Matematica in quinta al linguistico: funzioni e limiti

Metà settembre 2026, scuola ripartita da due settimane: in quinta al linguistico il professore in questi giorni sta facendo funzioni — dominio, segno, simmetrie. La prima verifica vera arriva fra sei e otto settimane, tra fine ottobre e metà novembre, e a novembre-dicembre si passa ai limiti. C’è tempo, ed è esattamente il momento in cui conviene usarlo.

Una cosa conta più di ogni esercizio: al linguistico il programma di quinta è, sulla carta, lo stesso dello scientifico — funzioni, limiti, poi derivate. Cambiano le ore, 2 a settimana contro le 4, e cambia il livello, quello del libro “azzurro”. Chi si mette a studiare sul manuale dello scientifico si spaventa per cose che al suo compito non usciranno mai — dimostrazioni, epsilon-delta, funzioni irrazionali complicate. E chi invece salta il dominio pensando che “tanto è solo linguistico” prende un’insufficienza vera, perché quello lì il prof lo chiede sempre, a prescindere dalle ore.

Cosa esce davvero nella verifica di funzioni e limiti in quinta al linguistico

Con 2 ore a settimana il programma non si comprime tagliando argomenti a caso: si comprime restando sulle funzioni razionali fratte e lasciando fuori tutto ciò che serve solo a “vedere il caso generale”. Quello che il prof chiede, quasi sempre, sono questi cinque blocchi, nell’ordine in cui li vedete a lezione:

1. dominio di una funzione razionale fratta — condizione di esistenza del denominatore, niente radici complicate;
2. simmetrie — verifica se $f(x)$ è pari, dispari, o nessuna delle due;
3. intersezioni con gli assi — dove il grafico incontra $x=0$ e $y=0$;
4. segno — dove la funzione è positiva e dove è negativa, con la tabella dei segni;
5. limiti agli estremi del dominio, cioè agli infiniti e nei punti esclusi, per trovare gli asintoti (verticali, orizzontali; l’obliquo lo vedete solo se il prof ha tempo, ma è raro al linguistico con 2 ore).

Il formato tipico è “studio di funzione razionale completo come compito tipo”: vi danno una $f(x)$ e vi chiedono di fare tutti e cinque i passi, con il grafico probabile alla fine. Non c’è integrale, non c’è derivata seconda, non c’è studio di flessi — quello, se arriva, arriva più avanti e con un compito a parte.

Quello che non esce, e su cui non vale la pena spendere un’ora di studio in più: le dimostrazioni dei teoremi sui limiti (Weierstrass, permanenza del segno, confronto), la definizione formale con $\epsilon$ e $\delta$, funzioni con radici e valori assoluti intrecciati, integrali. Le Indicazioni Nazionali per il linguistico lo dicono in modo esplicito: non è richiesto un addestramento alle tecniche di calcolo dei limiti in profondità. L’obiettivo, quando si arriverà alle derivate a dicembre-gennaio, è capire che la derivata è una pendenza, una velocità, e usarla per ottimizzare qualcosa — non allenarsi su cento esercizi di derivazione come allo scientifico. Vale la stessa logica anche su potenziale e campo: al linguistico basta l’idea, senza il formalismo pesante.

Una nota che conviene avere chiara da subito: nel 2026 la matematica non è tra le materie del colloquio di maturità al linguistico. Il voto del quinto anno pesa sul credito scolastico, non sull’esame. Questo non significa “si può ignorare” — pesa comunque sulla pagella e sul voto finale — ma toglie l’ansia da “devo essere pronto per l’orale di matematica”: non c’è.

Gli errori che costano punti

Quasi tutti gli errori del compito nascono da fretta sui primi due passi, non dai limiti in sé.

• C.E. del denominatore dimenticata. Scrivere $f(x)=\frac{x+2}{x^2-4}$ e passare dritti al segno senza aver mai scritto $x\ne \pm 2$. Il prof la conta come errore grave anche se il resto è giusto, perché senza dominio tutto quello che segue è formalmente scorretto.
• Tabella dei segni sbagliata. Si scompongono bene numeratore e denominatore ma poi si assegnano i segni agli intervalli senza controllare le radici in ordine crescente, o si dimentica che un fattore al denominatore, se negativo, inverte il segno della frazione in quell’intervallo.
• Simmetria testata male. Si calcola $f(-x)$ ma non si semplifica fino in fondo prima di confrontare con $f(x)$ e $-f(x)$: una funzione pari sembra “nessuna delle due” solo perché ci si è fermati un passaggio prima.
• Confondere dominio con “condizione della radice” quando la radice non c’è. Capita quando si studia sul libro dello scientifico, pieno di funzioni irrazionali: si finisce per cercare condizioni che la propria funzione, essendo solo fratta, non ha.
• Asintoto verticale annunciato dove il fattore si semplifica. È l’errore più insidioso e lo vedete più sotto nel terzo esercizio: se numeratore e denominatore condividono un fattore, quel punto è un buco nel grafico (discontinuità eliminabile), non un asintoto. Dichiarare un asintoto lì è un errore concettuale, non di calcolo, e il prof lo pesa come tale.

Il metodo passo per passo

La sequenza è sempre la stessa, e conviene seguirla nell’ordine perché ogni passo usa il risultato del precedente:

1. Dominio. Poni il denominatore diverso da zero, risolvi. È la base di tutto: un errore qui si propaga in ogni passo successivo.
2. Simmetrie. Calcola $f(-x)$ e confrontalo con $f(x)$: se coincidono la funzione è pari (grafico simmetrico rispetto all’asse $y$), se $f(-x)=-f(x)$ è dispari (simmetrico rispetto all’origine). Serve a dimezzare il lavoro sul segno e sui limiti, perché basta studiare metà dominio e riflettere.
3. Intersezioni con gli assi. Poni $x=0$ per l’intersezione con l’asse $y$ (se $x=0$ è nel dominio), poni $f(x)=0$ per le intersezioni con l’asse $x$.
4. Segno. Studia dove numeratore e denominatore sono positivi o negativi separatamente, poi combina con la tabella dei segni.
5. Limiti agli estremi del dominio. Calcola il limite per $x\to \pm \infty$ e nei punti esclusi dal dominio, sia da destra che da sinistra.
6. Asintoti. Dai limiti del passo 5 leggi verticali e orizzontali: limite infinito in un punto escluso → asintoto verticale; limite finito all’infinito → asintoto orizzontale.

Il passo che il prof pesa di più, quasi sempre, è il quinto: non tanto il calcolo del limite in sé, quanto la capacità di collegarlo al passo giusto — capire quali punti vanno controllati (gli estremi del dominio trovati al passo 1, non punti a caso) e cosa dice il risultato sul grafico. Un compito che sbaglia un conto ma imposta i limiti nei punti giusti prende più punti di uno che calcola tutto bene nel posto sbagliato.

Tre esercizi svolti

1. $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-9}$

Dominio. $x^2-9\ne 0\Rightarrow x\ne \pm 3$.

Simmetria.

Funzione pari, grafico simmetrico rispetto all’asse $y$.

Intersezioni. Con l’asse $y$: $f(0)=\frac{-4}{-9}=\frac{4}{9}$. Con l’asse $x$: $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$.

Segno. Numeratore $x^2-4\ge 0$ per $x\le -2$ o $x\ge 2$. Denominatore $x^2-9>0$ per $x<-3$ o $x>3$. Combinando: $f(x)>0$ per $x<-3$, $f(x)<0$ per $-3<x<-2$, $f(x)>0$ per $-2<x<2$, $f(x)<0$ per $2<x<3$, $f(x)>0$ per $x>3$.

Limiti e asintoti. Agli estremi del dominio:

e per simmetria lo stesso comportamento, invertito, in $x=-3$: due asintoti verticali, $x=-3$ e $x=3$. All’infinito, grado numeratore uguale a grado denominatore, quindi il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi:

Asintoto orizzontale $y=1$.

Se vuoi allenarti su altri quesiti di questo stesso taglio, con correzione immediata, c’è la simulazione di quinta sui limiti: la risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata passo per passo si sblocca con la prima lezione.

2. $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$

Dominio. $x^2-1\ne 0\Rightarrow x\ne \pm 1$.

Simmetria.

Funzione dispari, grafico simmetrico rispetto all’origine.

Intersezioni. $f(0)=0$: l’unica intersezione, con entrambi gli assi, è l’origine $(0,0)$.

Segno. Numeratore: $x>0$ per $x>0$. Denominatore: $(x-1)(x+1)>0$ per $x<-1$ o $x>1$. Combinando: $f(x)<0$ per $x<-1$, $f(x)>0$ per $-1<x<0$, $f(x)<0$ per $0<x<1$, $f(x)>0$ per $x>1$.

Limiti e asintoti.

Due asintoti verticali, $x=-1$ e $x=1$. All’infinito, grado numeratore (1) minore del grado denominatore (2):

Asintoto orizzontale $y=0$, cioè l’asse $x$ stesso.

3. $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ — il tranello

Dominio. $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$. Fermarsi qui, prima di scomporre, è importante: il dominio si legge sull’espressione originale, non su quella semplificata.

Scomponendo il numeratore:

Il grafico è la retta $y=x+1$, con un buco nel punto $x=1$.

Intersezioni. Con l’asse $y$: $f(0)=1$. Con l’asse $x$: $x+1=0\Rightarrow x=-1$ (accettabile, perché $-1\ne 1$).

Segno. $f(x)>0$ per $x>-1$ (escluso $x=1$), $f(x)<0$ per $x<-1$.

Limite nel punto escluso — qui è il tranello.

Il limite esiste ed è finito. Non è un asintoto verticale: è una discontinuità di terza specie, eliminabile — un buco nel grafico nel punto $(1,2)$, dove la funzione non è definita ma il limite sì. Chi vede $x=1$ escluso dal dominio e scrive “asintoto verticale” senza controllare il limite perde il punto più insidioso del compito, perché il conto è facile ma la conclusione è quella sbagliata.

All’infinito non c’è nulla da cercare: il grafico è già una retta, a meno del buco, quindi non esiste un asintoto orizzontale e la retta obliqua a cui tende è la funzione stessa.

Se vuoi vedere lo stesso metodo applicato con più rigore, sul livello dello scientifico — condizioni di esistenza più complesse, funzioni irrazionali, il formalismo che qui abbiamo lasciato fuori — c’è la guida al dominio e alle simmetrie, il primo capitolo di una serie completa passo per passo sullo studio di funzione.

Come lavoriamo in lezione

Con 2 ore a settimana non c’è margine per arrivare al compito e scoprire lì che il dominio non è chiaro: lo verifico prima, con esercizi mirati sulle funzioni razionali fratte che escono davvero al vostro compito, non su tutto il repertorio dello scientifico. Si parte da dove siete — spesso è proprio dominio e simmetrie, in queste settimane — e si arriva ai limiti con lo stesso metodo che avete visto qui, ripetuto finché diventa automatico.

Il punto di partenza più comodo è la simulazione di quinta sui limiti: la fai in un quarto d’ora e ti dice subito dove sei, senza che nessuno ti chieda niente. Da lì, se vuoi provare come lavoro, c’è una lezione di prova da 20 €, oltre alla lezione singola da 40 € e al pacchetto da 10 ore a 36 €/h (pagamento offline: bonifico, Satispay, PayPal, carta, Apple Pay, Revolut). Il quadro completo di come seguo la materia è nella pagina di matematica. Per una chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti, o per fissare la prima lezione, scrivimi dai contatti.