Il piano inclinato, da inclinare con le mani.

La figura interattiva

Usa «Avanti» per seguire il ragionamento un pezzo alla volta — le forze, la rotazione degli assi, la scomposizione, le due equazioni — poi trascina la cima della rampa o usa il cursore dei gradi. Funziona anche da tastiera: Tab per raggiungere la maniglia, frecce per cambiare l'angolo di un grado, PagSu / PagGiù per cinque.

Il metodo, passo per passo

Gli stessi 6 passi della figura, tutti insieme — nello stesso ordine in cui si scrivono sul compito, per leggerli di seguito, stamparli o ripassarli senza toccare niente.

1. Passo 1 · Le forze

   Primo: lo schema delle forze — quali forze ci sono davvero

   Prima di qualunque calcolo si disegnano le forze che agiscono sul corpo, tutte con la coda sul corpo. Sono due. Il peso P = m·g, verticale verso il basso: verticale sempre, non «inclinato come il piano» — la Terra non sa che sotto c’è una rampa. E la reazione normale N, con cui il piano risponde, perpendicolare alla superficie e diretta verso l’esterno. Nient’altro: in questo primo giro il piano è liscio, l’attrito lo aggiungiamo al passo 5 e lo diciamo, invece di farlo sparire in silenzio. Se non sai dire CHI esercita una forza, quella forza non va disegnata.

2. Passo 2 · Gli assi

   Secondo: si ruotano gli assi di θ — è qui che sta tutto

   Gli assi di solito sono orizzontale e verticale. Qui conviene prenderli ruotati di θ: x′ lungo il piano, diretto verso il basso lungo la discesa, e y′ perpendicolare al piano, uscente. Guarda la rotazione: sono gli stessi assi di sempre, girati esattamente dell’angolo del piano. Perché conviene? Perché in questo sistema il moto avviene lungo UN SOLO asse — lungo y′ il corpo non si muove mai, non affonda e non si stacca — e un problema in due dimensioni diventa due problemi in una. Non è una scorciatoia: è la scelta che rende il piano inclinato un esercizio di dieci righe invece che di trenta.

3. Passo 3 · Scomposizione

   Terzo: si scompone il peso sui nuovi assi

   N è già perpendicolare al piano: sta tutta su y′, non c’è niente da scomporre. Il peso invece è obliquo rispetto ai nuovi assi, quindi lo sostituiamo con due forze che insieme fanno lo stesso effetto. Costruzione: dal vertice del peso si tracciano le due perpendicolari agli assi, e si legge il rettangolo. Resta da capire dove finisce l’angolo, ed è il passaggio che quasi tutti saltano: l’arco disegnato sul corpo mostra che l’angolo fra il peso e la perpendicolare al piano vale proprio θ, perché sono angoli con i lati a due a due perpendicolari. Quindi θ è ATTACCATO a y′: la componente su y′ va con il coseno e quella su x′ con il seno. P∥ = m·g·sen θ, P⊥ = m·g·cos θ.

4. Passo 4 · Gli equilibri

   Quarto: si scrive un’equazione per ciascun asse

   Lungo y′ (perpendicolare al piano) il corpo non si muove: l’accelerazione è zero e la somma delle forze deve essere zero. N − m·g·cos θ = 0, cioè N = m·g·cos θ. Questo è un equilibrio vero, e vale sempre, sia che il corpo stia fermo sia che stia scivolando. Lungo x′ (lungo il piano) invece — attenzione — NON c’è equilibrio: sul piano liscio nessuna forza bilancia P∥, quindi la risultante vale m·g·sen θ e il corpo accelera. F = m·a dà m·g·sen θ = m·a, e la massa si semplifica: a = g·sen θ. Scrivere «anche lungo il piano la somma è zero» è l’errore più costoso del capitolo.

5. Passo 5 · L’attrito

   Quinto (facoltativo): con l’attrito x′ diventa interessante

   Fin qui il piano era liscio, dichiaratamente. Accendi l’attrito e sull’asse x′ compare una quarta forza, tangente alla superficie e rivolta in su lungo il piano. Finché il corpo è fermo l’attrito vale esattamente quanto serve per tenerlo fermo — m·g·sen θ − f = 0, un equilibrio vero — ma non può superare μ·N. Il corpo parte quando m·g·sen θ > μ·m·g·cos θ, cioè quando tg θ > μ: l’angolo limite è arctg μ e, di nuovo, non dipende dalla massa. Questa figura si ferma lì, al limite dell’equilibrio: il moto che segue — forza netta, accelerazione, un po’ di cinematica — è un altro capitolo, non ancora disegnato qui.

6. Passo 6 · Provalo

   Adesso muovi tu la rampa

   Trascina la cima del piano (o usa le frecce della tastiera) e guarda tutto muoversi insieme: gli assi ruotano con il piano, la freccia del peso resta identica — è l’unica —, le due componenti si scambiano l’importanza e la normale si accorcia. Accendi l’attrito, alza μ e cerca l’angolo esatto in cui il corpo si sblocca. Tutti i numeri e le due equazioni a destra sono ricalcolati a ogni grado.

Che cos'è ogni freccia del disegno

Nella figura queste spiegazioni compaiono passando il mouse sull'elemento. Qui sono tutte in chiaro.

Il piano inclinato e la sua base

La superficie su cui poggia il corpo, il terreno orizzontale da cui si misura l’angolo e il quadratino dell’angolo retto all’altro vertice: il triangolo è rettangolo, e θ sta fra l’ipotenusa e la base. Nel disegno la rampa non cambia mai lunghezza, cambia solo la pendenza — così l’unica cosa che varia è θ.

L’angolo θ e la maniglia

L’angolo fra il piano e l’orizzontale. È l’unico dato che decidi tu: trascina la cima della rampa, oppure raggiungila con Tab e usa le frecce. Tutte le altre grandezze si ricalcolano da qui.

Il corpo

Un blocco di massa m = 2 kg. La massa resta fissa di proposito: così la freccia del peso non cambia mai lunghezza e si vede che a variare è solo il modo in cui la scomponiamo. Tutte le frecce partono da qui, perché è qui che le forze agiscono.

Il peso P = m·g

La forza con cui la Terra tira il corpo: verticale verso il basso, intensità m·g. Non si inclina insieme al piano e non cambia intensità — è l’errore numero uno del capitolo. Ogni altra freccia nasce da questa o le risponde.

La reazione normale N

La spinta con cui il piano risponde: perpendicolare alla superficie, diretta verso l’esterno, quindi già tutta sull’asse y′. Vale N = m·g·cos θ perché lungo y′ il corpo non si muove. N è uguale al peso soltanto sul piano orizzontale: a 60° è già la metà.

Gli assi x′ e y′

Il sistema di riferimento scelto per questo problema: gli assi di sempre, ruotati di θ. x′ corre lungo il piano verso il basso, y′ è perpendicolare al piano e uscente. In grigio restano gli assi orizzontale/verticale di partenza, così l’angolo fra i due sistemi si vede: è esattamente θ.

La componente parallela P∥ = m·g·sen θ

La parte del peso diretta lungo x′: è quella che fa scendere il corpo, e non è bilanciata da niente sul piano liscio. Vale zero sul piano orizzontale e cresce con l’angolo.

La componente perpendicolare P⊥ = m·g·cos θ

La parte del peso diretta lungo y′, verso l’interno del piano: è quella che la reazione normale deve bilanciare. È massima sul piano orizzontale e diminuisce man mano che inclini — e con lei diminuisce l’attrito disponibile, che è proporzionale a N.

La risultante lungo il piano

Quello che resta dopo aver sommato tutto lungo x′: m·g·sen θ sul piano liscio, zero quando l’attrito riesce a tenerlo fermo. Diviso per la massa dà l’accelerazione — qui sempre zero appena c’è attrito, perché questa figura non supera il limite dell’equilibrio.

La forza di attrito

Tangente alla superficie e opposta al verso in cui il corpo tenderebbe a muoversi, quindi in su lungo il piano. A corpo fermo vale esattamente quanto la componente parallela, fino a un massimo di μ·N — μ qui è l’attrito statico. Oltre quel massimo l’equilibrio finisce, ed è esattamente dove questa figura si ferma: il corpo in moto, con l’attrito dinamico che lo frena, è un caso a parte, non ancora disegnato qui.

I valori e le due equazioni

La colonna a destra riporta ogni grandezza in newton e le due equazioni degli assi, ricalcolate a ogni grado che muovi: non sono didascalie fisse. Frecce e numeri hanno la stessa sorgente, quindi la lunghezza di una freccia si può confrontare con quella di un’altra.

Le due equazioni, e quale delle due è un equilibrio

Una volta scelti gli assi ruotati, il problema si spezza in due problemi in una dimensione: una equazione per ciascun asse. Sono queste, ed è importante sapere che solo una delle due è un equilibrio: scrivere «somma zero» anche lungo il piano è l'errore che costa più punti di ogni altro in questo capitolo.

1. y′ — perpendicolare al piano equilibrio

   N − m·g·cos θ = 0

   N = m·g·cos θ

   Equilibrio vero: perpendicolarmente al piano il corpo non si muove — non affonda e non si stacca — quindi l’accelerazione lungo y′ è zero e le due forze si annullano. Vale sempre, anche mentre il corpo scivola.

2. x′ — lungo il piano, senza attrito non è un equilibrio

   m·g·sen θ = m·a

   a = g·sen θ

   Qui NON c’è equilibrio, ed è il punto in cui si perdono più punti: sul piano liscio nessuna forza bilancia la componente parallela, quindi la risultante non è zero e il corpo accelera. La massa si semplifica, quindi l’accelerazione è la stessa per un corpo pesante e per uno leggero.

3. x′ — lungo il piano, con attrito (equilibrio statico) equilibrio

   m·g·sen θ − f = 0, con f ≤ μ·N

   f = m·g·sen θ, finché tg θ ≤ μ ⟹ a = 0

   Finché tg θ ≤ μ l’attrito statico pareggia esattamente la componente parallela e questo asse è anch’esso un equilibrio: a = 0. Questa figura resta dentro quel limite; oltre tg θ = μ l’attrito non basta più e il corpo comincia a muoversi — il caso in moto, con l’attrito dinamico e un’accelerazione diversa da zero, è un altro capitolo.

Perché l'angolo finisce fra il peso e la perpendicolare

È il punto che quasi tutti saltano, e senza il quale seno e coseno restano una cosa da mandare a memoria. Il peso è verticale; l'asse y′ è perpendicolare al piano, e il piano forma un angolo θ con l'orizzontale. Due rette perpendicolari a due rette che formano fra loro un angolo θ formano fra loro lo stesso angolo θ. Quindi l'angolo fra il peso e y′ vale θ: nella figura è l'arco piccolo disegnato sul blocco, e non è approssimato — è calcolato dallo stesso θ di tutto il resto.

Una volta stabilito che θ è attaccato a y′, vale la regola di sempre: la componente attaccata all'angolo va con il coseno, quella opposta con il seno. Da lì P⊥ = m·g·cos θ e P∥ = m·g·sen θ, e la costruzione tratteggiata nella figura chiude il rettangolo che lo dimostra.

• P = m·g — il peso, verticale, indipendente da θ
• P∥ = m·g·sen θ — lungo x′, giù per la discesa
• P⊥ = m·g·cos θ — lungo y′, contro il piano
• N = m·g·cos θ — la reazione normale, dall'equilibrio su y′
• a = g·sen θ — piano liscio: la massa si semplifica
• a = g·(sen θ − μ·cos θ) — con attrito, a corpo in moto
• θdistacco = arctg μ — l'angolo oltre il quale il corpo parte

Il controllo che salva il compito è sempre lo stesso: prova θ = 0°. Il piano è orizzontale, niente scivola, quindi la componente lungo il piano deve valere zero — e sen 0° = 0, mentre cos 0° = 1. Se nella tua formula la componente lungo il piano ha un coseno, hai scambiato i due fattori, e lo scopri in due secondi invece che a compito consegnato.

Le domande che arrivano sempre.

Continua da qui

• Dinamica e piano inclinato in seconda al tecnico — che cosa chiede davvero la verifica, con la relazione di laboratorio.
• Scomporre le forze senza aver fatto trigonometria — se seno e coseno in matematica non sono ancora arrivati.
• Simulazione: i principi della dinamica — piano inclinato, funi e carrucole, con correzione immediata.
• Tutte le visualizzazioni — le altre figure della sezione.