Seno e coseno, da vedere sul cerchio.
Seno e coseno sembrano due tasti della calcolatrice con una tabella da imparare a memoria. In realtà sono due lunghezze: le coordinate di un punto che gira su un cerchio di raggio 1. Qui il punto lo muovi tu, e vedi seno, coseno, il triangolo rettangolo e le due onde cambiare insieme — con i valori esatti quando ti fermi su un angolo notevole.
Su un cerchio di raggio 1, il coseno di un angolo è la coordinata x del punto e il seno è la coordinata y: per questo sin²θ + cos²θ = 1, qualunque sia θ.
Il principio
La figura interattiva
Usa le frecce sulla figura (o scorri col dito) per seguire il ragionamento un pezzo alla volta, poi trascina il punto P lungo il cerchio — oppure usa lo slider dell'angolo sotto la figura. Da tastiera: Tab raggiunge P, e lì le frecce cambiano l'angolo di un grado, PagSu / PagGiù saltano all'angolo notevole successivo, Home e Fine portano a 0° e a 360°. Quando il fuoco è altrove nella figura, ← e → cambiano passo.
Passa il mouse (o tocca) su una parte del disegno — il punto P, il seno, il coseno, il raggio — per sapere che cos’è.
Un cerchio di raggio 1 e un punto che gira
Il cerchio ha raggio 1 e il centro nell’origine. Il punto P parte da destra, sull’asse x, e si muove in senso antiorario. L’angolo θ misura quanto P ha girato: trascina P sul cerchio, oppure selezionalo e usa le frecce.
cos²θ + sin²θ = 0,59 + 0,41 = 1P è nel primo quadrante
Il ragionamento, passo per passo
Gli stessi 7 passi della figura, tutti insieme — nello stesso ordine, per leggerli di seguito o ripassarli senza toccare niente.
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Passo 1 · Il cerchio
Un cerchio di raggio 1 e un punto che gira
Il cerchio ha raggio 1 e il centro nell’origine. Il punto P parte da destra, sull’asse x, e si muove in senso antiorario. L’angolo θ misura quanto P ha girato: trascina P sul cerchio, oppure selezionalo e usa le frecce.
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Passo 2 · Le due ombre
Coseno e seno sono le due ombre di P sugli assi
Da P scendi in verticale fino all’asse x: la distanza dall’origine è il coseno di θ. Da P vai in orizzontale fino all’asse y: la distanza dall’asse x è il seno di θ. Non sono formule da ricordare, sono due lunghezze che leggi sul disegno, con il loro segno.
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Passo 3 · Il triangolo
Raggio, coseno e seno formano un triangolo rettangolo
Il coseno è orizzontale, il seno verticale: si incontrano ad angolo retto. Il raggio li chiude ed è l’ipotenusa, che vale sempre 1. Dentro il cerchio c’è quindi un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 e cateti cos θ e sin θ.
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Passo 4 · sin² + cos² = 1
Pitagora su quel triangolo: perché fa sempre 1
In un triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti. L’ipotenusa è 1, quindi 1 = cos²θ + sin²θ. Muovi P dove vuoi: i due cateti cambiano, la somma dei loro quadrati resta 1. È il teorema di Pitagora con l’ipotenusa uguale a 1.
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Passo 5 · I segni
I segni dicono in quale quadrante sei
Il coseno è positivo a destra dell’asse y e negativo a sinistra; il seno è positivo sopra l’asse x e negativo sotto. Nei quattro quadranti la coppia (coseno, seno) ha i segni (+, +), (−, +), (−, −), (+, −). Sugli assi uno dei due vale zero.
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Passo 6 · Le onde
L’altezza di P, srotolata, disegna un’onda
Mentre P gira, segna sul grafico a destra la sua altezza in funzione dell’angolo: esce la sinusoide. Il coseno disegna la stessa onda, ma parte da 1 invece che da 0. Dopo un giro completo, 360° cioè 2π, tutto ricomincia da capo.
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Passo 7 · Provalo
Angoli notevoli e due modi di misurare l’angolo
Trascina P vicino a 30°, 45°, 60°, 90°: si aggancia e compare il valore esatto. Con l’interruttore passi da gradi a radianti: 180° è π, 90° è π/2. Spegni l’aggancio per guardare tutti gli angoli in mezzo, uno per uno con le frecce.
Che cos'è ogni elemento del disegno
Nella figura queste spiegazioni compaiono passando il mouse sull'elemento. Qui sono tutte in chiaro.
- Il punto P
- Sta sempre sul cerchio di raggio 1. Le sue coordinate sono (cos θ, sin θ): leggere il coseno e il seno di un angolo vuol dire leggere dove si trova P.
- Il coseno
- La coordinata x di P, cioè la sua ombra sull’asse orizzontale. È positivo a destra dell’origine, negativo a sinistra, e non supera mai 1 in valore assoluto.
- Il seno
- La coordinata y di P, cioè la sua altezza sopra (o sotto) l’asse orizzontale. È positivo sopra l’asse x, negativo sotto, e non supera mai 1 in valore assoluto.
- Il raggio, ipotenusa del triangolo
- Vale sempre 1: è l’ipotenusa del triangolo rettangolo con cateti cos θ e sin θ. Per Pitagora 1² = cos²θ + sin²θ, ed è per questo che la somma dei quadrati non cambia mai.
- I quattro quadranti
- Contati dall’asse x in senso antiorario. Tra parentesi i segni di (coseno, seno): primo (+, +), secondo (−, +), terzo (−, −), quarto (+, −).
- Le due onde
- In arancio il seno, in blu il coseno, in funzione dell’angolo. La linea tratteggiata orizzontale porta l’altezza di P direttamente sulla punta dell’onda del seno.
Tre domande per capire se ti è entrato.
Prima prova a rispondere guardando la figura, poi apri la risposta.
1. P è nel terzo quadrante e il suo coseno vale −0,6. Quanto vale il seno?
Dal triangolo, sin²θ = 1 − cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, quindi il seno vale 0,8 in valore assoluto. Nel terzo quadrante P è sotto l’asse x, perciò il seno è negativo: sin θ = −0,8.
2. Dove si trova P a 5π/6, e che segni e che valori esatti hanno seno e coseno?
5π/6 è 150°: secondo quadrante, a 30° dall’asse x negativo. Il seno è positivo e vale 1/2; il coseno è negativo e vale −√3/2, cioè gli stessi numeri di 30° con il segno del quadrante.
3. Può esistere un angolo con sin θ = 1,2?
No. Il seno è un cateto di un triangolo rettangolo con ipotenusa 1, quindi non può superare 1 (e non può scendere sotto −1): P resta sul cerchio, e l’altezza massima del cerchio è 1. Se in un esercizio esce 1,2, c’è un errore a monte.
Le domande che arrivano sempre.
Perché il coseno è la coordinata x e il seno la y, e non il contrario?
È una convenzione, ma con un motivo: l’angolo si misura dall’asse x, e nel triangolo rettangolo che P forma con quell’asse il coseno è il cateto adiacente all’angolo, quello appoggiato all’asse x, mentre il seno è il cateto opposto. Con il raggio 1 i due cateti diventano esattamente le coordinate di P.
Che cosa vuol dire «un radiante» sul cerchio?
Un angolo di un radiante è quello che stacca sulla circonferenza un arco lungo quanto il raggio. Poiché la circonferenza intera misura 2π raggi, il giro completo vale 2π radianti: per questo 180° è π e 90° è π/2. I radianti sono solo un altro modo di misurare lo stesso angolo.
Cosa succede oltre i 360° o con un angolo negativo?
Il punto continua a girare e passa di nuovo negli stessi posti: dopo un giro completo seno e coseno riassumono gli stessi valori, ed è per questo che sono funzioni periodiche di periodo 2π. Un angolo negativo gira nel verso opposto, in senso orario. La figura si ferma a un giro solo per far vedere l’onda completa una volta.
Perché seno e coseno non superano mai 1?
Perché sono i cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura 1, e un cateto non può mai essere più lungo dell’ipotenusa. Lo vedi anche nel disegno: P non esce dal cerchio, quindi la sua altezza e la sua distanza dall’asse y restano tra −1 e 1.
Continua da qui
La goniometria non ti torna?
Quando il cerchio diventa un disegno che sai rifare da solo, le formule smettono di essere un elenco da ricordare e tornano a essere cose che si ricavano. Si recupera in poche ore, con gli esercizi giusti al momento giusto.