Disequazioni fratte in terza al classico

Fine settembre 2026, terza al liceo classico: il ripasso di scomposizione si sta chiudendo e si entra nelle disequazioni fratte, prima di passare a equazioni di secondo grado e parabola. La prima verifica cade fra cinque e sette settimane, quindi tra fine ottobre e inizio novembre. Con 2 ore di matematica a settimana il tempo in classe per esercitarsi è pochissimo: chi arriva al compito con un metodo scritto, non improvvisato, recupera da solo la differenza.

Questo capitolo non è un episodio isolato. È la prima volta che fai davvero lo studio del segno, la tecnica che a gennaio tornerà identica — stesso schema, stessa logica — quando dovrai leggere il segno di una parabola per risolvere una disequazione di secondo grado. Con 2 ore a settimana la parabola richiede 5-6 settimane e la verifica su quel capitolo cade proprio a gennaio, subito prima della pagella: lo studio del segno con la parabola è l’argomento più fallito del triennio al classico, e la ragione più comune non è la parabola in sé, ma il fatto che lo studio del segno di base — quello che vedi adesso, con i fattori lineari — non era mai stato solido.

Perché non si “moltiplica per il denominatore”

Con un’equazione fratta puoi moltiplicare tutto per il denominatore (dopo aver scritto le condizioni di esistenza) perché stai confrontando due quantità uguali, e moltiplicare per lo stesso numero non cambia l’uguaglianza — a patto che quel numero non sia zero. Con una disequazione non puoi farlo, per un motivo preciso: se moltiplichi entrambi i membri per un’espressione che contiene $x$ , non sai se quell’espressione è positiva o negativa per il valore di $x$ che stai cercando, e il verso della disequazione dipende proprio da questo. Moltiplicare per un denominatore negativo senza saperlo capovolge la disequazione senza che tu te ne accorga.

La soluzione è non moltiplicare mai per il denominatore: si porta tutto a un solo membro, si riduce tutto a un’unica frazione, e si studia il segno di quella frazione senza mai eliminare il denominatore dal calcolo.

Il procedimento in quattro passi

Porta tutto a primo membro. Qualunque sia la disequazione di partenza, sottrai tutto ciò che sta al secondo membro, in modo da avere una sola frazione confrontata con zero: $\frac{N ( x )}{D ( x )} ≷ 0$ .
Riduci a denominatore comune, ma non elimini il denominatore. Se ci sono più frazioni, trova il minimo comune multiplo dei denominatori e scrivi tutto come un’unica frazione. Il denominatore resta al suo posto: non lo cancelli mai, a differenza di quanto faresti in un’equazione.
Scomponi numeratore e denominatore in fattori. È qui che serve il ripasso delle ultime settimane: raccoglimento, differenza di quadrati, quadrato di binomio, trinomio speciale. Ruffini resta un’ultima risorsa, per i casi in cui nessuna delle tecniche precedenti funziona — non è la priorità per questa verifica.
Studia il segno di ogni fattore, poi combina. Non si studia il segno di tutta l’espressione in un colpo solo: si studia fattore per fattore, si mette ogni segno in una tabella, e si legge il segno del prodotto (o del quoziente) riga per riga, come nella moltiplicazione dei segni che già conosci.

Condizioni di esistenza: sempre prima, mai dopo

Prima ancora di scomporre per studiare il segno, scrivi le condizioni di esistenza (C.E.): il denominatore, in tutta l’espressione ridotta a un solo membro, deve essere diverso da zero. Si trovano scomponendo il denominatore e imponendo che ogni fattore sia diverso da zero — esattamente come hai già fatto per le equazioni fratte, con una differenza importante: in una disequazione, lo zero del denominatore va sempre escluso dalla soluzione finale, qualunque sia il verso della disequazione. Non esiste un caso in cui un valore che annulla il denominatore possa comparire nell’insieme delle soluzioni.

La tabella dei segni: come si costruisce

Una volta scomposta l’espressione in fattori — mettiamo $\frac{f _{1} ( x ) \cdot f _{2} ( x )}{f _{3} ( x )}$ — si procede così:

Trova lo zero di ciascun fattore, risolvendo $f_{1} (x) = 0$ , $f_{2} (x) = 0$ , $f_{3} (x) = 0$ separatamente. Sono equazioni di primo grado, quindi immediate.
Disegna una riga per ciascun fattore, con gli zeri messi in ordine crescente sulla stessa retta dei numeri.
Su ogni riga segna il segno del fattore: negativo a sinistra dello zero, positivo a destra, se il fattore ha coefficiente di $x$ positivo (per esempio $x - 3$ è negativo per $x < 3$ e positivo per $x > 3$ ); il contrario se il coefficiente è negativo.
Aggiungi una riga finale per il segno del prodotto/quoziente complessivo: colonna per colonna, moltiplica i segni delle righe sopra con la solita regola (concordi → positivo, discordi → negativo).
Leggi il risultato sull’ultima riga, tenendo conto del verso della disequazione di partenza e delle C.E.

Come si legge il risultato: pallini ed esclusioni

Sulla retta dei numeri reali, il pallino è pieno quando il valore è compreso nella soluzione (disequazione con $\geq$ o $\leq$ , e il valore non è escluso dalle C.E.), vuoto quando è escluso (disequazione con $>$ o $<$ , oppure un valore che annulla il denominatore). Un punto importante, specifico delle disequazioni fratte: uno zero del denominatore ha sempre il pallino vuoto, anche se la disequazione usa $\geq$ o $\leq$ . Il $\geq$ include gli zeri del numeratore, mai quelli del denominatore.

La soluzione finale si scrive in intervalli, con parentesi tonde dove il valore è escluso e quadre dove è incluso: per esempio $(- 2, 3]$ significa “da $- 2$ escluso a $3$ incluso”.

Quattro esercizi svolti

1. Disequazione fratta semplice

\frac{2 x - 6}{x + 1} < 0

Numeratore e denominatore sono già ridotti al minimo, ma conviene raccogliere il 2 per leggere meglio lo zero:

\frac{2 ( x - 3 )}{x + 1} < 0

C.E.: $x \neq = - 1$ . Zeri: numeratore $x = 3$ , denominatore $x = - 1$ (escluso).

	$x < - 1$	$- 1 < x < 3$	$x > 3$
$x - 3$	$-$	$-$	$+$
$x + 1$	$-$	$+$	$+$
quoziente	$+$	$-$	$+$

Cerchiamo dove il quoziente è negativo (perché la disequazione è $< 0$ ): $- 1 < x < 3$ . I due estremi sono esclusi entrambi, $- 1$ perché è C.E. e $3$ perché la disuguaglianza è stretta:

- 1 < x < 3

2. Con un fattore al quadrato

\frac{( x + 2 ) ^{2} ( 3 - x )}{x - 1} \geq 0

C.E.: $x \neq = 1$ . Zeri: $x = - 2$ (dal fattore al quadrato), $x = 3$ (numeratore), $x = 1$ (denominatore, escluso).

Il fattore $(x + 2)^{2}$ è un quadrato: non cambia mai segno, è sempre positivo o nullo, qualunque sia $x$ . In tabella si segna con $+$ ovunque, con uno zero isolato in $x = - 2$ .

	$x < - 2$	$- 2 < x < 1$	$1 < x < 3$	$x > 3$
$(x + 2)^{2}$	$+$	$+$	$+$	$+$
$3 - x$	$+$	$+$	$+$	$-$
$x - 1$	$-$	$-$	$+$	$+$
quoziente	$-$	$-$	$+$	$-$

Cerchiamo dove il quoziente è $\geq 0$ : l’intervallo $1 < x < 3$ va bene per intero, ma vanno aggiunti anche i punti dove il quoziente vale esattamente zero, cioè gli zeri del numeratore che non sono anche zeri del denominatore. $x = - 2$ annulla il numeratore (tramite il quadrato) senza annullare il denominatore: è accettabile, va incluso da solo. $x = 3$ annulla il numeratore ed è l’estremo destro dell’intervallo positivo: va incluso. $x = 1$ resta escluso, è C.E.

x = - 2 oppure 1 < x \leq 3

Il punto isolato $x = - 2$ è la parte più facile da dimenticare in questo esercizio: senza il fattore al quadrato, quello zero avrebbe fatto cambiare segno alla riga e sarebbe finito dentro un intervallo continuo; con l’esponente pari, il segno prima e dopo resta lo stesso, e quello zero resta una soluzione isolata.

3. Tre fattori, disequazione non stretta

\frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{x ^{2} - 9} \leq 0

Scomponi il denominatore, differenza di quadrati: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ . C.E.: $x \neq = 3$ e $x \neq = - 3$ .

\frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \leq 0

Zeri in ordine: $- 3$ (escluso, C.E.), $- 1$ (numeratore), $2$ (numeratore), $3$ (escluso, C.E.).

	$x < - 3$	$- 3 < x < - 1$	$- 1 < x < 2$	$2 < x < 3$	$x > 3$
$x - 2$	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x + 1$	$-$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
$x + 3$	$-$	$+$	$+$	$+$	$+$
quoziente	$+$	$-$	$+$	$-$	$+$

Cerchiamo dove il quoziente è $\leq 0$ , quindi gli intervalli negativi più i punti dove il numeratore si annulla (senza annullare il denominatore): $- 3 < x < - 1$ e $2 < x < 3$ , con $x = - 1$ e $x = 2$ inclusi (zeri del numeratore) e $- 3$ , $3$ esclusi (C.E.):

- 3 < x \leq - 1 \lor 2 \leq x < 3

4. Con ≥ e un fattore che si ripete tra numeratore e denominatore

\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 5 x + 6} \geq 0

Scomponi entrambi: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ (cerco due numeri di prodotto $6$ e somma $- 5$ : sono $- 2$ e $- 3$ ).

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x - 3 )} \geq 0

Qui il fattore $(x - 2)$ compare identico sopra e sotto. C.E.: $x \neq = 2$ e $x \neq = 3$ . Il fattore $(x - 2)$ non va semplificato via prima della tabella dei segni: va tenuto e trattato come un fattore qualunque, altrimenti perdi di vista che $x = 2$ resta comunque escluso dal dominio originale.

	$x < - 2$	$- 2 < x < 2$	$2 < x < 3$	$x > 3$
$x - 2$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x + 2$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$+$
quoziente	$-$	$+$	$-$	$+$

Cerchiamo dove il quoziente è $\geq 0$ : $- 2 < x < 2$ e $x > 3$ , più il punto $x = - 2$ (zero del numeratore, non del denominatore, incluso). Il punto $x = 2$ va escluso, ed è già escluso naturalmente perché è l’estremo dell’intervallo aperto — ma il motivo per cui è aperto lì non è “il segno cambia”, è che è C.E.:

- 2 \leq x < 2 \lor x > 3

Se qualcuno semplificasse subito il fattore $(x - 2)$ ottenendo $\frac{x + 2}{x - 3} \geq 0$ e dimenticasse di riportare l’esclusione $x \neq = 2$ nella risposta finale, il risultato numerico coinciderebbe comunque con quello sopra (perché $x = 2$ cade già dentro un intervallo escluso), ma è un caso fortunato: cambiando anche di poco l’esercizio, quella dimenticanza produce un risultato sbagliato. La regola è tenere il fattore com’è finché la tabella non è completa.

Errori tipici

Semplificare la $x$ ai due membri. In $\frac{x ^{2} - 4}{x} \geq x$ non puoi “cancellare la $x$ ”: prima porti tutto a primo membro, poi riduci a un’unica frazione, poi studi il segno. Semplificare una $x$ che compare in più termini di una disequazione, come se fosse un fattore comune a tutta l’espressione, è lo stesso errore di cancellare un addendo in una frazione: si fa solo con fattori di un prodotto, mai con addendi.
Dimenticare il segno meno davanti a un fattore. $3 - x$ non ha lo stesso segno di $x - 3$ : sono opposti. Se raccogli un $- 1$ per riscrivere $3 - x = - (x - 3)$ , quel segno meno va portato in tabella, non lasciato implicito.
Includere lo zero del denominatore. Per quanto la disequazione sia $\geq$ o $\leq$ , uno zero del denominatore non entra mai nella soluzione: va sempre escluso, con pallino vuoto e parentesi tonda.

Come capire se sei pronto

Prova a rifare l’esercizio 4 coprendo la soluzione, partendo solo dal testo. Se in meno di due minuti hai scritto correttamente le C.E., scomposto entrambi i polinomi e disegnato la tabella con tutte e tre le righe (senza aver semplificato il fattore comune prima del tempo), il metodo è solido. Se ti blocchi nella scomposizione del denominatore, vale la pena tornare al ripasso di scomposizione e frazioni algebriche, che tratta per intero l’albero di decisione (raccoglimento, differenza di quadrati, trinomio speciale) su cui si basa tutto questo capitolo.

Su questo argomento specifico — disequazioni fratte di terza — non abbiamo ancora una simulazione dedicata in catalogo. Per allenarti nel frattempo sulla logica delle disequazioni e sulla lettura degli intervalli trovi la verifica di seconda sulle disequazioni di secondo grado: non è lo stesso argomento — lì il segno si legge dalla parabola, qui dai fattori lineari — ma è un buon allenamento successivo sulla stessa competenza di lettura degli intervalli, una volta che questo capitolo è solido. L’indice completo delle verifiche per argomento è su /simulazioni/verifiche-liceo/.

Perché questo capitolo torna a gennaio

Lo studio del segno che hai appena imparato con i fattori lineari è esattamente lo stesso procedimento che userai a gennaio con le disequazioni di secondo grado: solo che al posto di leggere il segno di ogni fattore lineare da una tabella, leggerai il segno di un trinomio intero dal grafico di una parabola. La logica — trovare gli zeri, dividere la retta in intervalli, leggere il segno intervallo per intervallo — è identica. Chi arriva a gennaio con questo capitolo solido deve solo imparare “come si legge il segno da una parabola”; chi arriva con lo studio del segno ancora incerto deve imparare due cose insieme, ed è lì che si accumula la difficoltà che rende quel capitolo il più fallito del triennio. Il prossimo passo del programma, dopo le equazioni di secondo grado, sarà proprio la parabola: quando ci arriverai, gli strumenti di lettura che usi qui — pallini pieni e vuoti, intervalli, tabella dei segni — non cambiano, cambia solo cosa stai leggendo. In quarta, gli stessi strumenti di lettura di un grafico torneranno per il dominio di funzioni composte, come raccontato in funzioni in quarta al classico.

Per il programma completo di matematica trovi la pagina di matematica. Se prima della verifica di fine ottobre vuoi una mano a mettere in ordine il metodo, parti dalla chiamata conoscitiva gratuita: mezz’ora per capire dove concentrare il ripasso.

Disequazioni fratte in terza classico: lo studio del segno