Metà settembre, e in prima al liceo artistico la matematica è già in orario da due settimane: test d’ingresso fatto, e il professore sta iniziando adesso numeri naturali e interi, potenze, MCD e mcm, frazioni e numeri relativi. Con 3 ore a settimana — contro le 5 dello scientifico — il programma non è più leggero, è solo più compresso: la prima verifica arriva fra cinque e otto settimane, quindi tra fine ottobre e metà novembre, e chiede esattamente questi argomenti.
Molti arrivano all’artistico pensando che la matematica sarà una materia di passaggio, buona per un 6 senza troppo studio, perché la scelta della scuola è stata per il disegno, la pittura, il progetto. Il programma però è lo stesso di ogni altro liceo, e il primo compito lo dimostra subito: chi arriva dalle medie convinto di cavarsela a intuito, con le frazioni e i numeri relativi, di solito si sbaglia.
Perché qui la matematica sorprende di più
Nel biennio dell’artistico, matematica ha 3 ore a settimana su un totale di 34: meno delle 5 dello scientifico e delle 4 del tecnico. Attorno a quelle 3 ore ci sono discipline grafiche e pittoriche (4 h), discipline geometriche (3 h), discipline plastiche e scultoree (3 h) e laboratorio artistico (3 h): 13 ore di materie con tavole e progetti da consegnare a scadenza, che in molte settimane finiscono per assorbire il tempo che a casa andrebbe alla matematica. Non è che il programma sia più leggero: è che compete con un carico di consegne che altrove non c’è, e chi rimanda lo studio dei numeri “perché tanto è poco” arriva alla verifica con lo stesso programma di uno scientifico ma con molto meno allenamento addosso.
Cosa chiede davvero la prima verifica
Il formato tipico è 6-10 esercizi in un’ora, quasi tutti di calcolo puro: nessuna domanda di teoria da riportare a memoria, solo espressioni da risolvere fino al risultato numerico. Gli argomenti, nell’ordine in cui li state facendo in classe:
- numeri naturali e interi, ripasso delle quattro operazioni e delle proprietà;
- potenze, comprese quelle con esponente negativo;
- MCD e mcm, sia da soli che dentro le frazioni;
- frazioni, con le quattro operazioni e le espressioni con più passaggi;
- numeri relativi, cioè i numeri con il segno, e le regole per somma, sottrazione, prodotto.
Il punto critico segnalato per queste settimane, negli istituti che seguono questa programmazione, è proprio frazioni e numeri relativi: sono gli argomenti dove si concentrano le lacune che arrivano dalle medie, prima ancora che si arrivi a monomi e prodotti notevoli, che qui slittano più avanti nel programma. Se il tuo professore ha già accennato ai monomi, non preoccuparti: nella maggior parte degli artistici la scomposizione completa e le frazioni algebriche scivolano a inizio seconda, e la prima verifica di prima resta sui numeri.
Gli errori che costano punti
Sono sempre gli stessi, e si vedono a occhio in un compito corretto.
1. Il segno meno davanti a una potenza non entra nella potenza. Senza parentesi, l’elevamento a potenza viene prima del segno:
Chi scrive ha fatto il conto giusto sul numero sbagliato: ha elevato a potenza anche il segno, che invece resta fuori finché non c’è una parentesi a includerlo.
2. L’esponente negativo cambia il numero, non il segno del risultato. non è : è il reciproco di .
Il risultato di una potenza con base positiva resta sempre positivo, qualunque sia il segno dell’esponente.
3. Sommare frazioni senza portarle allo stesso denominatore. L’errore più comune è “in croce sui numeratori e denominatori insieme”: diventa , che è sbagliato. Il risultato corretto, con il mcm dei denominatori:
4. Sottrarre un numero negativo e sbagliare il segno. non fa : i due segni meno consecutivi diventano un più.
5. Ignorare l’ordine delle operazioni. In la moltiplicazione va fatta prima della somma: il risultato è , non . Vale anche dentro le espressioni più lunghe con potenze e frazioni: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine somme e sottrazioni.
6. Dividere due frazioni senza girare la seconda. Dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo reciproco: chi divide “dritto”, numeratore con numeratore, ottiene un risultato diverso.
La regola dei segni, in una tabella
Sui numeri relativi, il prodotto e la divisione seguono una regola fissa che vale la pena avere sempre a mente, perché torna in ogni esercizio da qui in avanti:
| Operazione | Segni uguali | Segni diversi |
|---|---|---|
| Prodotto | risultato positivo | risultato negativo |
| Divisione | risultato positivo | risultato negativo |
Vale anche in catena: , perché tre segni negativi danno un negativo (il terzo segno “ribalta” di nuovo il risultato). Con la somma e la sottrazione invece non c’è una regola di questo tipo: bisogna guardare i valori e i segni caso per caso, come negli esempi 3 e 4 sopra.
Il metodo passo per passo
Davanti a un’espressione lunga, l’ordine con cui procedere è sempre lo stesso, e seguirlo elimina la maggior parte degli errori sopra:
- Risolvi prima le parentesi più interne.
- Calcola le potenze, trasformando subito quelle con esponente negativo in una frazione.
- Esegui moltiplicazioni e divisioni, da sinistra a destra.
- Porta le frazioni allo stesso denominatore (il mcm) prima di somma o sottrazione.
- Esegui somme e sottrazioni, controllando i segni un’ultima volta.
Non saltare mai un passaggio per farlo “a mente”: è lì che si perde il punto, non nel calcolo in sé.
Esercizi svolti per intero
Esercizio 1. Calcola:
Prima le potenze: (il segno resta fuori); . Poi la moltiplicazione: . Rimane:
Se vuoi verificare da solo con altri numeri, trovi 15 quesiti dello stesso tipo, con correzione immediata, nella verifica di matematica 1ª — numeri, frazioni e potenze: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata passo per passo si sblocca con la prima lezione.
Esercizio 2. Calcola:
, perché l’esponente è dispari. Il secondo termine diventa positivo: . Riscriviamo con il mcm tra 3 e 6, che è 6:
L’errore più frequente in questo esercizio non è il calcolo: è dimenticare che una potenza con esponente dispari e base negativa resta negativa, mentre con esponente pari diventa positiva.
Un esercizio dal test d’ingresso: MCD e mcm
Due navette per la sede di indirizzo partono insieme dal cancello: una ogni 12 minuti, l’altra ogni 18. Dopo quanti minuti partiranno di nuovo insieme? La risposta è il mcm tra 12 e 18:
Ripartiranno insieme dopo 36 minuti. È lo stesso schema di calcolo del test d’ingresso di settembre: fattorizzare, prendere ogni fattore primo con l’esponente più alto tra i due numeri.
Come lavoriamo in lezione
Con 3 ore a settimana di matematica, non c’è tempo in classe per tornare indietro su una lacuna delle medie: se un blocco — di solito le frazioni o i numeri relativi — resta fragile, si porta avanti fino alla verifica e si vede lì. In lezione parto da un mini-test diagnostico di cinque minuti per capire quale dei due blocchi (numeri con le potenze, oppure frazioni e segni) è quello davvero fragile, e poi lavoro solo su quello: esercizi mirati sul punto debole specifico, non un ripasso generico di tutto il programma, con correzione immediata a ogni passaggio e non a fine settimana. Per chi ha le consegne di indirizzo che si accumulano, questo conta doppio: un’ora ben mirata recupera quello che altrimenti richiederebbe tre ore di studio disorganizzato la sera prima.
Se non hai ancora preso una lezione con me, la prima è una lezione di prova da 20 €, un’ora, pensata proprio per capire da dove si parte. In alternativa c’è una chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti, senza impegno. Da lì, una lezione singola costa 40 €, e chi prosegue con regolarità di solito passa al pacchetto di 10 ore a 360 € (36 €/h).
Se in classe si parla anche di fisica, l’ho scritto per la stessa scuola in fisica al liceo artistico: misure e cifre significative — è di terza, ma lo stesso schema di “poche ore, programma compresso” vale anche lì. Se invece sei al liceo scientifico o al tecnico, il programma di ottobre è simile ma non identico: lo trovi in la prima verifica di matematica in prima superiore. Per il programma completo dell’anno c’è la pagina di matematica.
Se hai bisogno di una mano con questi argomenti prima che arrivi il compito, scrivimi: recuperare adesso, su un blocco preciso, costa molto meno tempo che rincorrere un debito a gennaio.