Equazioni e disequazioni logaritmiche: condizioni di esistenza e metodi

In questi giorni, in quarta al liceo scientifico, i logaritmi stanno cominciando: prima la definizione e il grafico, poi le proprietà, e solo dopo le equazioni e le disequazioni. La verifica che li mette tutti insieme cade a dicembre o a gennaio, quindi fra circa otto settimane. Sembra tanto, ma le prime tre lezioni decidono quasi tutto: chi arriva alle equazioni con le proprietà ancora traballanti passa l’inverno a rincorrere.

Questo post è per chi sta seguendo adesso il capitolo e vuole un metodo ordinato, e per chi a gennaio si ritrova un 4 sul compito per una condizione di esistenza dimenticata o per aver “spezzato” un logaritmo che non si spezza. Se ti serve prima il quadro generale delle basi (definizione, grafico, equazioni esponenziali), leggi esponenziali e logaritmi: proprietà, equazioni e disequazioni (per la versione essenziale al professionale c’è quarta professionale): qui parto dalle equazioni e dalle disequazioni vere e proprie.

Prima di tutto: le condizioni di esistenza

Il logaritmo ${\log }_{a}b$ esiste solo se valgono insieme tre cose:

La base deve essere positiva e diversa da 1, l’argomento strettamente positivo. Nelle equazioni la base è quasi sempre un numero, quindi il lavoro è sull’argomento: ogni argomento che contiene la $x$ va messo $>0$, e le condizioni si mettono a sistema. Se la base contiene la $x$ (capita, meno spesso) si aggiungono anche $a>0$ e $a\ne 1$.

La regola pratica che consiglio è: prima scrivi le condizioni di esistenza, poi risolvi, alla fine confronta. Le CE non sono una formalità da fare in fondo: nelle equazioni decidono quali soluzioni tenere, nelle disequazioni decidono l’intervallo di partenza.

Con le fratte il ragionamento è lo stesso del capitolo sul dominio: se l’argomento è $\frac{x-1}{x+3}$ serve il segno della frazione, non solo che il denominatore sia diverso da zero. Chi ha già visto questo tema nelle funzioni ritrova lo stesso schema di funzione composta e dominio.

Le proprietà, e l’errore che le rovina

Tre proprietà, valide con le CE rispettate:

Più il cambio di base:

Quest’ultimo serve a portare tutto sulla stessa base, per esempio ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{2}$, perché ${\log }_{2}4=2$.

L’errore tipico: $\log (a+b)\ne \log a+\log b$

È l’errore che vedo più spesso nei compiti di gennaio. Le proprietà trasformano prodotti e quozienti in somme e differenze, non esiste una regola per il logaritmo di una somma. Un controesempio in base 2 chiude la questione:

Se nell’esercizio ti ritrovi a “distribuire” il logaritmo su un più o un meno, fermati: hai sbagliato prima. Una somma dentro il logaritmo si lascia com’è, oppure si trasforma con l’algebra (scomposizione, prodotto notevole) prima di applicare qualunque proprietà.

Il secondo errore: la potenza pari che fa perdere soluzioni

Scrivere ${\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}x$ è vero solo per $x>0$. In generale:

Se l’equazione è ${\log }_2{x}^2=4$, le soluzioni sono $x=4$ e $x=-4$: l’argomento $x^2$ è positivo per ogni $x\ne 0$, quindi entrambe vanno bene. Applicare la proprietà “alla cieca” ne fa sparire una. Il contrario succede quando si riunisce un $2{\log }_{2}x$ in ${\log }_2{x}^2$: si allarga il dominio, ed è per questo che le CE si scrivono sull’equazione di partenza, non su quella semplificata.

Equazioni logaritmiche: i metodi

Quasi tutte le equazioni che trovi in verifica si risolvono con uno di questi tre schemi.

1. Un solo logaritmo uguale a un numero. Si usa la definizione: ${\log }_{a}f(x)=k⟺f(x)=a^k$.

2. Logaritmi con la stessa base da ambo i lati. Si riducono i due membri a un solo logaritmo per parte, poi si uguagliano gli argomenti: ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)⟺f(x)=g(x)$, sempre con $f>0$ e $g>0$. In realtà basta una delle due condizioni, perché se gli argomenti sono uguali e uno è positivo lo è anche l’altro: ma metterle tutte e due è più sicuro.

3. Cambio di variabile. Se ${\log }_{a}x$ compare con potenze diverse, si pone $t={\log }_{a}x$, si risolve l’equazione in $t$ e poi si torna indietro con $x=a^t$.

La procedura, in ordine:

1. scrivi le CE e risolvile;
2. porta l’equazione a una delle forme sopra (proprietà, eventuale cambio di base);
3. risolvi;
4. confronta con le CE e scarta ciò che non le rispetta.

Esercizio 1 — somma di due logaritmi

Risolvi ${\log }_2(x+3)+{\log }_2(x-1)=5$.

CE. $x+3>0$ e $x-1>0$, cioè $x>1$.

Risoluzione. Unisco con la proprietà del prodotto e uso la definizione:

Le due soluzioni sono $x=-7$ e $x=5$. Con $x>1$ si scarta $-7$ (farebbe ${\log }_2(-4)$, che non esiste). Soluzione: $x=5$.

Controllo: ${\log }_{2}8+{\log }_{2}4=3+2=5$.

Esercizio 2 — cambio di base

Risolvi ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x=3$.

CE. $x>0$.

Risoluzione. Porto tutto in base 2: ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{2}$. L’equazione diventa

Quindi $x=2^2=4$, accettabile perché positivo. Controllo: ${\log }_{2}4+{\log }_{4}4=2+1=3$.

Esercizio 3 — cambio di variabile

Risolvi ${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0$, dove ${\log }_2^{2}x$ significa $({\log }_{2}x{)}^2$.

CE. $x>0$.

Risoluzione. Pongo $t={\log }_{2}x$: l’equazione diventa $t^2-3t+2=0$, cioè $(t-1)(t-2)=0$, quindi $t=1$ oppure $t=2$. Torno alla $x$: $x=2^1=2$ e $x=2^2=4$. Entrambe positive, entrambe valide. Controllo con $x=2$: $1-3+2=0$; con $x=4$: $4-6+2=0$.

Disequazioni logaritmiche: la base decide il verso

Qui si concentra l’altro errore classico. La funzione $y={\log }_{a}x$ è crescente se $a>1$ e decrescente se $0<a<1$. Di conseguenza, a parità di CE:

Il metodo è sempre lo stesso: sistema fra le CE e la disequazione sugli argomenti, e la soluzione è l’intersezione. Dimenticare le CE in una disequazione non fa scartare un numero, fa sbagliare l’intero intervallo, per questo costa più punti che nelle equazioni.

Se hai un solo logaritmo contro un numero, scrivi il numero come logaritmo nella stessa base: $k={\log }_a{a}^k$. È più sicuro che “elevare” a memoria e mantiene visibile il verso.

Esercizio 4 — base maggiore di 1

Risolvi ${\log }_2(x+3)>{\log }_2(2x-1)$.

CE. $x+3>0$ e $2x-1>0$: cioè $x>-3$ e $x>\frac{1}{2}$, quindi $x>\frac{1}{2}$.

Disequazione. Base $2>1$, il verso resta: $x+3>2x-1\Rightarrow x<4$.

Intersezione. $\frac{1}{2}<x<4$.

Controllo con $x=1$: ${\log }_{2}4=2>{\log }_{2}1=0$, vero. Con $x=5$: ${\log }_{2}8=3$ contro ${\log }_{2}9\approx 3,17$, falso, come previsto perché $5$ è fuori dall’intervallo.

Esercizio 5 — base fra 0 e 1

Risolvi ${\log }_{1/2}(2x-1)\ge -2$.

CE. $2x-1>0$, cioè $x>\frac{1}{2}$.

Risoluzione. Scrivo $-2={\log }_{1/2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}={\log }_{1/2}4$. La base è $\frac{1}{2}<1$: il verso si inverte e la disequazione diventa $2x-1\le 4$, cioè $x\le \frac{5}{2}$.

Intersezione. $\frac{1}{2}<x\le \frac{5}{2}$.

Controllo sul bordo: per $x=\frac{5}{2}$ si ha $2x-1=4$ e ${\log }_{1/2}4=-2$, quindi l’uguaglianza vale e l’estremo è incluso. Per $x=1$: ${\log }_{1/2}1=0\ge -2$, vero.

Se avessi trattato la base $\frac{1}{2}$ come una base maggiore di 1 avresti ottenuto $x\ge \frac{5}{2}$: l’intervallo opposto, con un controllo numerico che lo smaschera in dieci secondi. Prova sempre un valore dentro l’intervallo che hai trovato.

Come ci si prepara nelle otto settimane

Una sequenza che funziona con i miei studenti:

• Settimana 1-2. Definizione e grafico (crescente/decrescente), poi le proprietà con il controesempio di $\log (a+b)$ scritto sul quaderno. Dieci esercizi di calcolo con logaritmi numerici, senza incognite.
• Settimana 3-4. Equazioni dei tre schemi, sempre con le CE in testa. Qui conviene un quaderno degli errori: ogni soluzione scartata si annota con il motivo.
• Settimana 5-6. Disequazioni, prima con base maggiore di 1, poi con base fra 0 e 1, poi quelle con la fratta nell’argomento. Chi ha fatto le disequazioni goniometriche ritrova la stessa logica di sistema e intersezione.
• Settimana 7-8. Compiti completi a tempo e ripasso degli errori. Nel programma di quarta i logaritmi si affiancano alla goniometria e ai numeri complessi: il quadro del resto dell’anno è in programma e formulario di matematica di quarta, mentre il compito che precede di solito questo è quello descritto in goniometria e trigonometria.

Un’abitudine sola, se devi sceglierne una: dopo ogni esercizio, sostituisci un valore nella soluzione. Dura venti secondi e intercetta quasi tutti gli errori di segno e di verso.

Mettiti alla prova

Su questo argomento c’è la verifica simulata di matematica di quarta su esponenziali e logaritmi: quindici quesiti in cinquanta minuti, proprietà, equazioni e disequazioni, con i punti deboli per argomento alla fine. La risposta corretta di ogni quesito è gratis; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Per le altre verifiche dell’anno c’è la raccolta verifiche di matematica e fisica del liceo.

Fai la prova senza appunti, poi guarda dove hai sbagliato: se sono sempre le CE, o sempre il verso, o sempre le proprietà, sai su quale settimana del piano sopra tornare.

Se vuoi una mano

Quando seguo uno studente su questo capitolo, la prima lezione la passo quasi tutta su due cose: le CE scritte prima di qualunque passaggio e il perché del verso che cambia, guardando il grafico. Con queste due fatte bene il resto è calcolo. Se vuoi capire a che punto sei, scrivimi per una diagnosi gratuita: guardiamo il tuo programma e la data del compito e ti dico onestamente quanto lavoro serve. Il quadro dei percorsi è nella pagina delle ripetizioni di matematica.