Studio di funzione essenziale in quinta al professionale

Agli istituti professionali lo studio di funzione apre la quinta fra settembre e ottobre, e la prima verifica arriva di solito fra fine ottobre e fine novembre — cioè fra cinque e dieci settimane da adesso. Prima di entrare nei calcoli, una cosa va detta chiara: in un istituto professionale la matematica non è materia di seconda prova. Serve per la media dei voti che apre l’ammissione all’esame, e serve per capire che cosa dice un grafico — non per un compito da scientifico. Questo post insegna la versione essenziale, completa ma minima: niente integrali, niente teoremi del calcolo differenziale, e la derivata seconda al massimo come nota a margine, non come argomento da compito.

Perché la versione essenziale, e non quella del liceo scientifico

Se studi su un manuale pensato per il liceo scientifico, il capitolo sullo studio di funzione include concavità, flessi, derivata seconda, teoremi di esistenza, casi con radici e logaritmi complicati. Su quel programma ti spaventi per argomenti che il tuo compito non chiederà mai. Qui ci sono cinque passi, sempre gli stessi, che bastano a costruire un grafico corretto e a rispondere a quello che il professore chiede davvero: dov’è definita la funzione, dove è positiva, cosa fa agli estremi, dove cresce.

Se il tuo problema, più che il grafico completo, sono i limiti e gli asintoti presi con calma, questo post sulla quinta al linguistico tratta lo stesso blocco iniziale (dominio, segno, limiti) con un ritmo più lento, fermandosi prima del grafico completo — qui invece si arriva fino alla derivata prima e al disegno finito, con l’angolo dell’ammissione più che della seconda prova.

Passo 1 — il dominio

Al professionale il dominio si riduce quasi sempre a tre casi, da controllare uno per uno:

• denominatore: se la funzione ha una frazione, il denominatore deve essere diverso da zero;
• radice di indice pari: l’argomento sotto radice deve essere maggiore o uguale a zero;
• logaritmo: l’argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero.

Per risolvere queste condizioni servono le disequazioni di base: se il segno vi crea ancora dubbi, è il momento di tornare su equazioni, disequazioni e sistemi di seconda, perché da qui in avanti il dominio e il segno della funzione sono la stessa identica tecnica applicata due volte.

Passo 2 — intersezioni con gli assi e segno

L’intersezione con l’asse $y$ si trova calcolando $f(0)$, quando $0$ appartiene al dominio. Le intersezioni con l’asse $x$ si trovano risolvendo $f(x)=0$.

Il segno della funzione risponde alla domanda “per quali $x$ il grafico sta sopra l’asse e per quali sotto?”. Si risolve la disequazione $f(x)>0$ con lo stesso metodo delle disequazioni di seconda: se la funzione è una frazione, si studia il segno del numeratore, quello del denominatore, e si combinano con la regola dei segni. Questo passo non è un dettaglio da saltare: è quello che alla fine ti permette di controllare se il grafico che hai disegnato è credibile.

Passo 3 — limiti e asintoti

Ai punti esclusi dal dominio (dove il denominatore si annulla) e agli estremi del dominio (quando tende a $+\infty$ o a $-\infty$) si calcolano i limiti.

• Se il limite per $x$ che tende a un valore escluso dal dominio è infinito, lì c’è un asintoto verticale.
• Se il limite per $x\to \pm \infty$ è un numero finito $L$, la retta $y=L$ è un asintoto orizzontale.
• Se, per una funzione fratta, il grado del numeratore supera esattamente di uno il grado del denominatore, la funzione non ha asintoto orizzontale ma ha un asintoto obliquo: si trova dividendo numeratore per denominatore e prendendo la parte senza resto.

Non serve altro: niente asintoti obliqui su casi più complicati, niente distinzione fine fra i tipi di forme indeterminate.

Passo 4 — derivata prima: crescenza e decrescenza

Si calcola $f^{\prime }(x)$ e si studia il suo segno, con lo stesso metodo delle disequazioni visto per il segno della funzione al passo 2:

• dove $f^{\prime }(x)>0$, la funzione cresce;
• dove $f^{\prime }(x)<0$, la funzione decresce;
• nei punti dove $f^{\prime }(x)=0$ (e il segno cambia intorno) c’è un massimo o un minimo: se $f^{\prime }$ passa da positiva a negativa è un massimo, se passa da negativa a positiva è un minimo.

Non serve la derivata seconda per distinguere massimi da minimi: basta guardare come cambia il segno di $f^{\prime }$ attraversando il punto.

Passo 5 — il grafico

A questo punto si mette insieme tutto: si disegnano gli asintoti come linee guida, si segnano le intersezioni con gli assi, si rispetta il segno trovato al passo 2 (la curva sta sopra l’asse dove il segno è positivo, sotto dove è negativo), e si fa crescere o scendere la curva secondo il segno di $f^{\prime }$ trovato al passo 4.

Il controllo di coerenza è questo: se al passo 2 hai trovato che la funzione è positiva in un certo intervallo, e nel disegno quella parte di curva sta sotto l’asse $x$, uno dei due passaggi ha un errore. Il grafico giusto è quello in cui tutti i passi raccontano la stessa storia.

L’errore più comune

L’errore che vedo più spesso è confondere il segno della funzione (passo 2) con il segno della derivata (passo 4), trattandoli come se fossero la stessa informazione. Non lo sono: il segno di $f$ dice dove il grafico sta sopra o sotto l’asse $x$; il segno di $f^{\prime }$ dice dove il grafico sale o scende. Una funzione può essere negativa e crescente allo stesso tempo — sta sotto l’asse, ma si sta alzando verso lo zero. Chi mescola le due informazioni disegna grafici che sembrano plausibili ma sono sbagliati, e in verifica perde punti anche se ogni singolo calcolo era corretto.

Primo esercizio svolto

Studiamo

Dominio. Il denominatore si annulla per $x=1$, quindi il dominio è $x\ne 1$.

Intersezioni e segno. Con l’asse $y$: $f(0)=\frac{-4}{-1}=4$. Con l’asse $x$: $2x-4=0\Rightarrow x=2$.

Per il segno studio numeratore e denominatore separatamente: $2x-4>0$ per $x>2$; $x-1>0$ per $x>1$. Combinando con la regola dei segni,

Limiti e asintoti. Per $x\to 1^{-}$ il denominatore tende a $0$ da valori negativi e il numeratore vale circa $-2$: il rapporto tende a $+\infty$. Per $x\to 1^{+}$ il denominatore tende a $0$ da valori positivi: il rapporto tende a $-\infty$. Quindi $x=1$ è asintoto verticale.

Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado (primo grado entrambi), quindi l’asintoto è orizzontale, con valore uguale al rapporto dei coefficienti direttivi:

L’asintoto orizzontale è $y=2$.

Derivata prima. Con la regola del quoziente:

Il numeratore è costante e positivo, il denominatore è un quadrato quindi sempre positivo (tranne che non è definito in $x=1$): $f^{\prime }(x)>0$ per ogni $x$ del dominio. La funzione è sempre crescente, sia a sinistra che a destra dell’asintoto verticale, e non ha massimi né minimi.

Il grafico. A sinistra di $x=1$ la curva sale da un valore poco sopra $2$ (quando $x\to -\infty$) fino a $+\infty$ (vicino a $x=1^{-}$); a destra di $x=1$ sale da $-\infty$ (vicino a $x=1^{+}$) fino a un valore poco sotto $2$ (quando $x\to +\infty$). L’intersezione $(2,0)$ e il fatto che la funzione sia negativa tra $1$ e $2$ sono coerenti con questo andamento: subito dopo l’asintoto la curva parte da valori molto negativi, cresce, attraversa lo zero in $x=2$ e continua a salire diventando positiva.

Prima di passare al secondo esercizio, prova a rifare da solo il segno del passo 2 con la stessa tecnica delle disequazioni di seconda: se ti manca sicurezza lì, allenati con la simulazione di matematica di quinta sullo studio di funzione. È tarata sul liceo, quindi alcune domande vanno oltre il tuo programma — salta quelle sugli integrali e sulla derivata seconda, e concentrati su dominio, segno, asintoti e derivata prima, che sono esattamente i quattro passi appena visti. La risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Secondo esercizio svolto

Studiamo

Dominio. $x\ne 0$.

Intersezioni e segno. Il numeratore $x^2+1$ non si annulla mai (è sempre positivo), quindi la funzione non tocca mai l’asse $x$. Il segno dipende solo dal denominatore: $f(x)>0$ per $x>0$, $f(x)<0$ per $x<0$.

Limiti e asintoti. Per $x\to 0^{+}$ il numeratore tende a $1$ e il denominatore a $0^{+}$: $f\to +\infty$. Per $x\to 0^{-}$: $f\to -\infty$. Asintoto verticale $x=0$.

Il numeratore ha grado $2$, il denominatore grado $1$: il grado del numeratore supera di esattamente uno quello del denominatore, quindi c’è un asintoto obliquo, non orizzontale. Divido:

Quando $x\to \pm \infty$, il termine $\frac{1}{x}$ tende a $0$, quindi l’asintoto obliquo è $y=x$.

Derivata prima. Scrivendo $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$:

Il denominatore $x^2$ è sempre positivo, quindi il segno di $f^{\prime }$ segue il numeratore $x^2-1$: positivo per $x<-1$ o $x>1$, negativo per $-1<x<0$ o $0<x<1$.

Quindi la funzione cresce per $x<-1$ e per $x>1$, decresce per $-1<x<0$ e per $0<x<1$. In $x=-1$ la derivata passa da positiva a negativa: è un massimo, con

In $x=1$ la derivata passa da negativa a positiva: è un minimo, con

Il grafico. A sinistra di $x=0$: la curva viene da $-\infty$ seguendo l’asintoto $y=x$, cresce fino al massimo $(-1,-2)$, poi decresce verso $-\infty$ vicino all’asintoto verticale. A destra di $x=0$: la curva scende da $+\infty$ vicino all’asintoto verticale, tocca il minimo $(1,2)$, poi risale seguendo di nuovo $y=x$ per $x\to +\infty$. Il segno trovato prima — negativa a sinistra dello zero, positiva a destra — è coerente: il massimo $(-1,-2)$ è sotto l’asse, il minimo $(1,2)$ è sopra.

Per allenarti

Ripassa il segno delle disequazioni con equazioni, disequazioni e sistemi di seconda se i passi 2 e 4 ti hanno fatto fatica, poi torna sulla simulazione di matematica di quinta sullo studio di funzione saltando le domande fuori programma. Il resto dell’anno di matematica lo trovi nel formulario di quinta superiore.

Se siete in un istituto tecnico economico, la quinta di quell’indirizzo lavora su un capitolo completamente diverso — funzioni di due variabili e massimi vincolati — perché anche restando nella stessa “quinta superiore” il programma di matematica cambia molto da un indirizzo all’altro.

Tutta la matematica del quinquennio è raccolta in materie/matematica. Se un pezzo di questo capitolo non è ancora chiaro, la prima chiacchierata è gratuita → contatti.