Errori di misura e propagazione degli errori

Fine settembre, primo anno. Al liceo, in fisica, dopo le prime lezioni su grandezze e Sistema Internazionale arriva il capitolo degli errori di misura — di solito insieme ai primi grafici e alla proporzionalità. Al tecnico tecnologico, con fisica a 3 ore e il laboratorio, gli errori entrano subito, già a ottobre, con le prime relazioni di laboratorio da scrivere: lì la prima verifica arriva fra quattro e sette settimane, quindi fra fine ottobre e i primi di novembre. Un dettaglio per chi inizia il tecnico quest’anno: dal nuovo ordinamento (DM 29/2026) fisica e chimica del primo anno confluiscono in “Scienze sperimentali” — il programma di misure ed errori resta lo stesso, cambia solo il nome della materia in pagella.

Propagazione degli errori: le formule per la verifica di fisica

Questo capitolo si valuta quasi sempre con lo stesso schema: una misura (o una serie di misure) da cui ricavare valore medio e incertezza, e poi un calcolo — un’area, una densità, una velocità — da fare con quei numeri incerti, scrivendo il risultato finale con il suo errore. Chi perde punti di solito non sbaglia i calcoli in sé: sbaglia a decidere quante cifre scrivere nell’errore, o applica la regola sbagliata (quella delle somme dove serve quella dei prodotti). Il resto di questo post è il metodo per non farlo.

Se il tuo programma tratta già cifre significative e conversioni e cerchi quella parte, la trovi in fisica in terza: misure e cifre significative: qui non la ripeto, perché il valore aggiunto di questo post sono le misure ripetute e la propagazione.

Errori sistematici e casuali

Ogni misura reale è affetta da un errore: non esiste lo strumento perfetto. Gli errori si dividono in due famiglie:

• Errori sistematici: si ripetono sempre nello stesso verso (una bilancia tarata male che pesa sempre 2 g in più, un cronometro che parte con un ritardo fisso). Non si eliminano ripetendo la misura — si eliminano solo tarando lo strumento o correggendo il metodo.
• Errori casuali (o accidentali): cambiano in modo imprevedibile da una misura all’altra (il tempo di reazione di chi avvia e ferma un cronometro, piccole vibrazioni). Si trattano statisticamente: ripetendo la misura più volte, si compensano in parte.

Il capitolo sulla propagazione lavora sempre sull’errore casuale, stimato con la semidispersione: la parte sistematica si assume corretta o trascurabile, salvo indicazione diversa dell’esercizio.

Misura singola: l’errore è la sensibilità dello strumento

Se misuri una grandezza una sola volta, l’errore assoluto che le assegni è la sensibilità dello strumento: la più piccola variazione che lo strumento riesce a distinguere. Un righello millimetrato ha sensibilità $0,1\mathrm{cm}$ (o, per essere prudenti, metà della tacca più piccola: $0,05\mathrm{cm}$ — dipende da come lo ha definito il tuo professore, ma il righello millimetrato è il caso più citato in verifica). Una misura di $l=12,3\mathrm{cm}$ con quello strumento si scrive:

Misure ripetute: valore medio e semidispersione

Quando puoi ripetere la misura più volte (è il caso tipico di laboratorio: il periodo di un pendolo, il tempo di caduta di un oggetto), il valore più attendibile non è una singola lettura ma la media aritmetica di tutte le misure, e l’errore si stima con la semidispersione massima: metà della differenza fra il valore più grande e il valore più piccolo ottenuti.

La semidispersione non è la deviazione standard che vedrai più avanti in statistica: è una stima più semplice e più prudente (nel caso peggiore, sovrastima l’errore vero), ma è quella richiesta al primo anno perché non serve altro strumento oltre a media e differenza.

Errore relativo, errore percentuale e come si scrive una misura

L’errore assoluto $\Delta x$ ha la stessa unità di misura della grandezza e da solo dice poco: un errore di $1\mathrm{cm}$ è enorme se stai misurando una matita, trascurabile se stai misurando un campo da calcio. Per confrontare quanto è “preciso” un dato serve l’errore relativo:

e l’errore percentuale, che è lo stesso numero moltiplicato per 100:

Una misura completa si scrive sempre come valore ± errore, con l’unità di misura, e con una regola sulle cifre da rispettare: l’errore si arrotonda a una sola cifra significativa (raramente due, se il professore lo richiede esplicitamente), e il valore centrale si arrotonda allo stesso ordine di grandezza dell’errore. Scrivere $l=(12,347\pm 0,1)\mathrm{cm}$ è sbagliato: quelle cifre dopo il decimale nel valore centrale non hanno senso, perché l’errore ti dice che non sai il valore oltre il primo decimale. La forma corretta è $l=(12,3\pm 0,1)\mathrm{cm}$.

La propagazione degli errori: le tre regole

Quando calcoli una grandezza a partire da due o più misure incerte, l’errore si propaga nel risultato. Le regole cambiano a seconda dell’operazione, ed è qui che si concentra l’errore più comune in verifica: usare la regola delle somme dove serve quella dei prodotti, o viceversa.

Somma e differenza → si sommano gli errori assoluti. Se $z=x+y$ oppure $z=x-y$:

Vale per entrambe le operazioni, somma e differenza: l’incertezza non si sottrae mai, anche quando stai facendo una differenza di misure — nel caso peggiore i due errori si sommano.

Prodotto e quoziente → si sommano gli errori relativi. Se $z=x\cdot y$ oppure $z=x/y$:

Quindi per trovare l’errore assoluto sul risultato, prima sommi i relativi e poi moltiplichi per il valore di $z$: $\Delta z=z\cdot \left(\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta y}{y}\right)$.

Potenza → l’esponente moltiplica l’errore relativo. Se $z=x^n$:

Questo è il motivo per cui, calcolando un volume come $V=l^3$, l’errore relativo sul volume è tre volte quello sul lato, non lo stesso: elevare al cubo amplifica l’incertezza.

Gli errori tipici

• Usare la regola della somma per un prodotto (sommare gli errori assoluti di due misure che invece vanno moltiplicate): dà un errore finale con l’unità di misura sbagliata, e quasi sempre un valore assurdo.
• Dimenticare l’esponente nella potenza: calcolare l’errore relativo del volume come se fosse uguale a quello del lato, senza moltiplicarlo per 3.
• Scrivere l’errore con troppe cifre significative ($\pm 0,347$ invece di $\pm 0,3$): l’errore va arrotondato a una cifra significativa, sempre.
• Arrotondare il valore centrale prima di calcolare l’errore, invece che alla fine: introduce uno scarto che a volte cambia l’ultima cifra del risultato.

Tre esercizi svolti

1. Periodo di un pendolo: media e semidispersione

Cinque misure del periodo di oscillazione di un pendolo, in secondi: $2,04$; $2,02$; $2,06$; $2,03$; $2,05$.

La media:

La semidispersione, con $T_{max}=2,06$ e $T_{min}=2,02$:

Il periodo si scrive $T=(2,04\pm 0,02)\mathrm{s}$. L’errore relativo è $0,02/2,04\approx 0,0098$, cioè circa l’$1\%$: una misura molto precisa, con uno scarto di un centesimo di secondo su un totale di due secondi.

Se vuoi controllare da solo se hai capito il metodo prima di andare avanti, nella verifica di fisica di 1ª — misure, cifre significative ed errori trovi altri esercizi di questo tipo tra i 15 quesiti: la risposta corretta è gratuita, la soluzione guidata passo-passo si sblocca con la prima lezione.

2. Area di un rettangolo: propagazione su un prodotto

Un rettangolo ha base $l=(12,3\pm 0,1)\mathrm{cm}$ e altezza $h=(5,4\pm 0,1)\mathrm{cm}$. L’area:

Prodotto di due misure → si sommano gli errori relativi:

circa il $2,7\%$. L’errore assoluto:

che si arrotonda a una cifra significativa, $\Delta A\approx 2{\mathrm{cm}}^2$, e il valore centrale allo stesso ordine di grandezza: $A=(66\pm 2){\mathrm{cm}}^2$.

3. Densità: propagazione su un quoziente

Un blocchetto ha massa $m=(145,2\pm 0,1)\mathrm{g}$ e volume $V=(62,0\pm 0,5){\mathrm{cm}}^3$. La densità:

Quoziente di due misure → si sommano di nuovo gli errori relativi:

L’errore relativo sul volume ($0,0081$) domina quasi da solo il risultato: l’errore sulla massa è quasi trascurabile al confronto, ed è normale — nel prodotto/quoziente conta di più la misura che ha l’errore relativo maggiore, non quella con l’errore assoluto maggiore in valore numerico. L’errore assoluto:

Risultato finale: $\rho =(2,34\pm 0,02)g/c{\mathrm{m}}^3$.

Un errore che vale la pena controllare da solo

Prova a rifare l’esercizio 2 cambiando solo l’altezza in $h=(5,4\pm 0,3)\mathrm{cm}$ (errore più grande) e vedi come cambia $\Delta A$: è un buon modo per verificare di aver capito che l’errore relativo maggiore, non quello assoluto, decide quanto pesa ciascuna misura nel risultato finale — lo stesso principio dell’esercizio 3 sulla densità.

Se il capitolo dopo gli errori nel tuo programma è già grafici e proporzionalità, trovi il seguito in proporzionalità diretta e inversa nei grafici di fisica. Per il quadro generale della materia c’è fisica al liceo e al tecnico, e se vuoi arrivare alla verifica con il metodo già automatico invece che a ridosso della data puoi partire da una chiamata conoscitiva gratuita.