Reazioni vincolari: esercizi di statica

Fine settembre 2026: in terza agli istituti tecnici tecnologici, indirizzo Meccanica, meccatronica ed energia, la materia Meccanica, macchine ed energia si apre quasi sempre con la statica (lo stesso blocco compare in Progettazione, costruzioni e impianti al CAT). È il primo argomento dell’anno, prima di cinematica e dinamica, e la prima verifica cade tipicamente fra quattro e sette settimane da adesso — quindi fra metà ottobre e metà novembre. Vale la pena arrivarci con il metodo solido: la statica delle travi è anche la base diretta di Scienza delle Costruzioni, uno degli esami più temuti dei primi anni di ingegneria.

Reazioni vincolari: cosa sono e come si calcolano

Una trave appoggiata su un vincolo non “sta ferma per magia”: il vincolo esercita una forza (o un momento) che impedisce il movimento in una o più direzioni. Quella forza si chiama reazione vincolare, ed è l’incognita che quasi ogni esercizio di statica ti chiede di trovare. Il metodo per calcolarla è sempre lo stesso, in tre passi: capire quanti vincoli ha la struttura e cosa impediscono, disegnare tutte le forze che agiscono (il diagramma di corpo libero), e scrivere le tre equazioni della statica.

Ripasso: forza e momento

Prima di tutto un ripasso veloce, perché tutto il resto si costruisce sopra: il momento di una forza rispetto a un punto (il polo) è il prodotto fra l’intensità della forza e la distanza perpendicolare fra la retta d’azione della forza e il polo:

M = F \cdot b

dove $b$ è il braccio. Per convenzione, un momento che tende a far ruotare in senso antiorario è positivo, uno che tende a far ruotare in senso orario è negativo (o viceversa, purché tu sia coerente in tutto l’esercizio). Una coppia è una coppia di forze uguali e opposte non allineate: il suo momento non dipende dal polo scelto, ma è l’unico caso in cui questo è vero — per una singola forza, il momento cambia con il polo, ed è proprio questo che useremo tra poco.

I vincoli nel piano

Nella statica delle travi, in un problema piano, i vincoli si classificano per quante reazioni introducono:

Vincolo	Simbolo	Reazioni	Cosa impedisce
Carrello (appoggio semplice)	triangolo su rotelle	1	Solo la traslazione perpendicolare all’appoggio
Cerniera	triangolo pieno	2	Traslazione orizzontale e verticale, non la rotazione
Incastro	tratteggio pieno	2 + 1 momento	Traslazione orizzontale, verticale e rotazione

Il carrello dà una sola reazione perché lascia libera la trave di scorrere lungo l’appoggio e di ruotare; la cerniera ne dà due perché blocca lo spostamento in entrambe le direzioni ma lascia ruotare; l’incastro blocca tutto, quindi oltre alle due reazioni di forza serve anche un momento reattivo che impedisce la rotazione.

Gradi di libertà e isostaticità

Una trave nel piano ha 3 gradi di libertà (due traslazioni e una rotazione). Perché sia in equilibrio senza essere né labile né sovravincolata, il numero totale di reazioni vincolari deve essere esattamente 3:

meno di 3 reazioni $\Rightarrow$ struttura labile (si muove, non è un problema di statica risolvibile con le sole equazioni di equilibrio);
esattamente 3 reazioni, disposte in modo da non essere tutte parallele o tutte concorrenti in un punto $\Rightarrow$ struttura isostatica (il caso che risolvi con le tre equazioni cardinali, quello di questo post);
più di 3 reazioni $\Rightarrow$ struttura iperstatica (le equazioni di equilibrio non bastano più, serve la scienza delle costruzioni per aggiungere le equazioni di congruenza — fuori portata in terza).

Una trave appoggiata cerniera-carrello ha $2 + 1 = 3$ reazioni: isostatica. Una mensola incastrata ha $2 + 1 = 3$ reazioni: isostatica anche lei, con un solo vincolo.

Il diagramma di corpo libero

Prima di scrivere qualunque equazione, disegna la trave isolata, sostituendo ogni vincolo con le reazioni che introduce, e segna tutti i carichi esterni (pesi, forze applicate, carichi distribuiti) con la loro direzione e il loro punto di applicazione. È il passaggio che la maggior parte degli errori salta — e infatti è dove nascono la maggior parte degli errori.

Le equazioni cardinali della statica

Con il diagramma di corpo libero pronto, l’equilibrio si scrive con tre equazioni:

\sum F_{x} = 0 \sum F_{y} = 0 \sum M_{P} = 0

dove $P$ è un polo scelto da te, non necessariamente un punto della trave. La scelta del polo è la parte “furba” del metodo: se scegli il polo in corrispondenza di un vincolo, il momento di quella reazione rispetto a sé stesso è zero, e quindi l’incognita sparisce dall’equazione. Con due vincoli (una cerniera e un carrello, per esempio), scegliendo il polo su uno dei due ottieni un’equazione con una sola incognita — la reazione dell’altro vincolo — che risolvi subito senza sistemi.

Carichi distribuiti

Un carico distribuito uniforme di intensità $q$ (in $N/m$ ) su un tratto di trave lungo $L$ si sostituisce, ai fini del calcolo delle reazioni, con la sua risultante: una forza concentrata di intensità $q \cdot L$ , applicata nel punto medio del tratto caricato. Un carico inclinato va invece scomposto nelle due componenti, orizzontale e verticale, prima di entrare nelle equazioni — esattamente come per i vettori.

L’errore tipico

Il più frequente: dimenticare il momento reattivo dell’incastro, trattandolo come se fosse una cerniera con due sole reazioni — la trave “sembra” in equilibrio nelle equazioni di forza, ma la rotazione non è bilanciata, e l’errore si scopre solo alla fine, se si scopre. Il secondo, quasi altrettanto comune: scegliere un polo che non elimina nessuna incognita (ad esempio il baricentro della trave, quando ci sono due vincoli sconosciuti), il che porta a un sistema di due equazioni in due incognite invece di due equazioni indipendenti già risolte una alla volta. Il terzo: perdere il segno di un momento a metà calcolo — conviene scrivere sempre esplicitamente “antiorario positivo” (o il contrario) all’inizio dell’esercizio e non cambiarlo più.

Tre esercizi svolti

Esercizio 1 — trave su cerniera e carrello, due carichi concentrati

Trave lunga $L = 6 m$ , cerniera in A (a sinistra), carrello in B (a destra). Due carichi verticali verso il basso: $P_{1} = 1000 N$ a $2 m$ da A, $P_{2} = 1500 N$ a $4 m$ da A.

Scelgo il polo in A, così la reazione orizzontale e verticale della cerniera non compaiono nel momento:

\sum M_{A} = 0 : R_{B} \cdot 6 - P_{1} \cdot 2 - P_{2} \cdot 4 = 0

R_{B} \cdot 6 = 1000 \cdot 2 + 1500 \cdot 4 = 2000 + 6000 = 8000 N m

R_{B} = \frac{8000}{6} = 1333, 3 N

Ora l’equilibrio verticale (non ci sono forze orizzontali, quindi la componente orizzontale della cerniera è nulla):

\sum F_{y} = 0 : R_{A} + R_{B} = P_{1} + P_{2} = 2500 N

R_{A} = 2500 - 1333, 3 = 1166, 7 N

Verifica con un polo diverso, B:

\sum M_{B} = 0 : R_{A} \cdot 6 - P_{1} \cdot 4 - P_{2} \cdot 2 = 0

R_{A} = \frac{1000 \cdot 4 + 1500 \cdot 2}{6} = \frac{4000 + 3000}{6} = \frac{7000}{6} = 1166, 7 N

Coincide: le reazioni sono corrette.

Esercizio 2 — stessa trave, carico distribuito uniforme

Stessa trave, cerniera-carrello, $L = 6 m$ , ma ora con un carico distribuito uniforme $q = 500 N/m$ su tutta la lunghezza. Sostituisco il carico con la sua risultante: $R = q \cdot L = 500 \cdot 6 = 3000 N$ , applicata nel punto medio, a $3 m$ da A.

\sum M_{A} = 0 : R_{B} \cdot 6 - 3000 \cdot 3 = 0 \Rightarrow R_{B} = \frac{9000}{6} = 1500 N

\sum F_{y} = 0 : R_{A} = 3000 - 1500 = 1500 N

Verifica con polo in B: $R_{A} \cdot 6 - 3000 \cdot 3 = 0 \Rightarrow R_{A} = 1500 N$ . Coerente — ed è anche il risultato che ci si aspetta per simmetria, essendo il carico centrato: le due reazioni sono uguali.

Esercizio 3 — mensola incastrata, carico concentrato inclinato

Trave a mensola (incastrata solo in A, libera in B), lunga $L = 2 m$ , orizzontale. All’estremità libera B agisce una forza $P = 1000 N$ , inclinata di $3 0^{\circ}$ verso il basso rispetto all’asse della trave.

Prima scompongo la forza nelle due componenti, lungo la trave e perpendicolare ad essa:

P_{x} = P cos 3 0^{\circ} = 1000 \cdot 0, 866 = 866, 0 N

P_{y} = P sin 3 0^{\circ} = 1000 \cdot 0, 5 = 500, 0 N

L’incastro reagisce con due forze e un momento. Equilibrio orizzontale e verticale:

\sum F_{x} = 0 : H_{A} = P_{x} = 866, 0 N

\sum F_{y} = 0 : V_{A} = P_{y} = 500, 0 N

Per il momento, scelgo il polo in A (l’incastro): la componente $P_{x}$ ha braccio nullo rispetto ad A perché agisce lungo l’asse della trave, quindi non contribuisce al momento. Contribuisce solo $P_{y}$ , con braccio $L$ :

\sum M_{A} = 0 : M_{A} - P_{y} \cdot L = 0 \Rightarrow M_{A} = 500 \cdot 2 = 1000 N m

Verifica con il polo in B, l’estremo libero: lì $P$ ha braccio nullo, restano la reazione verticale $V_{A}$ con braccio $L$ e il momento d’incastro. $M_{A} - V_{A} \cdot L = 1000 - 500 \cdot 2 = 0$ : torna. Se ti fosse venuto un numero diverso da zero, l’errore sarebbe nella scomposizione o nel segno di $M_{A}$ .

Su questo argomento specifico — le travi del tecnico — non c’è ancora una simulazione dedicata sul sito. La simulazione più vicina come prerequisiti, momento e equilibrio del corpo rigido, è su /simulazioni/verifiche-liceo/prima/corpo-rigido/: utile per ripassare la definizione di momento e le condizioni di equilibrio prima di affrontare le travi vincolate.

Se in classe siete partiti dai vettori e non li hai ancora consolidati, li trovi ripresi in Vettori e forze in terza superiore: scomporre senza goniometria e in Scomposizione delle forze: i vettori in terza senza trigonometria. Il passo successivo della meccanica al tecnico, dopo la statica, è la dinamica: ne parlo in Dinamica e piano inclinato in seconda superiore. E se questa strada ti porterà fino a ingegneria, il seguito naturale della statica all’università è in Meccanica razionale e dinamica: l’esame con Lagrange senza panico. Il quadro completo delle materie di fisica è su /materie/fisica/.

Se hai un esercizio di statica specifico che non ti torna, puoi chiedere una diagnosi gratuita su /contatti/.

Reazioni vincolari: esercizi di statica svolti