Quantità di moto e urti, 4ª classico

Fine settembre 2026. In quarta al liceo classico, con due ore di fisica a settimana, si sta chiudendo il capitolo su lavoro ed energia, e a novembre arriva il prossimo blocco: quantità di moto, urti, e a seguire la gravitazione. La verifica cade fra sette e dieci settimane da adesso, quindi tra metà novembre e metà dicembre.

Il capitolo che chiude a fine ottobre e quello che comincia a novembre condividono una domanda che si ripresenta in ogni problema misto: si conserva l’energia o la quantità di moto? Non è un dettaglio — è la decisione che, sbagliata, fa impostare l’intero esercizio nel modo sbagliato. Ne parlo nel pezzo precedente, fisica in quarta al classico: energia e moto circolare; qui riprendo esattamente da dove quel capitolo lascia il problema aperto.

Quale principio usare: il criterio che decide

La quantità di moto totale di un sistema si conserva ogni volta che le forze esterne al sistema sono trascurabili durante l’urto — e questo vale sempre negli urti, anche in quelli anelastici, anche in quelli perfettamente anelastici. È la legge più generale del capitolo, e non ha eccezioni legate al tipo di urto.

L’energia cinetica totale, invece, si conserva solo negli urti elastici. Non è un caso particolare da controllare volta per volta con un calcolo: è la definizione stessa di urto elastico. In un urto anelastico una parte dell’energia cinetica si trasforma in altre forme (calore, deformazione, suono) e non la ritrovi più come energia di movimento — ma la quantità di moto, quella, non sparisce mai.

Tipo di urto	Quantità di moto	Energia cinetica
Elastico	si conserva	si conserva
Anelastico (generico)	si conserva	non si conserva
Perfettamente anelastico (i corpi restano uniti)	si conserva	non si conserva, minima possibile

Il criterio pratico per un problema misto — quando nello stesso esercizio compaiono sia un tratto senza urti sia un urto — è questo: usa l’energia per descrivere il moto prima e dopo l’urto (una caduta, una discesa su un piano, una salita), e usa la quantità di moto esattamente nell’istante dell’urto, e in nessun altro momento. Il terzo esercizio più sotto mostra questo passaggio per intero.

Quantità di moto e impulso

La quantità di moto di un corpo è il prodotto fra la sua massa e la sua velocità:

p = m v

È una grandezza vettoriale: ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità. In un problema in una dimensione questo si traduce in una regola pratica ma facile da dimenticare: le velocità hanno un segno, e due corpi che si muovono in versi opposti hanno quantità di moto di segno opposto, anche se in modulo sono identiche.

L’impulso di una forza è il prodotto fra la forza e l’intervallo di tempo in cui agisce, e il teorema dell’impulso lo collega alla variazione di quantità di moto:

J = F Δ t = Δ p = m v_{f} - m v_{i}

Non confondere impulso e forza: la forza è ciò che agisce istante per istante, l’impulso è il suo effetto accumulato nel tempo in cui agisce. Un urto, anche brevissimo, può generare un impulso enorme se la forza durante il contatto è molto grande — ed è proprio quello che succede fisicamente in una collisione.

Conservazione della quantità di moto in un sistema isolato

Se su un sistema di due corpi non agiscono forze esterne apprezzabili (o si annullano, come il peso con la normale in un urto su un piano orizzontale), la quantità di moto totale prima dell’urto è uguale a quella dopo:

m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f}

Questa equazione, da sola, ha due incognite se non conosci nessuna delle due velocità finali: per risolverla serve una seconda equazione, che dipende dal tipo di urto.

Urti: elastici, anelastici, perfettamente anelastico

Un urto perfettamente anelastico è quello in cui i due corpi restano uniti dopo l’urto e si muovono con la stessa velocità finale $v_{f}$ . La seconda equazione, in questo caso, è semplicemente $v_{1 f} = v_{2 f} = v_{f}$ , e la conservazione della quantità di moto basta da sola a risolvere il problema.

Un urto elastico è quello in cui, oltre alla quantità di moto, si conserva anche l’energia cinetica totale:

\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2}

Qui le incognite sono due ( $v_{1 f}$ e $v_{2 f}$ ) e le equazioni sono due (quantità di moto ed energia cinetica): il sistema si può sempre risolvere, anche se richiede più calcoli — li vedi svolti passo passo nel secondo esercizio.

Un urto anelastico generico (non perfettamente anelastico, i corpi non restano uniti ma parte dell’energia si perde comunque) richiede un dato aggiuntivo del problema — per esempio una delle due velocità finali, o la frazione di energia persa — perché una sola equazione di conservazione della quantità di moto non basta a trovare due incognite.

Un cenno al centro di massa

Il centro di massa di un sistema di corpi si muove, durante un urto, come se tutta la massa del sistema fosse concentrata lì e nessuna forza esterna agisse — è un altro modo di vedere perché la quantità di moto totale non cambia: la velocità del centro di massa resta costante durante l’urto, esattamente perché $p_{t o t} = (m_{1} + m_{2}) v_{c m}$ è la grandezza che si conserva.

Gravitazione: legge di Newton e terza legge di Keplero

Chiude il periodo la gravitazione. La legge di gravitazione universale di Newton dice che due masse si attraggono con una forza proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza:

F = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}

con $G \approx 6, 674 \times 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$ . È una legge in cui gli errori più frequenti non sono concettuali ma di potenze di dieci: $G$ è un numero estremamente piccolo, le masse dei pianeti sono numeri estremamente grandi, e un errore di segno nell’esponente cambia il risultato di diversi ordini di grandezza senza che il calcolo “sembri” sbagliato a un primo sguardo.

La terza legge di Keplero lega il periodo orbitale $T$ al raggio dell’orbita $r$ :

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = costante (per corpi che orbitano lo stesso corpo centrale)

Il modo più rapido per usarla senza calcolare la costante è confrontare due orbite, come nel quarto esercizio più sotto.

Errori che costano punti

Applicare la conservazione dell’energia cinetica a un urto anelastico. L’energia cinetica si conserva solo negli urti elastici: usarla in un urto anelastico (compreso quello perfettamente anelastico) porta a un risultato sbagliato, perché quell’equazione, semplicemente, non è vera in quel caso.
Dimenticare i segni delle velocità. In un problema in una dimensione la quantità di moto resta un vettore: due corpi che si muovono uno verso l’altro hanno velocità di segno opposto, e vanno sommate algebricamente con quel segno, non con i moduli.
Confondere impulso e forza. L’impulso è $F Δ t$ , non $F$ : in un urto che dura una frazione di secondo, una forza enorme può dare comunque un impulso finito e ragionevole.
Sbagliare gli esponenti nella gravitazione. $G$ e le masse in gioco sono numeri estremi: conviene sempre scrivere tutto in notazione scientifica prima di moltiplicare, mai a mente.

Quattro esercizi svolti

1. Urto perfettamente anelastico fra due carrelli

Un carrello di massa $m_{1} = 3 kg$ viaggia a $v_{1 i} = 4 m/s$ e urta un secondo carrello di massa $m_{2} = 2 kg$ che si muove in verso opposto a $v_{2 i} = - 1 m/s$ . Dopo l’urto restano uniti. Trova la velocità finale comune e la percentuale di energia cinetica persa nell’urto.

Conservazione della quantità di moto, con $v_{1 f} = v_{2 f} = v_{f}$ :

m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = (m_{1} + m_{2}) v_{f}

3 \cdot 4 + 2 \cdot (- 1) = 12 - 2 = 10 kg m/s

v_{f} = \frac{10}{3 + 2} = \frac{10}{5} = 2 m/s

Il segno positivo dice che il sistema, dopo l’urto, si muove nel verso in cui viaggiava il carrello più pesante. Energia cinetica prima e dopo:

E_{c, i} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- 1)^{2} = 24 + 1 = 25 J

E_{c, f} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2^{2} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10 J

L’energia persa è $25 - 10 = 15 J$ , cioè il $15/25 = 60%$ dell’energia iniziale — persa in deformazione e calore nell’urto, non nella quantità di moto, che resta esattamente $10 kg m/s$ prima e dopo.

Se vuoi controllare da solo se hai capito il metodo, nella verifica di fisica 3ª — lavoro ed energia trovi anche quesiti su urti e conservazione della quantità di moto: la risposta corretta è gratuita, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. È catalogata sulla terza perché allo scientifico questo blocco (lavoro, energia e urti) si fa in un unico anno, un anno prima che al classico.

2. Urto elastico frontale fra due masse diverse

Un corpo di massa $m_{1} = 2 kg$ viaggia a $v_{1 i} = 6 m/s$ e urta elasticamente un corpo fermo di massa $m_{2} = 4 kg$ ( $v_{2 i} = 0$ ). Trova le velocità finali di entrambi.

Scrivo le due equazioni di conservazione. Quantità di moto:

m_{1} v_{1 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f} ⟹ 2 \cdot 6 = 2 v_{1 f} + 4 v_{2 f} ⟹ 6 = v_{1 f} + 2 v_{2 f} (1)

Energia cinetica:

\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2} ⟹ 36 = v_{1 f}^{2} + 2 v_{2 f}^{2} (2)

Dalla (1): $v_{1 f} = 6 - 2 v_{2 f}$ . Sostituisco nella (2):

36 = (6 - 2 v_{2 f})^{2} + 2 v_{2 f}^{2} = 36 - 24 v_{2 f} + 4 v_{2 f}^{2} + 2 v_{2 f}^{2} = 36 - 24 v_{2 f} + 6 v_{2 f}^{2}

0 = 6 v_{2 f}^{2} - 24 v_{2 f} = 6 v_{2 f} (v_{2 f} - 4) ⟹ v_{2 f} = 0 oppure v_{2 f} = 4 m/s

La soluzione $v_{2 f} = 0$ è quella “banale” (nessun urto avvenuto): scarto quella e tengo $v_{2 f} = 4 m/s$ . Da cui $v_{1 f} = 6 - 2 \cdot 4 = - 2 m/s$ .

Il corpo più leggero rimbalza indietro a $2 m/s$ (segno negativo, verso opposto a quello di partenza) e il corpo più pesante parte in avanti a $4 m/s$ . Verifica: quantità di moto finale $= 2 \cdot (- 2) + 4 \cdot 4 = - 4 + 16 = 12 kg m/s$ , uguale a quella iniziale $2 \cdot 6 = 12$ ; energia cinetica finale $= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 16 = 4 + 32 = 36 J$ , uguale a quella iniziale.

3. Prima l’energia, poi la quantità di moto

Un blocco di massa $m_{1} = 1 kg$ parte da fermo in cima a una rampa liscia (senza attrito) alta $h = 1, 25 m$ e scivola fino alla base. Lì urta un secondo blocco fermo di massa $m_{2} = 4 kg$ e i due restano uniti. Trova la velocità comune subito dopo l’urto.

Il problema ha due fasi distinte, e vanno trattate con due principi diversi.

Fase 1 — la discesa, nessun urto: uso l’energia. Il piano è liscio, quindi l’energia meccanica si conserva:

m_{1} g h = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} ⟹ v_{1} = 2 g h = 2 \cdot 9, 8 \cdot 1, 25 = 24, 5 \approx 4, 95 m/s

Fase 2 — l’urto: uso la quantità di moto. Durante l’urto la quantità di moto si conserva (l’urto dura un istante, il peso e la normale non hanno il tempo di cambiarla):

m_{1} v_{1} = (m_{1} + m_{2}) v_{f} ⟹ v_{f} = \frac{1 \cdot 4 , 95}{1 + 4} = \frac{4 , 95}{5} \approx 0, 99 m/s

Notare cosa non si può fare: usare la conservazione dell’energia anche per l’urto. Prima dell’urto l’energia cinetica del sistema è $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4, 9 5^{2} \approx 12, 3 J$ ; dopo è $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0, 9 9^{2} \approx 2, 45 J$ — quasi l’80% dell’energia è andata persa nell’urto (è perfettamente anelastico), esattamente come nel primo esercizio. La quantità di moto, invece, è la stessa prima e dopo l’urto: $1 \cdot 4, 95 \approx 4, 95 kg m/s$ contro $5 \cdot 0, 99 \approx 4, 95 kg m/s$ .

4. Terza legge di Keplero: confronto fra due satelliti

Un satellite $A$ orbita un pianeta con periodo $T_{A} = 90 min$ a distanza $r_{A}$ dal centro del pianeta. Un satellite $B$ orbita lo stesso pianeta a distanza $r_{B} = 4 r_{A}$ . Trova il periodo $T_{B}$ .

Per la terza legge di Keplero, $T^{2} / r^{3}$ è la stessa costante per entrambi i satelliti (stesso corpo centrale):

\frac{T _{A}^{2}}{r _{A}^{3}} = \frac{T _{B}^{2}}{r _{B}^{3}} ⟹ (\frac{T _{B}}{T _{A}})^{2} = (\frac{r _{B}}{r _{A}})^{3} = 4^{3} = 64

\frac{T _{B}}{T _{A}} = 64 = 8 ⟹ T_{B} = 8 \cdot 90 = 720 min = 12 h

Un satellite quattro volte più lontano impiega otto volte più tempo a completare un’orbita — non quattro: è il cubo del rapporto delle distanze a contare, non il rapporto stesso, ed è il punto in cui si perde più spesso un fattore nella verifica.

Come lavoriamo su questo capitolo

Il lavoro in lezione, su questo capitolo, parte sempre dalla stessa domanda prima di ogni conto: cosa succede fisicamente, un urto o un tratto di moto libero? Solo dopo aver risposto si sceglie il principio giusto — energia da una parte, quantità di moto dall’altra — e si scrive l’equazione. Il quadro completo di come lavoro la fisica online è nella pagina fisica; il capitolo immediatamente precedente, su moto circolare e lavoro-energia, è il pezzo prima di questo: fisica in quarta al classico: energia e moto circolare.

Per allenarti su altri quesiti di questo tipo, la verifica simulata di fisica 3ª — lavoro ed energia include anche urti e quantità di moto — stessa etichetta della simulazione, contenuto valido per il tuo programma di quarta al classico.

Se vuoi una mano prima della verifica di novembre-dicembre, scrivimi dai contatti.

Quantità di moto e urti in quarta al classico: quale principio usare