Cinque errori di matematica che sembrano giusti

Ci sono errori che si riconoscono al volo — un segno saltato, un numero copiato male — e altri che non si riconoscono affatto, perché il passaggio che li produce sembra una regola vera. Non sono sbadataggini: sono scorciatoie che assomigliano troppo a una proprietà legittima, superano un controllo a occhio, e restituiscono un numero sbagliato con tutta tranquillità.

I cinque che seguono attraversano gli anni e i capitoli: li vedo dal biennio alla maturità, in algebra come in goniometria. Per ciascuno: il controesempio numerico che lo smonta, e la regola corretta scritta in positivo.

1. La radice di un quadrato non restituisce il numero di partenza

Da $x^2=9$ non segue $x=3$: segue $x=3$ oppure $x=-3$, perché entrambi, elevati al quadrato, danno 9. Il motivo è che $\sqrt{x^2}=|x|$, non $x$: la radice quadrata di un quadrato è sempre un valore assoluto, mai negativo.

La stessa distrazione, in una forma più insidiosa, appare in $x^2=5x$: non si semplifica la $x$ da entrambi i lati. Farlo significa dividere per $x$ senza sapere se può valere zero — e proprio $x=0$ è una soluzione. Portando tutto a un membro e raccogliendo:

Regola: l’equazione $x^2=k$ ha due soluzioni opposte se $k>0$, la sola $x=0$ se $k=0$, nessuna soluzione reale se $k<0$. E quando un’incognita compare a fattore comune su entrambi i lati, si raccoglie — non si semplifica mai.

2. Le funzioni non si distribuiscono sulla somma

Radice, logaritmo, seno e reciproco non si comportano come una moltiplicazione: nessuno di loro si distribuisce su una somma. Con $a=9$ e $b=16$:

Cinque contro sette: l’uguaglianza $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ è falsa in generale. Lo stesso succede con $\ln (1+1)=\ln 2\approx 0,693$ contro $\ln 1+\ln 1=0$, con $\sin (30°+60°)=1$ contro $\sin 30°+\sin 60°\approx 1,366$, e con $\frac{1}{2+3}=0,2$ contro $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\approx 0,833$.

Regola: quello che è vero riguarda il prodotto, non la somma — $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ (con $a,b\ge 0$) e $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (con $a,b>0$). L’unica eccezione apparente è il seno, che ha davvero una formula per la somma di due angoli, ma è un’identità a sé con due termini — $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ — non una distribuzione.

3. Si semplificano i fattori, non gli addendi

$\frac{x+3}{x}$ non vale 3: la $x$ a numeratore è sommata a 3, non moltiplicata, quindi non è un fattore comune con la $x$ del denominatore. Con $x=2$ si vede subito: $\frac{2+3}{2}=2,5$, non 3.

$\frac{x^2+3x}{x}$ è diverso, perché qui il numeratore si raccoglie come $x(x+3)$: la $x$ è un fattore comune, e semplificarla dà $x+3$ — ma solo per $x\ne 0$, perché si sta dividendo per quella lettera.

Regola: si semplifica un fattore comune a tutto il numeratore e a tutto il denominatore, mai un termine che compare dentro una somma. E ogni volta che si semplifica una lettera, la condizione che quella lettera sia diversa da zero resta valida anche dopo.

4. Il verso di una disequazione non si tocca a caso

Moltiplicare o dividere per un numero negativo ribalta il verso; per un numero positivo lo conserva — fin qui è meccanico. Il problema è moltiplicare per qualcosa il cui segno non si conosce, come la $x$ stessa. Da $\frac{1}{x}>1$ non segue $x<1$: con $x=-1$, che soddisfa $x<1$, si ottiene $\frac{1}{-1}=-1$, che non è maggiore di 1. Il passaggio vietato ha introdotto una soluzione che non esiste.

Il modo corretto è portare tutto a un membro e studiare il segno:

Numeratore e denominatore sono concordi (entrambi positivi) solo per $0<x<1$.

Regola: se il fattore per cui vorresti moltiplicare contiene la $x$, non moltiplicare — porta tutto a un membro e studia il segno del risultato.

5. Le condizioni di esistenza si scrivono prima, non dopo

In un’equazione con logaritmi o radicali, combinare i termini può introdurre soluzioni che l’equazione di partenza non ammetteva nemmeno di scrivere. Prendi $\log (x-1)+\log (x-3)=\log 3$: combinando i logaritmi si arriva a $x(x-4)=0$, cioè $x=0$ oppure $x=4$. Ma le condizioni — $x-1>0$ e $x-3>0$, cioè $x>3$ — vanno scritte prima di combinare, non dedotte alla fine controllando se il risultato “sembra strano”: $x=0$ non le rispetta e va scartata a monte, restando la sola $x=4$.

Regola: ogni argomento di un logaritmo dev’essere positivo, ogni radicando di indice pari non negativo — condizioni scritte a inizio esercizio, prima di ogni passaggio che le nasconde.

Il filo comune

Nessuno di questi cinque è un calcolo sbagliato: sono tutti passaggi che sembrano leciti perché assomigliano a un’operazione vera. La difesa è sempre la stessa — quando un passaggio sembra troppo comodo, fermati e controllalo con un numero concreto prima di fidarti dell’algebra. È lo stesso riflesso che serve nelle semplificazioni con i radicali o nella scelta del metodo giusto per un sistema lineare: la scorciatoia che sembra ovvia è quasi sempre quella da controllare due volte.