Fine settembre 2026: negli istituti tecnici, in prima, il test d’ingresso è già alle spalle e in classe si lavora adesso su numeri naturali, interi e razionali, potenze — e, dentro lo stesso blocco di settembre-ottobre, proporzioni e percentuali. La prima verifica di matematica arriva tipicamente fra metà ottobre e l’inizio di novembre, quindi fra tre e sei settimane da oggi. Chi è nel settore economico li ritrova identici, la settimana dopo o in parallelo, dentro Economia aziendale, dove si chiamano “calcoli: proporzioni, riparti” — ed è lì che, di solito, arriva la prima vera difficoltà: fattura con IVA e sconti, calcoli sopra e sotto cento. Qui non entro nella fattura: vediamo proporzioni, percentuali e calcoli sopra e sotto cento come argomento a sé, perché vanno capiti bene prima di vederli applicati a un documento commerciale.
Proporzioni e percentuali sembrano argomenti da scuola media — e in parte lo sono, le hai già viste — ma al tecnico tornano più severe: con più passaggi, con numeri meno “rotondi”, e soprattutto con un errore specifico che costa quasi sempre l’esercizio: applicare la percentuale al numero sbagliato.
Proporzioni: la procedura
Una proporzione è un’uguaglianza fra due rapporti:
che si legge ” sta a come sta a ”. I quattro numeri si chiamano termini: e sono gli estremi, e i medi.
Proprietà fondamentale. In ogni proporzione, il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi:
È la proprietà da cui si ricava il termine incognito, in qualunque posizione si trovi. Se manca un estremo:
Se manca un medio:
Un caso particolare frequente è il medio proporzionale: quando i due medi sono uguali, , e allora
(con e dello stesso segno, perché sotto radice serve un numero non negativo).
Proprietà del comporre e dello scomporre. Da si ottengono altre due proporzioni equivalenti, utili quando un problema dà somme o differenze invece dei singoli termini:
Proporzionalità diretta e inversa. Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante (): raddoppiando una, raddoppia anche l’altra. Sono inversamente proporzionali se è costante il loro prodotto (): raddoppiando una, l’altra si dimezza. Nei problemi il segnale è nel testo: “il tempo per fare un lavoro” cresce se il numero di operai diminuisce — proporzionalità inversa; “il costo totale” cresce se aumentano i pezzi comprati — proporzionalità diretta. Il primo passo, sempre, è decidere quale delle due situazioni hai davanti, prima di scrivere qualunque proporzione.
Percentuali: cosa significano davvero
“Il 20%” è solo un modo di scrivere la frazione , cioè . Calcolare la percentuale di un numero è quindi una moltiplicazione:
Il 15% di 80 è .
Trovare il totale, conoscendo la parte e la percentuale, è l’operazione inversa: se so che 12 è il 15% di un numero, quel numero è
Variazione percentuale. Se un valore passa da a , la variazione percentuale è
positiva se il valore è aumentato, negativa se è diminuito.
Aumenti, sconti e perché non si torna al prezzo di partenza
Il modo più veloce — ed è quello che userai sempre da qui in avanti — è pensare all’aumento o allo sconto come a un moltiplicatore, non come a due operazioni separate (calcola la percentuale, poi sommala o sottraila).
Un prezzo di 250 € con uno sconto del 20% diventa , in un solo passaggio.
Da qui nasce un fatto che sorprende sempre, la prima volta: uno sconto del 20% seguito da un aumento del 20% non riporta al prezzo di partenza. Partendo da 100 €:
Non torna a 100, torna a 96. Il motivo è che il secondo 20% si applica a una base diversa e più piccola (80, non 100): aumentare del 20% un numero già ridotto recupera meno di quanto l’abbassamento aveva tolto. È lo stesso principio degli sconti successivi: uno sconto del 10% seguito da un altro del 10% non equivale a uno sconto unico del 20%, perché il secondo 10% si calcola sul prezzo già scontato:
Uno sconto del 19%, non del 20%: la differenza fra “applicare due sconti in sequenza” e “sommare le due percentuali” è un errore che nei problemi con sconti successivi vale quasi sempre l’intero punteggio dell’esercizio.
Calcoli sopra cento e sotto cento
“Sopra cento” e “sotto cento” sono due modi di riferirsi alla stessa idea di aumento e sconto percentuale, ma con un linguaggio diverso, tipico dei problemi commerciali: si parla di quanti euro corrispondono a 100 € di partenza (sopra cento, quando dal prezzo netto si vuole il prezzo con IVA o maggiorazione) e, all’opposto, di quanto vale il prezzo netto partendo da un totale che già include la maggiorazione (sotto cento).
Un esempio classico è scorporare l’IVA da un prezzo finale che la include già. Se un prodotto costa 122 € IVA compresa, con IVA al 22%, il prezzo netto non si trova togliendo il 22% da 122 — quello sarebbe corretto solo se 122 fosse il prezzo senza IVA. Il prezzo con IVA è il 122% del prezzo netto (100% + 22%), quindi:
Il ragionamento non cambia se i numeri non sono comodi come in questo esempio: si divide sempre per , non per , e si moltiplica per — mai il contrario.
Riparto semplice diretto
Il riparto semplice diretto divide una quantità totale fra più parti, in proporzione a numeri dati (per esempio ore lavorate, quote di capitale, pesi). Si calcola prima il valore unitario di riparto, dividendo il totale per la somma dei numeri:
e poi si assegna a ciascuno . La somma di tutte le parti deve tornare a coincidere con : è un controllo che costa pochi secondi e smaschera subito un errore di conto.
L’errore che costa di più
Correggendo compiti di prima al tecnico, l’errore che ricorre più spesso — di gran lunga — è applicare la percentuale al numero sbagliato. Il caso tipico è proprio lo scorporo dell’IVA: chi ha un prezzo finale di 122 € e, per trovare il prezzo netto, calcola “122 meno il 22% di 122” ottiene , un numero sbagliato — perché il 22% da togliere non è il 22% del prezzo finale, è il 22% del prezzo netto (che è più piccolo). La regola pratica: se il numero che hai in mano include già la percentuale, dividi per ; se non la include ancora, moltiplica per diviso (o, per uno sconto, per diviso ). Prima di scrivere qualunque conto, la prima domanda è sempre: questo numero, la percentuale, ce l’ha già dentro oppure no?
Tre esercizi svolti
1. Termine incognito in una proporzione
Risolvi la proporzione .
Applico la proprietà fondamentale: il prodotto degli estremi uguale al prodotto dei medi.
Verifica rapida: e — i due rapporti coincidono, la proporzione è corretta.
Per fare pratica sugli stessi numeri e sullo stesso blocco della prima verifica trovi la verifica simulata su numeri, frazioni e potenze: la risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata passo per passo si sblocca con la prima lezione.
2. Sconti successivi
Un capo d’abbigliamento costa 90 €. Il negozio applica prima uno sconto del 15%, poi — sul prezzo già scontato — un ulteriore sconto del 10% per chi paga in contanti. Quanto si paga alla fine, e a quale sconto unico equivale?
Primo sconto, come moltiplicatore:
Secondo sconto, applicato al nuovo prezzo di 76,50 €, non ai 90 € di partenza:
Si pagano 68,85 €. Lo sconto unico equivalente si ricava dal rapporto fra prezzo finale e prezzo iniziale:
Non 25% (che sarebbe la somma ingenua di 15 e 10): i due sconti in sequenza valgono, nel complesso, il 23,5%. Il conto di verifica: , coincide con il risultato trovato passo per passo.
3. Scorporo dell’IVA e calcolo sotto cento
Un articolo viene venduto a 244 € IVA compresa, con aliquota IVA al 22%. Qual è il prezzo netto, e quanto vale l’IVA in euro?
Il prezzo finale rappresenta il 122% del prezzo netto (100% del netto più 22% di IVA), quindi il prezzo netto si trova dividendo per e moltiplicando per :
L’IVA, per differenza, è
Verifica: il 22% di 200 € è , coincide. Da notare l’errore che qui è più facile commettere: calcolare “il 22% di 244” invece che “il 22% di 200” — darebbe , un numero sbagliato perché applicato al prezzo che già contiene l’IVA, non al prezzo netto.
Cosa fare adesso
Su proporzioni e percentuali non abbiamo ancora una simulazione dedicata; quella disponibile, la verifica simulata su numeri, frazioni e potenze, copre il resto della stessa prima verifica — numeri naturali, interi e razionali, potenze — ed è comunque un buon test per capire se il resto del programma di settembre-ottobre è solido. La risposta corretta di ogni quesito è gratis; la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.
Se il programma della tua scuola segue uno schema diverso — più orientato agli insiemi e alla logica, come al liceo scientifico e al classico — trovi la stessa prima verifica raccontata da quell’angolo in la prima verifica di matematica in prima superiore e, per l’artistico, in numeri, frazioni e potenze in prima al liceo artistico. Se sei all’indirizzo economico e fra qualche settimana ti troverai davanti a fatture con IVA e sconti dentro Economia aziendale, questi stessi conti — moltiplicatore per l’aumento o lo sconto, divisione per per scorporare — sono esattamente la base da cui si parte: quando arriverai alla partita doppia, in terza, ne ho scritto qui: partita doppia spiegata facile. Il programma completo delle ripetizioni di matematica è qui, anno per anno.
Se proporzioni e percentuali restano un punto debole, o se è lo scorporo dell’IVA in Economia aziendale a non tornarti, la diagnosi gratuita serve proprio a questo: mi dici cosa avete fatto in classe e ti dico onestamente da dove partire prima che arrivi il compito.