Divisione fra polinomi e regola di Ruffini in terza

al liceo linguistico la terza apre con divisione fra polinomi, regola di Ruffini e scomposizione. La prima verifica arriva fra cinque e otto settimane, quindi tra fine ottobre e metà novembre. Con 2 ore di matematica a settimana e undici ore di lingue che occupano il resto del monte ore, questo blocco passa in fretta e non torna: se lo lasci scivolare adesso, a novembre lo ritrovi in un compito e basta.

Quello che già sai fare, e quello che manca

Se sei arrivato in terza avendo già visto raccoglimento, differenza di quadrati e trinomio speciale, quella parte non la ripeto qui: la trovi già spiegata, con gli esercizi, in scomposizione e frazioni algebriche in seconda. Questo post parte da dove quello si ferma: cosa fare quando nessuna delle tecniche classiche funziona, cioè quando il polinomio non ha un raccoglimento comodo, non è una differenza di quadrati, non è un trinomio con due termini che tornano subito. In quel caso lo strumento è la divisione fra polinomi, e in particolare la sua versione veloce: la regola di Ruffini.

Divisione fra polinomi in colonna

La divisione fra due polinomi funziona come la divisione fra numeri: si cerca un quoziente $Q(x)$ e un resto $R(x)$ tali che

con il grado di $R(x)$ minore del grado di $B(x)$ (o resto nullo). Il procedimento in colonna:

1. Ordina entrambi i polinomi per grado decrescente.
2. Metti uno zero al posto di ogni termine mancante. Se $A(x)=x^3-5x+2$ manca il termine di secondo grado: lo scrivi come $x^3+0x^2-5x+2$. È l’errore più frequente di questo capitolo — saltare un grado sposta tutti i conti successivi e il resto finale è sbagliato senza che nessun singolo passaggio sembri sbagliato.
3. Dividi il primo termine di $A(x)$ per il primo termine di $B(x)$: ottieni il primo termine del quoziente.
4. Moltiplica quel termine per tutto $B(x)$, cambia segno e somma al dividendo, come nella divisione fra numeri.
5. Ripeti con il resto parziale finché il suo grado è minore del grado di $B(x)$: quello che resta è $R(x)$.
6. Verifica sempre: ricalcola $B(x)\cdot Q(x)+R(x)$ e controlla che torni $A(x)$.

Il teorema del resto

Prima di dividere per esteso, c’è una scorciatoia che vale la pena conoscere: il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)$ è semplicemente $P(a)$.

Questo significa che per sapere se una divisione per $(x-a)$ darà resto zero non serve dividere: basta sostituire $x=a$ nel polinomio e calcolare. Se il risultato è zero, la divisione è esatta; se non lo è, quel numero è il resto, senza fare nessun altro conto.

Il teorema e la regola di Ruffini

Il teorema di Ruffini dice che un polinomio $P(x)$ è divisibile per $(x-a)$ se e solo se $P(a)=0$, cioè se e solo se $a$ è una radice del polinomio. È la naturale conseguenza del teorema del resto: resto zero vuol dire divisione esatta.

La regola di Ruffini è lo schema pratico per eseguire quella divisione, ma solo quando il divisore è di primo grado, nella forma $x-a$ (attenzione al segno: per dividere per $x+3$ si usa $a=-3$). Si costruisce una griglia con i coefficienti di $P(x)$ in ordine decrescente (zeri compresi per i termini mancanti, esattamente come nella divisione in colonna) e si procede così:

1. Scrivi i coefficienti di $P(x)$ in riga.
2. Scrivi $a$ a sinistra.
3. Il primo coefficiente scende invariato.
4. Ogni coefficiente successivo si ottiene moltiplicando l’ultimo numero trovato per $a$ e sommandolo al coefficiente sopra di lui.
5. L’ultimo numero della riga in basso è il resto: se è zero, la divisione è esatta e i numeri prima di lui sono i coefficienti del quoziente, di grado inferiore di uno rispetto a $P(x)$.

Come si cercano le radici

Questo è il passaggio che i libri spiegano male e che rende Ruffini utilizzabile invece che un tentativo alla cieca: le radici intere di un polinomio a coefficienti interi vanno cercate fra i divisori del termine noto, presi con entrambi i segni.

Se $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$, il termine noto è $6$: i suoi divisori (con il segno) sono $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Non serve provarli tutti a caso: si prova ciascuno con il teorema del resto, cioè si sostituisce nel polinomio, finché uno annulla $P(x)$. Il primo che funziona è la radice da usare con Ruffini.

Scomporre un polinomio di terzo grado con Ruffini

Trovata una radice $a$, Ruffini divide $P(x)$ per $(x-a)$ e restituisce un quoziente di secondo grado. A quel punto si scompone il quoziente con il trinomio speciale (o con la formula risolutiva), e il polinomio di partenza è il prodotto di $(x-a)$ per quella scomposizione. Lo vedi nel secondo esercizio qui sotto.

A cosa serve subito

Non è un capitolo a sé: in terza al linguistico serve immediatamente per le frazioni algebriche e le equazioni fratte di novembre-dicembre, dove il primo passo è sempre scomporre numeratore e denominatore. Se un polinomio non si scompone con le tecniche viste in seconda, la strada obbligata è quella di questo post.

Esercizio 1 — divisione in colonna con resto non nullo

Dividi $A(x)=2x^3-3x^2+x-4$ per $B(x)=x-2$.

$A(x)$ è già ordinato e completo, nessun termine mancante.

Primo passo. $2x^3:x=2x^2$. Moltiplico $2x^2\cdot (x-2)=2x^3-4x^2$, cambio segno e somma:

Resto parziale: $x^2+x-4$ (riporto giù i termini successivi).

Secondo passo. $x^2:x=x$. Moltiplico $x\cdot (x-2)=x^2-2x$, cambio segno e somma:

Resto parziale: $3x-4$.

Terzo passo. $3x:x=3$. Moltiplico $3\cdot (x-2)=3x-6$, cambio segno e somma:

Il grado di $2$ (zero) è minore del grado di $B(x)$ (uno): mi fermo. Quoziente $Q(x)=2x^2+x+3$, resto $R=2$.

Verifica:

Sviluppo $(x-2)(2x^2+x+3)=2x^3+x^2+3x-4x^2-2x-6=2x^3-3x^2+x-6$, e aggiungendo il resto $2$ torna esattamente $2x^3-3x^2+x-4=A(x)$. Verificato.

Se vuoi controllare da solo se hai capito il metodo, nella simulazione di verifica sulla scomposizione trovi altri esercizi di questo tipo: la risposta corretta è gratuita, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione. È catalogata sulla prima perché allo scientifico questo argomento si vede a fine primo anno, ma il contenuto è lo stesso: al linguistico arriva in terza, non stai sbagliando quiz.

Esercizio 2 — scomposizione di un polinomio di terzo grado con Ruffini

Scomponi $P(x)=x^3+2x^2-5x-6$.

Passo 1 — cerco la radice fra i divisori del termine noto. Il termine noto è $-6$: i divisori con il segno sono $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$.

Provo $x=1$: $P(1)=1+2-5-6=-8$. Non è zero.

Provo $x=-1$: $P(-1)=-1+2+5-6=0$. È una radice.

Passo 2 — divido con la regola di Ruffini per $(x-(-1))$, quindi $a=-1$.

Coefficienti di $P(x)$ in ordine: $1,2,-5,-6$.

Passo i calcoli: il primo coefficiente scende invariato, $1$. Poi $1\cdot (-1)=-1$, sommato a $2$ dà $1$. Poi $1\cdot (-1)=-1$, sommato a $-5$ dà $-6$. Poi $-6\cdot (-1)=6$, sommato a $-6$ dà $0$: il resto è zero, confermando che $x=-1$ è radice.

Il quoziente ha coefficienti $1,1,-6$, cioè $Q(x)=x^2+x-6$.

Passo 3 — scompongo il quoziente di secondo grado con il trinomio speciale. Cerco due numeri $p,q$ con $p+q=1$ e $p\cdot q=-6$: sono $3$ e $-2$. Quindi $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$.

Passo 4 — fattorizzazione finale:

Verifica rimoltiplicando. $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$. Poi $(x^2+4x+3)(x-2)=x^3+4x^2+3x-2x^2-8x-6=x^3+2x^2-5x-6$: torna esattamente il polinomio di partenza.

Se vuoi allenarti su altri polinomi di questo tipo, con correzione automatica, trovi la simulazione di verifica sulla scomposizione — stessa etichetta di prima, stesso contenuto in terza al linguistico.

Per il quadro completo di che cosa affronterai in matematica fino alla fine del liceo linguistico, funzioni e limiti in quinta racconta dove arriva questo stesso programma due anni dopo. Se invece vuoi ripassare cosa esce nel resto di terza, c’è il formulario di terza.

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