comune è $3x$.

Il fattore $x^2-4$ è una differenza di quadrati, quindi si scompone ancora:

Qui ci si ferma: nessuno dei tre fattori si scompone oltre.

Esercizio 2 — frazione algebrica con C.E. Semplificare $\frac{x^2-x-6}{x^2-9}$.

Il numeratore è un trinomio speciale: cerco due numeri il cui prodotto è $-6$ e la cui somma è $-1$, cioè $-3$ e $2$.

Il denominatore è una differenza di quadrati:

Prima di semplificare, le condizioni di esistenza: il denominatore originale si annulla per $x=3$ e $x=-3$, quindi C.E.: $x\ne 3\wedge x\ne -3$. Ora si semplifica il fattore comune $(x-3)$:

La condizione $x\ne 3$ resta scritta anche dopo la semplificazione, perché altrimenti l’espressione finale sembrerebbe definita anche lì, mentre quella di partenza non lo era.

Su questo tipo di esercizio conviene fare pratica extra prima del compito: in /simulazioni/verifiche-liceo/ ci sono verifiche organizzate per argomento, non miste per anno — proprio per allenarsi su scomposizione e frazioni algebriche separatamente dalla retta.

Esercizio 3 — retta per due punti e perpendicolare. Dati $A(1,2)$ e $B(3,8)$, scrivere l’equazione della retta $r$ per $A$ e $B$, poi l’equazione della retta $s$ perpendicolare a $r$ passante per $C(0,5)$.

Coefficiente angolare di $r$:

Equazione di $r$ in forma esplicita, usando il punto $A$:

Verifica veloce con $B$: $3\cdot 3-1=8$, corretto.

Per la perpendicolare $s$ serve $m_s$ tale che $m_r\cdot m_s=-1$, quindi $m_s=-\frac{1}{3}$. Passando per $C(0,5)$:

$C$ ha $x=0$, quindi $q=5$ si legge direttamente: è l’ordinata all’origine.

Perché serve subito, non solo per il voto

Al settore economico, la retta è il primo modello che si incontra in Economia aziendale: costo totale e ricavo in funzione delle quantità prodotte o vendute sono, nei casi più semplici, proprio funzioni del tipo $y=mx+q$, con $m$ che rappresenta un costo o un prezzo unitario e $q$ un costo fisso. Al settore tecnologico, gli stessi strumenti — coefficiente angolare, lettura di un grafico, equazione di una retta — tornano identici nei grafici spazio-tempo e velocità-tempo di Fisica, dove la pendenza del grafico è una velocità o un’accelerazione. Non è un capitolo isolato di matematica: è il linguaggio che le materie d’indirizzo useranno da qui in avanti.

Come lavoriamo in lezione

Con chi arriva con il debito di prima ancora scoperto o con basi incerte su questi due capitoli, il lavoro parte da dove si è fermata la comprensione — spesso proprio dal segno nel raccoglimento parziale o dalla lettura di $m$ su un grafico — e si costruisce da lì verso gli esercizi tipo compito. Trovi il programma completo di seconda, con tutti i capitoli dell’anno, in Seconda superiore: programma e formulario di matematica; dopo la retta arrivano i sistemi lineari, che li usano per trovare l’intersezione fra due rette, e più avanti nell’anno i radicali. Se vuoi un ripasso trasversale degli errori che tornano capitolo dopo capitolo, c’è anche Cinque errori di matematica che sembrano giusti.

Le lezioni di matematica sono online e uno-a-uno. Si parte con una chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti per capire dove si è fermi, oppure con una lezione di prova a 20 €; una lezione singola è 40 €, il pacchetto da 10 ore è 360 € (36 €/h). Pagamento sempre offline — bonifico, Satispay, PayPal, carta, Apple Pay o Revolut.

Per allenarti da solo prima del compito, le verifiche organizzate per argomento sono in /simulazioni/verifiche-liceo/: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione. Se preferisci parlarne prima, siamo su /contatti/.