Ellisse: equazione, fuochi, eccentricità ed esercizi svolti

L’equazione dell’ellisse, i fuochi e l’eccentricità si fanno in terza dopo la parabola e la circonferenza, quindi di solito dopo Natale: la verifica cade in genere tra fine gennaio e marzo, fra qualche settimana dopo le vacanze. Se oggi stai ancora sulla parabola, non è un errore leggere questo articolo adesso: l’ellisse usa lo stesso metodo delle tangenti che stai già imparando, e arrivarci con quel metodo in mano vuol dire affrontare la verifica sull’ellisse con metà del lavoro fatto.

Il compito sull’ellisse ha una struttura quasi sempre uguale: dall’equazione si leggono semiassi, fuochi ed eccentricità, si determina un’ellisse da due condizioni, si studia una retta che la taglia o la tocca. Qui trovi le formule che servono davvero, il punto in cui si sbaglia di più (i fuochi), i tre tipi di tangente e tre esercizi svolti per intero.

Che cos’è un’ellisse

L’ellisse è il luogo dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi $F_1$ e $F_2$, è costante:

Se i fuochi stanno sull’asse $x$, simmetrici rispetto all’origine, $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$, con un po’ di algebra (due elevamenti al quadrato) si arriva all’equazione canonica. Il passaggio non serve a memoria: serve sapere che il $b$ dell’equazione non è inventato, nasce da $b^2=a^2-c^2$.

L’equazione canonica e come leggerla

Le informazioni che si leggono da qui sono quattro:

• il centro è l’origine, e gli assi di simmetria sono gli assi cartesiani;
• l’ellisse taglia l’asse $x$ in $(\pm a,0)$ e l’asse $y$ in $(0,\pm b)$: sono i quattro vertici;
• $a$ e $b$ sono i semiassi, e il più grande dei due è il semiasse maggiore;
• i fuochi stanno sull’asse del semiasse maggiore, a distanza $c$ dal centro.

La relazione tra le tre lunghezze è

e l’eccentricità, che misura quanto l’ellisse è schiacciata, è

Con $e=0$ i fuochi coincidono con il centro e l’ellisse è una circonferenza; più $e$ si avvicina a $1$, più la curva è allungata.

Fuochi sull’asse $x$ o sull’asse $y$

Questo è il punto che decide il voto. Se nell’equazione $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ vale $a>b$, il denominatore più grande sta sotto la $x$: l’ellisse è allungata in orizzontale, i fuochi sono $(\pm c,0)$ e $c^2=a^2-b^2$.

Se invece $a<b$, il denominatore più grande sta sotto la $y$: l’ellisse è allungata in verticale, i fuochi sono $(0,\pm c)$ e $c^2=b^2-a^2$.

Non serve imparare due casi: guarda quale denominatore è più grande. Il fuoco sta sull’asse di quella variabile, e $c^2$ è sempre “denominatore grande meno denominatore piccolo”. Un $c^2$ negativo è il segnale che hai sottratto al contrario.

Ellisse con il centro fuori dall’origine

Se il centro è in $C(x_0,y_0)$, l’equazione diventa

e tutto si sposta di $(x_0,y_0)$: vertici, fuochi, assi. Spesso l’equazione arriva in forma generale, e va ricondotta a questa completando i quadrati. Per esempio:

diventa $4(x-1{)}^2+9(y+2{)}^2=36$, cioè

Centro $(1,-2)$, $a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{5}$, fuochi in $(1\pm \sqrt{5},-2)$. Il controllo che l’equazione sia davvero un’ellisse è semplice: i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ devono avere lo stesso segno ed essere diversi tra loro (se sono uguali è una circonferenza; se hanno segno opposto, un’iperbole).

Retta ed ellisse: il discriminante, ancora

Per sapere quanti punti in comune hanno una retta e l’ellisse si mette a sistema, si sostituisce e si guarda il discriminante dell’equazione di secondo grado che ne esce. Gli stessi tre casi della parabola: $\Delta >0$ secante, $\Delta =0$ tangente, $\Delta <0$ esterna. Questo $\Delta$ è quello del sistema, non un numero legato all’ellisse; il metodo, e il motivo per cui conviene chiamarlo ${\Delta }_{\text{sist}}$ sul foglio, sono spiegati meglio in la parabola in terza, e qui non lo ripeto.

Un esempio pulito. Retta $y=x-3$ ed ellisse $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$. Moltiplico per $20$ e sostituisco:

$\frac{\Delta }{4}=144-80=64>0$: la retta è secante. Le ascisse sono $x=\frac{12\pm 8}{5}$, cioè $x=4$ e $x=\frac{4}{5}$, e i punti $(4,1)$ e $\left(\frac{4}{5},-\frac{11}{5}\right)$.

Le tre tangenti che escono in verifica

1. Tangente in un punto $P(x_0,y_0)$ dell’ellisse: sdoppiamento. Nell’equazione si sostituisce $x^2$ con $x{x}_0$ e $y^2$ con $y{y}_0$:

Sull’ellisse $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$, nel punto $A(4,1)$: $\frac{4x}{20}+\frac{y}{5}=1$, cioè $x+y=5$. Controllo con il discriminante: $y=5-x$ nell’equazione dà $5x^2-40x+80=0$, che è $5(x-4{)}^2=0$, quindi $\Delta =0$ e un solo punto, $x=4$. Torna. Lo sdoppiamento vale solo se il punto sta sull’ellisse: per un punto esterno non funziona.

2. Tangenti da un punto esterno. Fascio di rette per il punto, $y-y_P=m(x-x_P)$, sistema con l’ellisse, ${\Delta }_{\text{sist}}=0$: esce un’equazione di secondo grado in $m$ e quindi due tangenti. La condizione di tangenza e il discorso sulla retta verticale, che il fascio così scritto non contiene, sono gli stessi della parabola.

3. Tangenti di coefficiente angolare $m$ dato (parallele o perpendicolari a una retta). Qui l’incognita è $q$ in $y=mx+q$, e la condizione ${\Delta }_{\text{sist}}=0$ dà un’equazione in $q$ con due soluzioni: ci sono due tangenti, simmetriche rispetto al centro. È l’esercizio 3 qui sotto.

Per l’ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ esiste una scorciatoia: sostituendo $y=mx+q$ e imponendo $\Delta =0$ si arriva a

La uso per controllare il risultato, non per sostituire il metodo: se il compito chiede di “impostare la condizione di tangenza”, il professore vuole vedere il discriminante.

Tre esercizi svolti

1. Da un’equazione a semiassi, fuochi, eccentricità

Data $4x^2+9y^2=36$, determina semiassi, vertici, fuochi ed eccentricità. Poi fai lo stesso con $25x^2+9y^2=225$.

Per riportarla in forma canonica divido per il termine noto, $36$:

Il denominatore più grande, $9$, sta sotto la $x$: $a=3$, $b=2$, fuochi sull’asse $x$. Vertici $(\pm 3,0)$ e $(0,\pm 2)$. Poi:

Seconda equazione: divido per $225$,

Stavolta il denominatore più grande, $25$, è sotto la $y$: il semiasse maggiore è $5$ (verticale), quello minore è $3$. I fuochi stanno sull’asse $y$:

Vertici $(\pm 3,0)$ e $(0,\pm 5)$. Chi in questo secondo caso scrive $F(\pm 4,0)$ ha letto bene $c$ ma ha messo i fuochi sull’asse sbagliato: è l’errore classico, e il disegno dei vertici lo evita.

2. Determinare un’ellisse

(a) Trova l’ellisse con centro nell’origine e assi sugli assi cartesiani passante per $A(4,1)$ e $B(2,2)$. (b) Trova l’ellisse con fuochi sull’asse $x$, semiasse maggiore $5$ ed eccentricità $\frac{3}{5}$.

(a) L’equazione ha due incognite, $a^2$ e $b^2$: servono due condizioni, e sono i due punti. Conviene porre $p=\frac{1}{a^2}$ e $q=\frac{1}{b^2}$, così il sistema è lineare:

Dalla prima $q=1-16p$; nella seconda: $4p+4-64p=1$, cioè $-60p=-3$, quindi $p=\frac{1}{20}$ e $q=1-\frac{16}{20}=\frac{1}{5}$. Dunque $a^2=20$, $b^2=5$:

Verifica su $B$: $\frac{4}{20}+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$. Aggiungo, perché lo chiedono spesso: $c^2=20-5=15$, fuochi $(\pm \sqrt{15},0)$, $e=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

(b) Qui il semiasse maggiore è $a=5$ (fuochi sull’asse $x$, quindi è quello sotto la $x$). Dall’eccentricità: $c=e\cdot a=\frac{3}{5}\cdot 5=3$. Allora

e l’ellisse è

Controllo: fuochi $(\pm 3,0)$, e $\frac{3}{5}$ è proprio $e$. Il passaggio da non saltare è $b^2=a^2-c^2$, che è la stessa relazione dei fuochi letta al contrario.

Se vuoi misurarti su compiti completi di questo tipo, c’è la verifica simulata su ellisse e iperbole: la risposta corretta di ogni quesito è gratis.

3. Tangenti di coefficiente angolare dato

Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’ellisse $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ parallele alla retta $y=x+2$, e trova i punti di tangenza.

Parallele significa stesso coefficiente angolare, $m=1$. Cerco le rette $y=x+q$. Scrivo l’ellisse senza denominatori, $9x^2+16y^2=144$, e sostituisco:

Impongo la tangenza:

Quindi $q^2=25$, cioè $q=\pm 5$: le tangenti sono

Con la scorciatoia: $q^2=a^2{m}^2+b^2=16+9=25$. Coincide.

I punti di tangenza sono la soluzione doppia dell’equazione, $x=-\frac{32q}{2\cdot 25}=-\frac{16q}{25}$. Per $q=5$: $x=-\frac{16}{5}$ e $y=x+5=\frac{9}{5}$. Per $q=-5$: $x=\frac{16}{5}$ e $y=-\frac{9}{5}$. Verifica sull’ellisse del primo punto: $\frac{256/25}{16}+\frac{81/25}{9}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$. I due punti sono simmetrici rispetto all’origine, come devono essere.

Gli errori che costano più punti

1. Scambiare $a$ e $b$ per i fuochi. I fuochi stanno sull’asse del denominatore più grande, non sempre sull’asse $x$. Prima di scrivere $F(\pm c,0)$ guarda quale numero è più grande.

2. Usare $c^2=a^2+b^2$. Quella è l’iperbole. Nell’ellisse $c$ è sempre minore del semiasse maggiore, quindi $c^2$ è una differenza. Se ti viene $c>a$, qualcosa non va.

3. Dimenticare il $\pm$. Una tangente di coefficiente angolare dato è due, non una: $q^2=25$ dà $q=\pm 5$. Allo stesso modo, i fuochi e i vertici sono sempre una coppia simmetrica.

4. Dimenticare di dividere per il termine noto. $4x^2+9y^2=36$ non è ancora in forma canonica: a destra deve esserci $1$. Leggere $a^2=4$ e $b^2=9$ dall’equazione non divisa porta ai semiassi sbagliati e a un’ellisse che non è la tua.

5. Usare lo sdoppiamento con un punto che non sta sull’ellisse. Funziona solo per i punti della curva. Per un punto esterno servono il fascio di rette e il discriminante.

Come prepararsi nelle settimane prima

1. Dieci equazioni da leggere, cinque con fuochi sull’asse $x$ e cinque sull’asse $y$, scrivendo solo semiassi, fuochi ed eccentricità. In blocco, non alternate con altro.
2. Cinque “determina l’ellisse” impostando solo il sistema: l’errore, quasi sempre, è nell’impostazione, non nel calcolo.
3. Sei tangenti, due per tipo: da un punto esterno, di coefficiente angolare dato, in un punto con lo sdoppiamento. Ricontrolla ogni risultato con il discriminante.
4. Una prova a tempo negli ultimi giorni, classificando ogni errore: impostazione sbagliata, calcolo sbagliato, condizione dimenticata.

Se la circonferenza ti è ancora fresca, la circonferenza nel piano cartesiano ti serve come ripasso: l’ellisse con $a=b$ è una circonferenza. E se la condizione $\Delta =0$ per le rette ti sembra ancora fumosa, il punto di partenza sono i fasci di rette.

Un cenno sull’iperbole

L’iperbole segue lo stesso metodo (sistema con la retta e discriminante), ma ha un segno meno nell’equazione, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, e per lei vale proprio $c^2=a^2+b^2$, con eccentricità maggiore di $1$. Nella verifica compaiono spesso insieme, ed è la ragione per cui conviene tenere separate le due relazioni fin da ora.

Come lavoro su questo nelle lezioni

Sull’ellisse faccio sempre due cose. La prima: prima di qualunque calcolo, disegnare i quattro vertici, perché il disegno dice subito su quale asse stanno i fuochi. La seconda: far impostare la tangente senza svolgere il sistema, perché in verifica l’impostazione vale più dei conti. Le lezioni sono online e uno-a-uno; il quadro di come imposto il percorso è nella pagina delle ripetizioni di matematica.

Per capire a che punto sei, prova la verifica simulata su ellisse e iperbole: è un modo concreto per vedere dove ti blocchi. La soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se vuoi una mano a distinguere i punti deboli, la diagnosi gratuita è su contatti: guardiamo il programma della tua verifica e ti dico onestamente cosa serve.