Valore assoluto e irrazionali in terza al tecnico

Fine settembre 2026, terza agli istituti tecnici: le prime settimane vanno al ripasso di equazioni e disequazioni, poi si aggiungono valore assoluto e irrazionali, prima di passare a parabola e circonferenza fra ottobre e novembre. Con 3 ore di matematica a settimana e un compito da 4-6 esercizi (3-4 compiti per periodo), il primo compito dell’anno cade fra quattro e sette settimane, quindi tra metà ottobre e inizio novembre — e il ripasso conta come argomento a tutti gli effetti, non come formalità prima del programma vero.

Valore assoluto e irrazionali non sono un capitolo a sé: sono gli strumenti che userai tra poche settimane per la parabola e per la circonferenza (dove compare la distanza, che è sempre una radice), e più avanti in goniometria, dove entrambi tornano nella stessa forma. Il tempo speso ora per fissare bene i casi si ripaga già nel prossimo capitolo.

Valore assoluto: cos’è, prima delle regole

Il valore assoluto di un numero è la sua distanza da zero sulla retta reale, sempre positiva o nulla. Per questo $|5|=5$ e $|-5|=5$: entrambi distano 5 da zero. La definizione formale, quella che serve per risolvere equazioni e disequazioni, si scrive per casi:

Cioè: se quello che sta dentro il modulo è già positivo o nullo, il modulo non fa nulla; se è negativo, il modulo lo rende positivo cambiandogli segno. Tutte le regole che seguono nascono da questa definizione, non sono regole a memoria indipendenti.

Equazioni con un valore assoluto

Caso $|A|=k$, con $k$ numero. Se $k<0$, l’equazione non ha soluzioni: un valore assoluto non può mai essere negativo. Se $k\ge 0$, si spezza in due equazioni:

Caso $|A|=|B|$, due valori assoluti. Due quantità hanno lo stesso valore assoluto se sono uguali oppure opposte:

Questo caso è più comodo del successivo: non serve nessuna condizione aggiuntiva, perché un valore assoluto è sempre automaticamente $\ge 0$ da entrambi i lati.

Caso $|A|=B$, con $B$ espressione contenente $x$. Qui serve attenzione: $|A|$ è sempre $\ge 0$, quindi perché l’uguaglianza sia possibile serve che anche $B$ lo sia. La condizione $B\ge 0$ va scritta prima di risolvere, non verificata solo alla fine sul risultato:

Chi salta la condizione su $B$ e si limita a risolvere le due equazioni rischia di accettare una soluzione che non ha senso: se $B$ risulta negativo per quel valore di $x$, l’uguaglianza $|A|=B$ non può reggere, un numero positivo non può essere uguale a uno negativo.

Disequazioni con un valore assoluto: le due regole rapide

Per una disequazione della forma $|A|<k$ o $|A|>k$, con $k>0$, valgono due regole dirette, che si ricavano pensando al valore assoluto come distanza da zero:

La prima si legge: “la distanza di $A$ da zero è minore di $k$”, quindi $A$ sta in un intervallo centrato in zero. La seconda si legge: “la distanza è maggiore di $k$”, quindi $A$ sta fuori da quell’intervallo, da una parte o dall’altra. Le stesse regole valgono con $\le$ e $\ge$, includendo gli estremi.

Un caso a due moduli: quando serve la tabella dei segni

Quando in un’espressione compaiono due valori assoluti con contenuti diversi, come $|x-2|+|x+1|$, non esiste una scorciatoia diretta: bisogna togliere entrambi i moduli insieme, e il modo per farlo senza sbagliare un caso è una tabella dei segni, esattamente come per una disequazione fratta.

Si trovano gli zeri di ciascun contenuto ($x-2=0\Rightarrow x=2$; $x+1=0\Rightarrow x=-1$), si dividono i numeri reali in tre zone con questi due punti, e in ciascuna zona si scrive esplicitamente come si comporta ogni modulo:

Una volta scritta questa tabella, l’equazione o la disequazione con due moduli diventa tre equazioni o disequazioni separate, una per zona, ciascuna senza più valori assoluti — e alla fine si controlla che ogni soluzione trovata cada davvero dentro la zona da cui è nata. È il quarto esercizio più sotto a mostrarlo per intero.

Equazioni irrazionali: $\sqrt{A}=B$

Un’equazione irrazionale ha l’incognita sotto una radice. Il caso più comune, radice quadrata uguale a un’espressione, si risolve rispettando due condizioni, non una:

1. Condizione di esistenza (C.E.): $A\ge 0$. Sotto una radice quadrata non può starci un numero negativo, quindi va imposta prima di qualunque altro passaggio.
2. Condizione sul secondo membro: $B\ge 0$. Una radice quadrata, quando esiste, è per definizione un numero positivo o nullo. Se $B$ fosse negativo, l’uguaglianza $\sqrt{A}=B$ non potrebbe mai reggere, indipendentemente da come va il calcolo.

Solo dopo aver scritto entrambe le condizioni si eleva al quadrato:

Il motivo per cui serve la condizione su $B$ e non basta elevare al quadrato e poi controllare: elevare al quadrato è un’operazione che non è reversibile con lo stesso segno — trasforma sia $\sqrt{A}=B$ sia l’equazione “gemella” $\sqrt{A}=-B$ nella stessa equazione $A=B^2$. Risolvendo $A=B^2$ trovi le soluzioni di entrambe, mescolate insieme, e solo la condizione $B\ge 0$ scritta prima ti dice quali tenere. Aspettare la fine e “verificare a occhio” funziona quasi sempre, ma è un controllo via, non una condizione: in un esercizio con più incognite o parametri diventa facile sbagliarla.

Disequazioni irrazionali: perché diventano sistemi

Con $\sqrt{A}<B$ o $\sqrt{A}>B$ non esiste una regola diretta come per il valore assoluto: bisogna ragionare sul segno di $B$, perché una radice è sempre $\ge 0$ e il confronto con un numero negativo o positivo cambia tutto.

$\sqrt{A}<B$. Perché la disuguaglianza possa reggere, il membro di destra deve essere positivo (una quantità $\ge 0$ non può essere minore di un numero negativo o nullo). Servono quindi, tutte insieme: $A\ge 0$ (C.E.), $B>0$, e — solo a queste condizioni — puoi elevare al quadrato mantenendo il verso: $A<B^2$. È un sistema di tre condizioni in and, non un’unica disequazione:

$\sqrt{A}>B$. Qui invece bisogna distinguere due casi, perché la disuguaglianza può reggere anche quando $B$ è negativo (una radice, che è $\ge 0$, è automaticamente maggiore di qualunque numero negativo). Il caso $B<0$ dà quindi tutta la C.E. come soluzione, senza bisogno di elevare al quadrato; il caso $B\ge 0$ richiede invece di elevare al quadrato per confrontare le due quantità, entrambe non negative:

Le formule vanno capite come sistemi di condizioni da controllare nell’ordine — non come schemi da applicare senza sapere perché — perché altrove nell’anno, con la circonferenza, la stessa struttura logica torna quando confronti una distanza (sempre positiva) con un raggio.

Cinque esercizi svolti

1. $|A|=k$, il caso base

Poiché $7>0$, l’equazione si spezza in due:

Verifica: $|2\cdot 5-3|=|7|=7$, corretto; $|2\cdot (-2)-3|=|-7|=7$, corretto. Entrambe le soluzioni sono valide, non c’è nessuna condizione da controllare in più: $k=7$ è già un numero, non un’espressione con $x$.

2. $|A|=|B|$, due valori assoluti

Nessuna condizione aggiuntiva: si spezza direttamente in due equazioni.

Verifica: per $x=-5$, $|-5-1|=6$ e $|2\cdot (-5)+4|=|-6|=6$, coincidono; per $x=-1$, $|-1-1|=2$ e $|2\cdot (-1)+4|=|2|=2$, coincidono. Entrambe valide.

3. $|A|=B$, con condizione da scrivere prima

Condizione: $3x-6\ge 0⟹x\ge 2$. Solo dentro questa condizione ha senso cercare soluzioni. Le due equazioni:

Ora il controllo che fa la differenza: $x=4$ rispetta $x\ge 2$, si tiene. $x=1$ non rispetta $x\ge 2$: va scartato, e non serve nemmeno sostituirlo per accorgersene — la condizione scritta all’inizio lo esclude direttamente. (Sostituendo comunque per controllo: $|1+2|=3$, mentre $3\cdot 1-6=-3$; non coincidono, coerente con lo scarto.) Resta solo $x=4$.

4. Due moduli, con tabella dei segni

Zeri dei contenuti: $x=2$ e $x=-1$. Tre zone: $x<-1$, $-1\le x<2$, $x\ge 2$.

Zona $x<-1$: entrambi i contenuti sono negativi, quindi $|x-2|=-(x-2)$ e $|x+1|=-(x+1)$:

$x=-2$ rispetta $x<-1$: si tiene.

Zona $-1\le x<2$: $|x-2|=-(x-2)$, ma $|x+1|=x+1$ (qui il contenuto è già $\ge 0$):

Uguaglianza falsa, indipendente da $x$: in questa zona non c’è nessuna soluzione.

Zona $x\ge 2$: entrambi i contenuti sono positivi, $|x-2|=x-2$ e $|x+1|=x+1$:

$x=3$ rispetta $x\ge 2$: si tiene.

Soluzioni finali: $x=-2$ e $x=3$. Verifica su $x=3$: $|3-2|+|3+1|=1+4=5$, corretto.

5. Equazione irrazionale, con verifica delle condizioni

C.E.: $2x+3\ge 0⟹x\ge -\frac{3}{2}$. Condizione sul secondo membro: $x\ge 0$ (il secondo membro deve essere $\ge 0$ perché una radice non è mai negativa). Tra le due, quella più stretta è $x\ge 0$: è quella che useremo per controllare le soluzioni.

Elevo al quadrato entrambi i membri:

Scompongo, cercando due numeri di prodotto $-3$ e somma $-2$: sono $-3$ e $1$.

Controllo con la condizione $x\ge 0$: $x=3$ la rispetta, si tiene; $x=-1$ non la rispetta, va scartato — è la soluzione estranea introdotta dall’elevamento al quadrato, esattamente il caso spiegato sopra: elevando al quadrato, $\sqrt{2x+3}=x$ e $\sqrt{2x+3}=-x$ diventano la stessa equazione, e $x=-1$ è la soluzione dell’equazione “gemella” che non ci interessava.

Verifica su $x=3$: $\sqrt{2\cdot 3+3}=\sqrt{9}=3$, e il secondo membro è $3$: coincidono. Resta solo $x=3$.

Errori tipici

• Elevare al quadrato senza condizioni. Scrivere subito $A=B^2$ senza aver imposto $A\ge 0$ e $B\ge 0$ produce equazioni che sembrano risolte correttamente ma restituiscono soluzioni che non risolvono l’equazione di partenza.
• Soluzioni estranee non scartate. Ogni soluzione di un’equazione irrazionale va ricontrollata contro le condizioni scritte all’inizio (o sostituita direttamente nell’equazione originale): il calcolo algebrico può essere perfetto e la soluzione comunque non valida.
• Dimenticare un caso nel valore assoluto o negli zeri di un modulo doppio. Sia $|A|=k$ sia il caso a due moduli richiedono di considerare tutte le zone o entrambe le equazioni: fermarsi alla prima soluzione trovata, ignorando l’altro caso, è l’errore più frequente su questo argomento.

Perché torna subito nelle prossime settimane

Con la parabola, il vertice e il segno del discriminante userai di nuovo il ragionamento per casi che hai appena praticato; con la circonferenza, il raggio è sempre una distanza — quindi sempre un valore sotto radice, mai negativo — e il confronto fra distanza e raggio è la stessa struttura logica delle disequazioni irrazionali viste sopra. Più avanti, in goniometria, seno e coseno tornano a comparire dentro valori assoluti nello stesso modo. Il tempo speso ora sui casi, non sulle formule a memoria, è quello che rende più veloci quei capitoli.

Per il capitolo che precede questo, il ripasso di equazioni e disequazioni di secondo grado, trovi equazioni di secondo grado in terza al professionale: stesso livello di programma, indirizzo diverso. Il capitolo di un anno prima nello stesso ciclo tecnico, retta e scomposizione, è raccontato in scomposizione e retta: il primo compito di seconda.

Su valore assoluto e irrazionali non abbiamo ancora una simulazione dedicata in catalogo: nel frattempo trovi l’indice completo delle verifiche per argomento su /simulazioni/verifiche-liceo/, man mano che il capitolo cresce nel programma della classe.

Il quadro completo di matematica per l’indirizzo tecnico è sulla pagina di matematica. Se vuoi una mano a preparare il compito di metà ottobre, parti dalla chiamata conoscitiva gratuita: mezz’ora per capire dove concentrare il ripasso.