Matematica in quinta superiore: funzioni e limiti

A metà settembre, con la scuola ripartita da due settimane: in quinta al linguistico il professore in questi giorni sta facendo funzioni — dominio, segno, simmetrie. La prima verifica vera arriva fra sei e otto settimane, tra fine ottobre e metà novembre, e a novembre-dicembre si passa ai limiti. C’è tempo, ed è esattamente il momento in cui conviene usarlo.

Una cosa conta più di ogni esercizio: al linguistico il programma di quinta è, sulla carta, lo stesso dello scientifico — funzioni, limiti, poi derivate. Cambiano le ore, 2 a settimana contro le 4, e cambia il livello, quello del libro “azzurro”. Chi si mette a studiare sul manuale dello scientifico si spaventa per cose che al suo compito non usciranno mai — dimostrazioni, epsilon-delta, funzioni irrazionali complicate. E chi invece salta il dominio pensando che “tanto è solo linguistico” prende un’insufficienza vera, perché quello lì il prof lo chiede sempre, a prescindere dalle ore.

Cosa esce davvero nella verifica di funzioni e limiti in quinta al linguistico

Con 2 ore a settimana il programma non si comprime tagliando argomenti a caso: si comprime restando sulle funzioni razionali fratte e lasciando fuori tutto ciò che serve solo a “vedere il caso generale”. Quello che il prof chiede, quasi sempre, sono questi cinque blocchi, nell’ordine in cui li vedete a lezione:

1. dominio di una funzione razionale fratta — condizione di esistenza del denominatore, niente radici complicate;
2. simmetrie — verifica se $f(x)$ è pari, dispari, o nessuna delle due;
3. intersezioni con gli assi — dove il grafico incontra $x=0$ e $y=0$;
4. segno — dove la funzione è positiva e dove è negativa, con la tabella dei segni;
5. limiti agli estremi del dominio, cioè agli infiniti e nei punti esclusi, per trovare gli asintoti (verticali, orizzontali; l’obliquo lo vedete solo se il prof ha tempo, ma è raro al linguistico con 2 ore).

Il formato tipico è “studio di funzione razionale completo come compito tipo”: vi danno una $f(x)$ e vi chiedono di fare tutti e cinque i passi, con il grafico probabile alla fine. Non c’è integrale, non c’è derivata seconda, non c’è studio di flessi — quello, se arriva, arriva più avanti e con un compito a parte.

Quello che non esce, e su cui non vale la pena spendere un’ora di studio in più: le dimostrazioni dei teoremi sui limiti (Weierstrass, permanenza del segno, confronto), la definizione formale con $\epsilon$ e $\delta$, funzioni con radici e valori assoluti intrecciati, integrali. Le Indicazioni Nazionali per il linguistico lo dicono in modo esplicito: non è richiesto un addestramento alle tecniche di calcolo dei limiti in profondità. L’obiettivo, quando si arriverà alle derivate a dicembre-gennaio, è capire che la derivata è una pendenza, una velocità, e usarla per ottimizzare qualcosa — non allenarsi su cento esercizi di derivazione come allo scientifico. Vale la stessa logica anche su potenziale e campo: al linguistico basta l’idea, senza il formalismo pesante.

Una nota che conviene avere chiara da subito: di solito il colloquio di maturità può toccare anche matematica e fisica, secondo l’indirizzo e la commissione (le materie le fissa ogni anno il Ministero: verifica sul decreto dell’anno in cui sostieni l’esame). Il voto del quinto anno pesa comunque sul credito scolastico e quindi sul voto finale: non è una materia da ignorare, ma nemmeno da vivere con l’ansia del “devo essere pronto per tutto”.

Gli errori che costano punti

Quasi tutti gli errori del compito nascono da fretta sui primi due passi, non dai limiti in sé.

• C.E. del denominatore dimenticata. Scrivere $f(x)=\frac{x+2}{x^2-4}$ e passare dritti al segno senza aver mai scritto $x\ne \pm 2$. Il prof la conta come errore grave anche se il resto è giusto, perché senza dominio tutto quello che segue è formalmente scorretto.
• Tabella dei segni sbagliata. Si scompongono bene numeratore e denominatore ma poi si assegnano i segni agli intervalli senza controllare le radici in ordine crescente, o si dimentica che un fattore al denominatore, se negativo, inverte il segno della frazione in quell’intervallo.
• Simmetria testata male. Si calcola $f(-x)$ ma non si semplifica fino in fondo prima di confrontare con $f(x)$ e $-f(x)$: una funzione pari sembra “nessuna delle due” solo perché ci si è fermati un passaggio prima.
• Confondere dominio con “condizione della radice” quando la radice non c’è. Capita quando si studia sul libro dello scientifico, pieno di funzioni irrazionali: si finisce per cercare condizioni che la propria funzione, essendo solo fratta, non ha.
• Asintoto verticale annunciato dove il fattore si semplifica. È l’errore più insidioso e lo vedete più sotto nel terzo esercizio: se numeratore e denominatore condividono un fattore, quel punto è un buco nel grafico (discontinuità eliminabile), non un asintoto. Dichiarare un asintoto lì è un errore concettuale, non di calcolo, e il prof lo pesa come tale.

Il metodo passo per passo

La sequenza è sempre la stessa, e conviene seguirla nell’ordine perché ogni passo usa il risultato del precedente:

1. Dominio. Poni il denominatore diverso da zero, risolvi. È la base di tutto: un errore qui si propaga in ogni passo successivo.
2. Simmetrie. Calcola $f(-x)$ e confrontalo con $f(x)$: se coincidono la funzione è pari (grafico simmetrico rispetto all’asse $y$), se $f(-x)=-f(x)$ è dispari (simmetrico rispetto all’origine). Serve a dimezzare il lavoro sul segno e sui limiti, perché basta studiare metà dominio e riflettere.
3. Intersezioni con gli assi. Poni $x=0$ per l’intersezione con l’asse $y$ (se $x=0$ è nel dominio), poni $f(x)=0$ per le intersezioni con l’asse $x$.
4. Segno. Studia dove numeratore e denominatore sono positivi o negativi separatamente, poi combina con la tabella dei segni.
5. Limiti agli estremi del dominio. Calcola il limite per $x\to \pm \infty$ e nei punti esclusi dal dominio, sia da destra che da sinistra.
6. Asintoti. Dai limiti del passo 5 leggi verticali e orizzontali: limite infinito in un punto escluso → asintoto verticale; limite finito all’infinito → asintoto orizzontale.

Il passo che il prof pesa di più, quasi sempre, è il quinto: non tanto il calcolo del limite in sé, quanto la capacità di collegarlo al passo giusto — capire quali punti vanno controllati (gli estremi del dominio trovati al passo 1, non punti a caso) e cosa dice il risultato sul grafico. Un compito che sbaglia un conto ma imposta i limiti nei punti giusti prende più punti di uno che calcola tutto bene nel posto sbagliato.

Tre esercizi svolti

1. $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-9}$

Dominio. $x^2-9\ne 0\Rightarrow x\ne \pm 3$.

Simmetria.

Funzione pari, grafico simmetrico rispetto all’asse $y$.

Intersezioni. Con l’asse $y$: $f(0)=\frac{-4}{-9}=\frac{4}{9}$. Con l’asse $x$: $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$.

Segno. Numeratore $x^2-4\ge 0$ per $x\le -2$ o $x\ge 2$. Denominatore $x^2-9>0$ per $x<-3$ o $x>3$. Combinando: $f(x)>0$ per $x<-3$, $f(x)<0$ per $-3<x<-2$, $f(x)>0$ per $-2<x<2$, $f(x)<0$ per $2<x<3$, $f(x)>0$ per $x>3$.

Limiti e asintoti. Agli estremi del dominio:

e per simmetria lo stesso comportamento, invertito, in $x=-3$: due asintoti verticali, $x=-3$ e $x=3$. All’infinito, grado numeratore uguale a grado denominatore, quindi il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi:

Asintoto orizzontale $y=1$.

Se vuoi allenarti su altri quesiti di questo stesso taglio, con correzione immediata, c’è la simulazione di quinta sui limiti: la risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata passo per passo si sblocca con la prima lezione.

2. $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$

Dominio. $x^2-1\ne 0\Rightarrow x\ne \pm 1$.

Simmetria.

Funzione dispari, grafico simmetrico rispetto all’origine.

Intersezioni. $f(0)=0$: l’unica intersezione, con entrambi gli assi, è l’origine $(0,0)$.

Segno. Numeratore: $x>0$ per $x>0$. Denominatore: $(x-1)(x+1)>0$ per $x<-1$ o $x>1$. Combinando: $f(x)<0$ per $x<-1$, $f(x)>0$ per $-1<x<0$, $f(x)<0$ per $0<x<1$, $f(x)>0$ per $x>1$.

Limiti e asintoti.

Due asintoti verticali, $x=-1$ e $x=1$. All’infinito, grado numeratore (1) minore del grado denominatore (2):

Asintoto orizzontale $y=0$, cioè l’asse $x$ stesso.

3. $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ — il tranello

Dominio. $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$. Fermarsi qui, prima di scomporre, è importante: il dominio si legge sull’espressione originale, non su quella semplificata.

Scomponendo il numeratore:

Il grafico è la retta $y=x+1$, con un buco nel punto $x=1$.

Intersezioni. Con l’asse $y$: $f(0)=1$. Con l’asse $x$: $x+1=0\Rightarrow x=-1$ (accettabile, perché $-1\ne 1$).

Segno. $f(x)>0$ per $x>-1$ (escluso $x=1$), $f(x)<0$ per $x<-1$.

Limite nel punto escluso — qui è il tranello.

Il limite esiste ed è finito. Non è un asintoto verticale: è una discontinuità di terza specie, eliminabile — un buco nel grafico nel punto $(1,2)$, dove la funzione non è definita ma il limite sì. Chi vede $x=1$ escluso dal dominio e scrive “asintoto verticale” senza controllare il limite perde il punto più insidioso del compito, perché il conto è facile ma la conclusione è quella sbagliata.

All’infinito non c’è nulla da cercare: il grafico è già una retta, a meno del buco, quindi non esiste un asintoto orizzontale e la retta obliqua a cui tende è la funzione stessa.

Se vuoi vedere lo stesso metodo applicato con più rigore, sul livello dello scientifico — condizioni di esistenza più complesse, funzioni irrazionali, il formalismo che qui abbiamo lasciato fuori — c’è la guida al dominio e alle simmetrie, il primo capitolo di una serie completa passo per passo sullo studio di funzione.

Come lavoriamo in lezione

Con 2 ore a settimana non c’è margine per arrivare al compito e scoprire lì che il dominio non è chiaro: lo verifico prima, con esercizi mirati sulle funzioni razionali fratte che escono davvero al vostro compito, non su tutto il repertorio dello scientifico. Si parte da dove siete — spesso è proprio dominio e simmetrie, in queste settimane — e si arriva ai limiti con lo stesso metodo che avete visto qui, ripetuto finché diventa automatico.

Il punto di partenza più comodo è la simulazione di quinta sui limiti: la fai in un quarto d’ora e ti dice subito dove sei, senza che nessuno ti chieda niente. Da lì, se vuoi provare come lavoro, c’è la chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti, oltre alla lezione singola e al pacchetto da 10 ore — il quadro tariffe è nella pagina prezzi (pagamento offline: bonifico, Satispay, PayPal, carta, Apple Pay, Revolut). Il quadro completo di come seguo la materia è nella pagina di matematica. Per una chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti, o per fissare la prima lezione, scrivimi dai contatti.