Esponenziali e logaritmi in quarta al professionale

Fine settembre, e in quarta ai professionali il programma di matematica apre proprio in questi giorni il capitolo su esponenziali e logaritmi, fra fine settembre e ottobre. La prima verifica arriva fra cinque e dieci settimane, quindi fra fine ottobre e fine novembre: non è dietro l’angolo, ma nemmeno così lontana da potersela dimenticare adesso.

Al professionale questo blocco si affronta con un taglio applicativo: niente dimostrazioni delle proprietà, molto procedimento e molta verifica del risultato. È esattamente quello che ti serve per superare la verifica, quindi è quello che ti faccio vedere qui, con due esercizi svolti fino al numero finale.

Che cos’è un logaritmo, in una frase

Tutta la teoria dei logaritmi si regge su una sola equivalenza. Se hai chiara questa, risolvi metà degli esercizi del compito:

Con $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$. In parole: il logaritmo in base $a$ di $b$ è l’esponente a cui devi elevare $a$ per ottenere $b$. ${\log }_{2}8=3$ perché $2^3=8$, punto. Non c’è altro da memorizzare per capire cosa stai chiedendo quando scrivi un logaritmo: stai chiedendo “a quale esponente?”.

Da questa definizione viene anche la condizione che userai per tutta la verifica: l’argomento di un logaritmo deve essere positivo. ${\log }_{a}b$ ha senso solo se $b>0$, qualunque sia $a$. Tienila a mente, perché la applicherai nell’esercizio 2.

Vale anche la pena fissare due valori che tornano in quasi ogni esercizio, e che si ricavano dalla stessa definizione senza calcolatrice: ${\log }_{a}1=0$ per qualunque base $a$, perché $a^0=1$; e ${\log }_{a}a=1$, perché $a^1=a$. Se in un compito ti trovi un ${\log }_{a}1$ o un ${\log }_{a}a$ “isolato” in mezzo a un’espressione più complicata, quella parte si semplifica subito, prima di applicare qualunque altra proprietà.

Le tre proprietà (e l’errore che costa più punti)

Il libro te ne presenta tre, e in verifica bastano quelle:

A queste si aggiunge il cambio di base, utile quando la calcolatrice ha solo il tasto “log” (base 10) o “ln” (base $e$) e ti serve un’altra base:

L’errore che vedo più spesso — ed è il punto segnalato come critico per questo programma — è confondere il logaritmo di una somma con la somma di due logaritmi. Non esiste una proprietà per ${\log }_a(x+y)$. Non si spezza, non si semplifica, resta com’è. Un controesempio numerico chiude la questione meglio di qualunque regola a memoria:

$1\ne 1,204$. Le proprietà valgono per prodotto, quoziente e potenza dell’argomento — non per somma o differenza dentro il logaritmo. Se in un esercizio ti trovi a “distribuire” un logaritmo su un più o un meno, stai sbagliando prima ancora di fare i conti.

Equazioni esponenziali: quando basta guardare, quando serve il logaritmo

Quando riesci a scrivere i due membri con la stessa base, l’equazione si risolve senza logaritmi, confrontando solo gli esponenti:

Il problema è quando le basi non si possono uguagliare — perché il secondo membro non è una potenza pulita della base che hai a sinistra. In quel caso l’unico modo per “tirare giù” l’esponente è applicare il logaritmo a entrambi i membri.

Esercizio 1 — equazione esponenziale risolta con il logaritmo

Risolvi:

Il $40$ non è una potenza intera di $5$ ($5^2=25$, $5^3=125$: sta in mezzo), quindi confrontare le basi non funziona. Applico il logaritmo naturale a entrambi i membri:

Per la proprietà della potenza, l’esponente scende davanti al logaritmo:

Isolo $2x-1$:

Verifica veloce: $5^{2\cdot 1,646-1}=5^{2,292}\approx 39,9$, che arrotonda a $40$. Il risultato tiene.

Prima di passare all’esercizio 2, se vuoi allenarti su altre equazioni di questo tipo trovi la simulazione di matematica di quarta su esponenziali e logaritmi qui: verifica di matematica — esponenziali e logaritmi. È tarata sul liceo, quindi qualche domanda è più tecnica di quello che ti chiederanno al professionale: usala per i primi dieci quesiti, che sono sulla stessa base di questo articolo, e non preoccuparti se più avanti trovi qualcosa che in classe non hai ancora fatto.

Equazioni logaritmiche: la condizione di esistenza prima di tutto

Qui l’errore tipico non è di calcolo: è saltare il controllo sull’argomento. Ogni volta che risolvi un’equazione con dei logaritmi, prima di scrivere qualunque passaggio algebrico devi imporre che ogni argomento sia positivo. Solo dopo puoi applicare le proprietà e risolvere. E alla fine, devi controllare che le soluzioni trovate rispettino quella condizione — altrimenti vanno scartate, anche se algebricamente “escono giuste”.

Esercizio 2 — equazione logaritmica con verifica della condizione di esistenza

Risolvi (logaritmo in base 10):

Condizione di esistenza. Serve $x>0$ e $x-3>0$, quindi:

Risoluzione. Uso la proprietà del prodotto per unire i due logaritmi:

Un logaritmo in base 10 uguale a 1 significa che l’argomento vale $10^1$:

Scompongo: cerco due numeri che moltiplicati diano $-10$ e sommati diano $-3$: sono $-5$ e $2$.

Verifica con la C.E. La condizione era $x>3$. $x=5$ la rispetta, $x=-2$ no: va scartata. Se non controlli questo passaggio, consegni un’equazione con due soluzioni quando ne esiste una sola.

Controllo diretto: $\log 5+\log 2=\log (5\cdot 2)=\log 10=1$. Corretto.

Due applicazioni che il professore chiede spesso in verifica

Crescita di un costo nel tempo

Il costo di una materia prima, in un ristorante, passa da $25.000€$ annui e cresce dell’$8\%$ ogni anno per l’aumento dei prezzi. Dopo quanti anni supera i $40.000€$?

Applico il logaritmo in base 10 a entrambi i membri:

Fra poco più di sei anni il costo supera i $40.000€$, a parità di crescita annua.

Scala logaritmica: il pH

In cucina e in enogastronomia il pH misura l’acidità di un liquido con la formula $\text{pH}=-{\log }_{10}[H^{+}]$, dove $[H^{+}]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in moli per litro. Se un aceto diluito ha $[H^{+}]=3,2\times 10^{-4}\text{mol/L}$:

pH circa $3,5$: acido, come ci si aspetta da un aceto. È lo stesso principio dei decibel per il suono: una scala logaritmica serve quando i valori in gioco variano di ordini di grandezza diversi, ed è comoda perché li comprime in numeri piccoli e leggibili.

Nota una cosa comune ai due esercizi appena visti: in entrambi il logaritmo non è il problema, è lo strumento che tira giù un esponente scomodo o che trasforma un numero enorme (o minuscolo) in una cifra leggibile. Se in un problema di settore ti chiedono “dopo quanto tempo” o “quanto vale su scala logaritmica”, il logaritmo compare quasi sempre come risposta a una di queste due domande, non come fine a sé stesso.

Riepilogo dei due errori da evitare

• Non esiste ${\log }_a(x+y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$. Le proprietà valgono per prodotto, quoziente, potenza dell’argomento — mai per somma o differenza.
• Ogni equazione logaritmica ha una condizione di esistenza sull’argomento, da imporre prima di risolvere e da verificare dopo, su ogni soluzione trovata.

Se hai già affrontato in seconda le equazioni con i sistemi lineari, il meccanismo di “risolvo, poi controllo che la soluzione sia accettabile” ti sarà familiare: lo trovi applicato agli stessi principi nel post su equazioni, disequazioni e sistemi in seconda al professionale, e ancora più indietro nel post su monomi e polinomi in prima al professionale. Se in quarta stai anche ripassando la goniometria di base, il formulario di matematica di quarta copre quella parte del programma.

Per esercitarti ancora su esponenziali e logaritmi puoi tornare sulla stessa simulazione di prima: verifica di matematica — esponenziali e logaritmi — la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione. Ricorda che è tarata sul liceo, quindi i primi quesiti sono i più utili per il tuo compito.

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