Funzioni di due variabili e massimi vincolati in quinta

All’AFM e al SIA la quinta riparte quasi sempre con un ripasso veloce delle derivate, e dopo due o tre settimane si entra dritti nelle funzioni di due variabili — il capitolo che al liceo scientifico non si vede quasi mai, e per questo online si trova pochissimo materiale tarato su questo programma specifico. La verifica sui massimi vincolati cade in genere fra l’inizio e la fine di novembre, quindi fra sei e dieci settimane da adesso, e a dicembre arriva già la prima simulazione di seconda prova. Chi rimanda la comprensione di Hessiano e Lagrange alla settimana prima la trova durissima, perché sono due strumenti che vanno automatizzati con l’esercizio, non capiti al volo la notte prima.

Dalla funzione di una variabile alla superficie

Fino a quarta hai lavorato con $y=f(x)$: una variabile in ingresso, una in uscita, il grafico è una curva sul piano. Con due variabili in ingresso la scrittura diventa $z=f(x,y)$, e il grafico non è più una curva ma una superficie nello spazio: per ogni coppia $(x,y)$ del dominio, la funzione restituisce un’altezza $z$.

Non serve visualizzare la superficie per lavorare bene con questi problemi — anzi, per i problemi economici che vedrete più avanti conviene proprio non pensare al disegno, perché $x$ e $y$ rappresentano quantità (di prodotto, di ore, di budget) e non coordinate spaziali. Quello che serve davvero è saper derivare, e qui la novità è piccola ma va capita subito bene.

Le derivate parziali: si deriva una variabile, l’altra sta ferma

La derivata parziale rispetto a $x$, che si scrive $\frac{\partial f}{\partial x}$ oppure $f_x$, si calcola derivando normalmente rispetto a $x$ e trattando $y$ come se fosse un numero fisso, una costante. Allo stesso modo, $f_y$ si calcola derivando rispetto a $y$ trattando $x$ come costante.

Un esempio per fissare la meccanica. Sia

Per $f_x$, tratto $y$ come costante: $3x^{2}y$ diventa $6xy$ (la regola di derivazione di $x^2$ moltiplicata per la costante $3y$), $-2y^3$ è una costante quindi la sua derivata rispetto a $x$ è $0$, e $5x$ diventa $5$:

Per $f_y$, tratto $x$ come costante: $3x^{2}y$ diventa $3x^2$ (perché $y$ ha esponente 1), $-2y^3$ diventa $-6y^2$, e $5x$ è ora la costante, quindi la sua derivata rispetto a $y$ è $0$:

Tutte le regole che conosci già (potenza, prodotto, catena) valgono tali e quali, applicate a una variabile alla volta. Se le regole di derivazione di base non sono ancora automatiche, è meglio tornare a ripassarle prima di affrontare questo capitolo — le trovi spiegate per bene in questo post sulle derivate: qui non le rispiego, perché la difficoltà nuova non è la derivata, è gestire due variabili insieme.

Massimi e minimi liberi: punti stazionari e Hessiano

Un punto è stazionario quando entrambe le derivate parziali si annullano contemporaneamente:

Risolvendo questo sistema (di solito due equazioni in due incognite) trovi i punti candidati a essere massimo, minimo, o nessuno dei due. Per classificarli serve l’Hessiano, che riassume in un solo numero il comportamento delle derivate seconde nel punto:

dove $f_{xx}$ è la derivata di $f_x$ fatta di nuovo rispetto a $x$, $f_{yy}$ è la derivata di $f_y$ fatta di nuovo rispetto a $y$, e $f_{xy}$ è la derivata “incrociata” (deriva $f_x$ rispetto a $y$, oppure $f_y$ rispetto a $x$: il risultato è lo stesso). La regola dei segni:

• $H>0$ e $f_{xx}>0$ → il punto è un minimo;
• $H>0$ e $f_{xx}<0$ → il punto è un massimo;
• $H<0$ → il punto è un punto di sella (né massimo né minimo: la superficie sale da un lato e scende dall’altro, come una sella da cavallo);
• $H=0$ → il test non dice nulla, serve un’analisi diversa (raramente richiesta in quinta tecnico).

Massimi e minimi vincolati: due strade per lo stesso risultato

Nella maggior parte dei problemi non cercate il massimo assoluto della funzione, ma il massimo rispettando una condizione: un budget fisso, una quantità totale di ore, un vincolo di produzione. Questo è il caso dei massimi vincolati, e i professori dell’AFM ne chiedono la risoluzione con due metodi diversi.

Il metodo della sostituzione

Quando il vincolo è un’equazione lineare — la forma più comune, per esempio $x+y=k$ — puoi ricavare una variabile in funzione dell’altra e sostituirla dentro $f(x,y)$. Il risultato è una funzione di una sola variabile, che sai già studiare: derivate, punto stazionario, fine. È il metodo che il professore chiede più spesso, perché è quello con cui hai più esperienza, e conviene sempre provarlo per primo quando il vincolo si presta.

I moltiplicatori di Lagrange

Quando il vincolo non è comodo da isolare, o quando l’esercizio chiede esplicitamente il metodo, si costruisce la funzione lagrangiana: se il vincolo è $g(x,y)=c$, si scrive

e si risolve il sistema delle tre derivate parziali di $L$ poste uguali a zero:

La terza equazione, $L_{\lambda }=0$, restituisce sempre il vincolo di partenza — è il modo in cui la lagrangiana “obbliga” la soluzione a rispettarlo. Il valore di $\lambda$ trovato non è un errore di calcolo da scartare: si chiama moltiplicatore, e in economia ha un significato preciso (di quanto cambierebbe il massimo se il vincolo si allargasse di un’unità), ma per il compito è sufficiente saperlo calcolare e usarlo per verificare il sistema.

Il punto da fissare bene: sostituzione e Lagrange, applicati allo stesso problema, devono dare esattamente lo stesso risultato. Se ti trovi due risposte diverse, uno dei due calcoli ha un errore — non è normale una piccola discrepanza “per approssimazione”.

Perché in economia aziendale: le funzioni economiche

Tutto questo non è un esercizio di analisi fine a se stesso: è lo strumento con cui l’AFM tratta le funzioni economiche. Un’azienda che produce due beni diversi ha un profitto che dipende da entrambe le quantità prodotte; le risorse — manodopera, materie prime, budget — sono limitate, e questo limite è esattamente il vincolo dei massimi vincolati. Trovare la combinazione di quantità che massimizza il profitto rispettando il vincolo è, in sostanza, il primo mattone della ricerca operativa e dei problemi di scelta che arriveranno più avanti nell’anno: stessa logica, funzioni via via più articolate.

L’errore che vedo più spesso

Il primo errore è nella formula dell’Hessiano: molti scrivono $H=f_{xx}+f_{yy}-f_{xy}$ o si confondono sul quadrato di $f_{xy}$. La formula ha un prodotto, non una somma, e il termine incrociato va elevato al quadrato: $H=f_{xx}\cdot f_{yy}-(f_{xy}{)}^2$. Un segno sbagliato qui trasforma un massimo in un punto di sella nella correzione.

Il secondo, sul metodo della sostituzione: si deriva $f(x,y)$ rispetto a $x$ e $y$ prima di sostituire il vincolo, e poi si prova a “aggiustare” il risultato alla fine. Non funziona: bisogna prima ricavare una variabile dal vincolo, sostituirla dentro $f$, ottenere una funzione di una sola variabile, e solo a quel punto derivare. L’ordine delle operazioni non è intercambiabile.

Primo esercizio svolto: un massimo libero con l’Hessiano

Studiamo la funzione

Punti stazionari. Calcolo le derivate parziali prime:

Pongo entrambe uguali a zero:

L’unico punto stazionario è $(2,3)$.

Classificazione con l’Hessiano. Calcolo le derivate seconde:

$H=4>0$ e $f_{xx}=-2<0$: il punto $(2,3)$ è un massimo.

Valore massimo. Sostituisco $x=2$, $y=3$ nella funzione di partenza:

Il massimo della funzione è $8$, raggiunto in $(2,3)$.

Prima del secondo esercizio, un controllo utile: se le derivate delle funzioni di una variabile non ti vengono naturali, allenati con la simulazione di matematica di quinta sulle derivate. Non è tarata sulle funzioni di due variabili — quel quiz specifico non esiste ancora — ma le regole di derivazione che chiede sono identiche a quelle che hai appena usato: chi sbaglia una derivata parziale, quasi sempre, sbaglia perché sbaglia la derivata di base, non perché non ha capito il concetto di due variabili. La risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Secondo esercizio svolto: lo stesso problema di scelta con sostituzione e con Lagrange

Un’azienda produce due beni, in quantità $x$ e $y$. Il profitto (in migliaia di euro) è dato da

e la disponibilità totale di manodopera impone il vincolo

Vogliamo la combinazione $(x,y)$ che massimizza il profitto rispettando il vincolo.

Metodo 1 — sostituzione. Dal vincolo ricavo $y=10-x$ e sostituisco dentro $P$:

Svolgo i calcoli. $10(10-x)=100-10x$. Poi $(10-x{)}^2=100-20x+x^2$, quindi $-(10-x{)}^2=-100+20x-x^2$:

Derivo e pongo uguale a zero:

Quindi $y=10-4,5=5,5$, e il profitto massimo è

Metodo 2 — Lagrange. Con il vincolo $g(x,y)=x+y-10=0$, la lagrangiana è

Le tre derivate parziali:

Dalle prime due equazioni, isolo $\lambda$ in entrambe e le confronto: $\lambda =8-2x$ e $\lambda =10-2y$, quindi

Sostituisco nel vincolo $x+y=10$:

e quindi $y=5,5$ — esattamente la stessa soluzione trovata per sostituzione. Il profitto massimo, calcolato con la formula di partenza:

Stesso risultato dei due metodi: $40,5$ migliaia di euro, con $4,5$ unità del primo bene e $5,5$ del secondo. Questa è la verifica da fare sempre quando l’esercizio ti chiede entrambi i metodi: se i numeri non coincidono, torna indietro a controllare, non proseguire.

Per allenarti

Ripassa prima le regole di derivazione con la simulazione di matematica di quinta sulle derivate, poi torna su questi due esercizi e prova a rifarli senza guardare i conti. Il formulario di quinta superiore copre anche il resto del programma di analisi che ti serve da qui a maggio.

Per gli altri capitoli dell’anno in AFM trovi partita doppia spiegata — di terza, ma è la base su cui si costruisce l’economia aziendale del triennio — e se studi in un istituto professionale, la quinta di quell’indirizzo affronta uno studio di funzione essenziale tarato su un programma diverso dal tuo.

Per tutto il resto del programma di matematica di quinta c’è la pagina di matematica. Se vuoi una mano su questo capitolo o su un problema di scelta specifico, la prima chiacchierata è gratuita → contatti.