Fasci di rette: proprio e improprio, esercizi svolti

Fine settembre 2026: al tecnico e allo scientifico il capitolo sulla retta nel piano cartesiano — coefficiente angolare, parallelismo, perpendicolarità, distanza punto-retta — si chiude a metà-fine ottobre proprio con i fasci di rette, l’ultimo argomento prima della verifica. Il compito arriva fra fine ottobre e metà novembre: da qui hai fra quattro e sette settimane. Se il resto della retta è già solido, i fasci sono l’argomento più veloce da recuperare di tutto il capitolo, perché è sempre la stessa idea applicata a dati diversi.

Qui trovi cosa distingue un fascio proprio da uno improprio, come si trova il centro di un fascio, il metodo per trovare la retta di un fascio che soddisfa una condizione in più, gli errori tipici e tre esercizi svolti per intero.

Fascio improprio: rette tutte parallele

Il caso più semplice è il fascio improprio: l’insieme di tutte le rette che hanno lo stesso coefficiente angolare $m$, quindi tutte parallele fra loro. Si scrive fissando $m$ e lasciando variare il termine noto:

Al variare del parametro $k\in \mathbb{R}$ ottieni tutte e sole le rette parallele a $y=mx$, ciascuna spostata verticalmente di una quantità diversa. Due rette di questo fascio non si incontrano mai — è la definizione stessa di rette parallele — e per questo si dice “improprio”: il fascio non ha un centro reale, nel senso che il loro punto di intersezione è un punto improprio (all’infinito), un concetto che in prima approssimazione puoi semplicemente leggere come “non esiste”.

Fascio proprio: rette per uno stesso punto

Il fascio proprio è l’insieme di tutte le rette che passano per uno stesso punto $C(x_0,y_0)$, detto centro del fascio. Il modo più diretto per scriverlo è la forma punto-pendenza con $m$ come parametro:

Al variare di $m\in \mathbb{R}$ ottieni tutte le rette per $C$ tranne una: la retta verticale $x=x_0$, che non ha coefficiente angolare e quindi non compare mai in questa scrittura, per nessun valore di $m$. È l’unica retta del fascio proprio che va aggiunta a parte, quando serve, scrivendola esplicitamente come $x=x_0$.

Il fascio come combinazione di due generatrici

C’è un secondo modo di ottenere un fascio proprio, utile quando il centro non è dato direttamente ma è definito come intersezione di due rette. Date due rette generatrici

non parallele fra loro, l’insieme

è il fascio proprio con centro nel punto di intersezione fra $r$ e $r^{\prime }$ — anche se quel punto non è mai stato calcolato esplicitamente. Il motivo è semplice: se un punto $P$ soddisfa sia $r=0$ sia $r^{\prime }=0$, soddisfa anche $r+k\cdot r^{\prime }=0$ per qualunque $k$, perché è $0+k\cdot 0$. Il centro del fascio si trova quindi mettendo a sistema le due generatrici, esattamente come si trova l’intersezione di due rette qualsiasi.

Qui l’esclusione è diversa da quella della forma punto-pendenza: in $r+k\cdot r^{\prime }=0$ la retta che non si ottiene per nessun valore finito di $k$ è la generatrice $r^{\prime }$ stessa (la si “raggiungerebbe” solo per $k\to \infty$). Non è detto che sia una retta verticale: dipende da come sono scritte $r$ e $r^{\prime }$. Due esclusioni diverse, due motivi diversi: è uno dei punti su cui si confondono le due scritture del fascio proprio.

Trovare la retta del fascio che serve

Il compito raramente chiede solo “scrivi il fascio”: chiede la retta del fascio con una proprietà in più. Il metodo è sempre lo stesso: scrivi il fascio con un parametro (di solito $k$), imponi la condizione richiesta, risolvi rispetto al parametro, sostituisci.

• Passa per un punto $P$: sostituisci le coordinate di $P$ al posto di $x$ e $y$ nell’equazione del fascio e risolvi rispetto a $k$.
• È parallela a una retta data $s$: imponi che il coefficiente angolare della retta del fascio sia uguale a quello di $s$.
• È perpendicolare a una retta data $s$: imponi che il prodotto dei due coefficienti angolari sia $-1$ (cenno: nella pratica del compito questa condizione compare meno spesso di quella di parallelismo, ma il procedimento è identico).
• Ha una distanza data da un punto: si usa la formula della distanza punto-retta imponendo che valga il numero richiesto; è il caso più lungo, e in genere compare solo nei compiti più completi.

Gli errori che costano punti

1. Dimenticare la retta esclusa. Se il fascio è scritto come $y-y_0=m(x-x_0)$ e l’esercizio chiede “tutte le rette del fascio con una certa proprietà”, una risposta completa controlla anche se $x=x_0$ soddisfa quella proprietà, perché quella retta non compare fra i valori di $m$.

2. Confondere fascio proprio e improprio quando le generatrici sono parallele. Se scegli due rette generatrici che sono parallele fra loro, il “fascio” $r+k\cdot r^{\prime }=0$ non ha un centro reale: è in realtà un fascio improprio (tutte le rette che ne escono sono parallele alle generatrici), anche se la scrittura sembra quella di un fascio proprio. Prima di applicare il metodo, controlla sempre che le due generatrici non siano parallele — cioè che i loro coefficienti angolari siano diversi, o equivalentemente che il sistema fra le due abbia esattamente una soluzione.

3. Sbagliare il segno di $k$. È l’errore più frequente in assoluto: risolvere l’equazione nel parametro con un segno invertito porta a una retta che non passa per il punto richiesto o non ha la pendenza richiesta. Dopo aver trovato $k$, conviene sempre un controllo veloce: sostituire il punto o verificare la pendenza sulla retta trovata.

4. Perdere il centro nel passaggio a $k\to \infty$. Il centro del fascio soddisfa sia $r=0$ sia $r^{\prime }=0$ contemporaneamente, quindi soddisfa ogni retta del fascio, compresa quella appena trovata imponendo una condizione. Se dopo aver calcolato la retta cercata verifichi che il centro non ci sta, hai sbagliato calcolo da qualche parte: è lo stesso controllo di coerenza che si usa per le tangenti alla parabola.

Tre esercizi svolti

1. Trovare il centro e la retta del fascio per un punto

Dato il fascio generato da $r:x+y-3=0$ e $r^{\prime }:x-y-1=0$, trova il centro e la retta del fascio passante per $P(0,5)$.

Il centro si trova mettendo a sistema le due generatrici:

Sommando le due equazioni si elimina $y$: $2x-4=0\Rightarrow x=2$, e sostituendo $y=1$. Il centro è $C(2,1)$.

Il fascio si scrive $(x+y-3)+k(x-y-1)=0$. Impongo il passaggio per $P(0,5)$, sostituendo le sue coordinate:

Sostituisco nel fascio e moltiplico per 3 per eliminare la frazione:

Semplificando per 2: $2x+y-5=0$, cioè $y=-2x+5$.

Controllo di coerenza: il centro $C(2,1)$ deve stare su questa retta. $2\cdot 2+1-5=0$. Torna. E $P(0,5)$: $0+5-5=0$. Torna anche questo.

2. Retta del fascio parallela a una retta data

Con lo stesso fascio dell’esercizio precedente — generatrici $r:x+y-3=0$ e $r^{\prime }:x-y-1=0$, centro $C(2,1)$ — trova la retta del fascio parallela a $s:3x-y+2=0$ (coefficiente angolare $3$).

Scrivo il fascio in generale, raccogliendo per $x$ e per $y$:

Il coefficiente angolare di questa retta (per $1-k\ne 0$) è

Impongo $m=3$:

Sostituisco $k=2$ nell’equazione generale:

Verifiche: il coefficiente angolare è $3$, come richiesto, e la retta non coincide con $s$ (che ha termine noto diverso, $+2$ contro $-5$: sono parallele distinte, non la stessa retta). Il centro $C(2,1)$: $3\cdot 2-1-5=0$. Torna.

3. Fascio improprio per un punto

Trova la retta parallela a $y=2x-7$ che passa per $A(3,2)$.

Le rette parallele a $y=2x$ formano il fascio improprio $y=2x+k$. Impongo il passaggio per $A(3,2)$:

La retta cercata è $y=2x-4$. Controllo: $2\cdot 3-4=2$, il punto sta sulla retta, e il coefficiente angolare è $2$ come quello della retta data. Prima di partire, però, verifica sempre che il punto non stia già sulla retta assegnata: se ci sta, la «parallela per $A$» è la retta stessa, e il testo probabilmente ha un refuso o un tranello.

Da qui in avanti

Il procedimento che hai appena usato — fascio, parametro, condizione, sostituzione — è lo stesso che ritroverai in terza con i fasci di parabole, dove al posto di due rette generatrici ci sono due paraboloidi (o una parabola e una retta) e il parametro serve anche a distinguere quando il fascio degenera da parabola a retta. Ne ho scritto in la parabola in terza: tangenti, fasci e problemi con parametro, se vuoi vedere dove porta.

Se il resto del capitolo sulla retta — coefficiente angolare, distanza punto-retta, retta per due punti — non è ancora solido, parti da lì: l’ho scritto per intero in scomposizione e retta: il primo compito di seconda. E se in classe la retta si intreccia con i sistemi lineari (per trovare l’intersezione fra due rette date, non generiche come nel fascio), la guida dedicata è sistemi lineari e retta in seconda.

Per allenarti su quesiti a risposta chiusa sull’intero capitolo — coefficiente angolare, parallele e perpendicolari, distanza punto-retta e fasci — c’è la verifica simulata sulla retta nel piano cartesiano: 15 quesiti in 50 minuti, con il dettaglio dei punti deboli per argomento. La risposta corretta di ogni quesito è gratis e senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Se dopo la prova i fasci restano il punto debole, o se è tutto il capitolo sulla retta a non tornarti, la diagnosi gratuita serve proprio a questo: mi dici cosa avete fatto in classe e ti dico onestamente dove concentrare le prime lezioni prima del compito. Le lezioni di matematica sono online e uno-a-uno: si parte con una chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti.