Esponenziali e logaritmi: proprietà, equazioni e disequazioni

In quarta superiore esponenziali e logaritmi arrivano tra novembre e dicembre, e la verifica cade a gennaio: parliamo di otto-dodici settimane da adesso. Lo scrivo qui, prima che l’argomento parta, perché è uno dei capitoli in cui una base fragile si paga più tardi. Qui scrivo pensando al liceo classico, ma il programma è identico in tutti gli indirizzi: cambia solo il numero di esercizi che ti assegnano.

L’errore che vedo ogni anno nelle verifiche di gennaio è sempre lo stesso: $\log (a+b)$ spezzato in $\log a+\log b$. Subito dopo viene il dominio, soprattutto con le frazioni e con le radici. Se esci da questo articolo senza quei due errori, hai già evitato i punti persi più comuni.

Se cerchi una versione più essenziale e al professionale, c’è già esponenziali e logaritmi in quarta professionale. Qui il taglio è quello del liceo: più completo, con le disequazioni e la base minore di 1. Se le equazioni e le disequazioni logaritmiche sono già il tuo problema, il metodo passo per passo (con più esercizi sulle condizioni di esistenza) è in equazioni e disequazioni logaritmiche. Per vedere dove si colloca nell’anno c’è anche il formulario di quarta superiore.

La funzione esponenziale e il suo grafico

La funzione esponenziale è $y=a^x$, con $a>0$ e $a\ne 1$. Il dominio è tutto $\mathbb{R}$, il codominio è $(0,+\infty )$: un esponenziale non è mai zero e non è mai negativo. Tutti i grafici passano per $(0,1)$, perché $a^0=1$, e hanno l’asse $x$ come asintoto orizzontale.

Due casi, e conviene vederli in parallelo:

• $a>1$: la funzione è crescente. Più $x$ va a destra, più $y$ esplode; più va a sinistra, più $y$ si schiaccia sull’asse.
• $0<a<1$: la funzione è decrescente. Il grafico è lo specchio del precedente rispetto all’asse $y$, perché $(1/2{)}^x=2^{-x}$.

Il fatto che sia crescente o decrescente non è un dettaglio: è esattamente ciò che decide il verso di una disequazione. Tienilo a mente, torna più sotto.

Equazioni esponenziali: tre situazioni

1. Stessa base da entrambe le parti. Basta confrontare gli esponenti, perché l’esponenziale è iniettivo:

2. Basi diverse ma potenze della stessa base. Si riscrive tutto con la base più piccola:

Verifica: $4^3=64$ e $8^2=64$.

3. Sostituzione $t=a^x$. Quando compaiono $a^{2x}$ e $a^x$ insieme, l’equazione è di secondo grado nascosta. Vedi l’esercizio 1.

Se invece il secondo membro non è una potenza pulita della base (per esempio $5^x=7$), non c’è modo di uguagliare le basi: serve il logaritmo. Ed è per questo che i due argomenti stanno nello stesso capitolo.

Che cos’è un logaritmo

La definizione è una sola, e da lei discende tutto il resto:

con $a>0$, $a\ne 1$ e $b>0$. Il logaritmo in base $a$ di $b$ è l’esponente a cui elevare $a$ per ottenere $b$. Quindi ${\log }_{2}8=3$ perché $2^3=8$.

Dalla definizione seguono due valori da non dimenticare: ${\log }_{a}1=0$ e ${\log }_{a}a=1$. E segue anche la condizione di esistenza: l’argomento deve essere strettamente positivo. Non “diverso da zero”: positivo. Il logaritmo di un numero negativo, nel programma del liceo, semplicemente non esiste.

Le proprietà dei logaritmi

Con argomenti positivi e base valida, valgono queste:

L’ultima è il cambio di base: utile quando la calcolatrice ha solo $\log$ (base 10) e $\ln$ (base $e$). Per esempio:

e infatti $4^{5/2}=2^5=32$.

Perché $\log (a+b)$ non si spezza

Le proprietà qui sopra riguardano il prodotto, il quoziente e la potenza dell’argomento. Per la somma non esiste nessuna regola. Il controesempio chiude la discussione:

Sono numeri diversi. Un modo per ricordarlo: la somma di due logaritmi è il logaritmo di un prodotto, e un prodotto non è una somma. Se ti vedi scrivere un logaritmo “distribuito” su un più o su un meno, fermati.

Le condizioni di esistenza: dominio di fratte e irrazionali

Prima di toccare un’equazione o una disequazione con i logaritmi, scrivi il dominio. Ogni argomento di ogni logaritmo deve essere maggiore di zero. Tre casi che in verifica tornano sempre:

• Argomento lineare: $\log (2x-1)$ richiede $x>1/2$.
• Argomento frazionario: $\log \frac{x-1}{x+3}$ richiede $\frac{x-1}{x+3}>0$, cioè $x<-3$ oppure $x>1$. Si fa lo studio del segno, non si “semplifica” la frazione.
• Argomento con radice: $\log \sqrt{x-2}$ richiede prima il radicando $x-2\ge 0$ e poi che la radice sia strettamente positiva, quindi $x-2>0$, cioè $x>2$. Lo zero va escluso perché è l’argomento del logaritmo.

Il dominio si trova prima, non dopo: così alla fine sai quali soluzioni scartare.

Equazioni logaritmiche

La procedura ha quattro passi, sempre gli stessi:

1. scrivi le condizioni di esistenza di tutti i logaritmi;
2. riduci a un solo logaritmo per membro (o a un logaritmo uguale a un numero);
3. passa agli argomenti, oppure usa la definizione;
4. risolvi e confronta le soluzioni con le condizioni: quelle fuori dominio si scartano.

Il quarto passo è quello che si dimentica. Un’equazione che “esce” algebricamente può avere una soluzione che non esiste.

Disequazioni: il verso dipende dalla base

Esponenziali e logaritmi sono funzioni monotone, e proprio questo permette di confrontare gli argomenti. Ma attenzione al verso:

• se la base è maggiore di 1 la funzione è crescente, e il verso della disuguaglianza resta lo stesso;
• se la base è tra 0 e 1 la funzione è decrescente, e il verso si inverte.

Per i logaritmi si aggiunge sempre il dominio: la disequazione si risolve in sistema con le condizioni di esistenza. L’esercizio 3 mostra tutto.

Tre esercizi svolti

1. Esponenziale con sostituzione

Risolvi:

Pongo $t=3^x$, con $t>0$ perché un esponenziale è sempre positivo. Dato che $3^{2x}=(3^x{)}^2=t^2$:

Cerco due numeri con prodotto $-45$ e somma $-4$: sono $-9$ e $5$. Quindi:

La soluzione $t=-5$ non è accettabile, perché $3^x>0$. Resta $3^x=9=3^2$, quindi:

Verifica: $3^4-4\cdot 9-45=81-36-45=0$.

Prima di passare al secondo esercizio, se vuoi provare quesiti dello stesso tipo c’è la verifica di quarta su esponenziali e logaritmi. Onestamente: la risposta corretta si vede subito, mentre la soluzione guidata passo per passo si sblocca con la prima lezione.

2. Equazione logaritmica

Risolvi:

Condizioni di esistenza. Servono $x+1>0$ e $x-3>0$, cioè $x>-1$ e $x>3$. Il sistema dà:

Risoluzione. Unisco i due logaritmi con la proprietà del prodotto:

Per la definizione, l’argomento vale $2^5=32$:

Confronto con $x>3$: $x=7$ va bene, $x=-5$ si scarta.

Verifica: ${\log }_{2}8+{\log }_{2}4=3+2=5$.

3. Disequazione con base minore di 1

Risolvi:

Condizioni di esistenza. $2x-1>0$ dà $x>1/2$; $x+2>0$ dà $x>-2$. Il sistema:

Confronto degli argomenti. La base $1/2$ è minore di 1, quindi il logaritmo è decrescente e il verso si inverte:

Soluzione. Metto insieme il dominio e il confronto:

Verifica con due valori. Per $x=1$: ${\log }_{1/2}1=0$ è maggiore di ${\log }_{1/2}3$, che è negativo: la disuguaglianza è vera. Per $x=4$: ${\log }_{1/2}7<{\log }_{1/2}6$, quindi la disuguaglianza è falsa. Corretto.

Gli errori che costano più punti

• $\log (a+b)=\log a+\log b$. Non esiste. Ricorda il controesempio con $\log (2+8)$.
• Il dominio scritto alla fine o dimenticato: scrivilo come primo passaggio e confrontalo con le soluzioni, come nell’esercizio 2.
• Il verso invertito per sbaglio, o non invertito quando la base è minore di 1. Per sicurezza prova un valore dentro l’intervallo trovato, come nell’esercizio 3.
• Soluzione $t<0$ accettata nelle esponenziali con sostituzione: $a^x$ è sempre positivo.
• Confondere $\log (x^2)$ con $(\log x{)}^2$: la prima si porta fuori come $2\log x$ (con $x>0$), la seconda no. Per un’idea più generale su questi scivoloni c’è cinque errori di matematica che sembrano giusti.

Piano per le otto-dodici settimane

• Quando l’argomento parte (novembre-dicembre): impara la definizione e fai a mano una ventina di logaritmi senza calcolatrice, tipo ${\log }_{3}81$ o ${\log }_{1/2}8$. Poi le proprietà, una alla volta, ciascuna con un controesempio sulla somma.
• A metà strada: equazioni esponenziali dei tre tipi, con la sostituzione fatta bene. Poi le equazioni logaritmiche, scrivendo sempre le condizioni di esistenza per prime.
• Nelle ultime due settimane: le disequazioni, con almeno una per ogni base (maggiore e minore di 1). Poi rifai, senza guardare, gli esercizi che avevi sbagliato.
• La sera prima: rileggi la definizione, i due controesempi ($\log (2+8)$ e il verso) e il dominio. Basta.

Se vuoi una mano

Esponenziali e logaritmi si imparano meglio con qualcuno che guarda i passaggi, non solo il risultato finale: quasi sempre l’errore è nel terzo rigo, non nell’ultimo. Se vuoi lavorarci in vista della verifica di gennaio, trovi come funziona su matematica e puoi scrivermi da contatti: la diagnosi è gratuita, guardiamo insieme dove stai perdendo punti.