Thevenin e Norton: esercizi svolti

Fine settembre 2026: in terza all’istituto tecnico, nella materia Elettrotecnica ed elettronica (e in Telecomunicazioni, nell’articolazione Informatica e telecomunicazioni, dove il blocco di teoria dei circuiti è lo stesso), dopo le prime settimane su legge di Ohm e principi di Kirchhoff — di cui ho già scritto qui, tarato però sul taglio del professionale — si arriva a un metodo più potente per analizzare i circuiti: i teoremi di Thevenin e Norton. La prima verifica scritta su questo blocco cade tipicamente fra fine ottobre e metà novembre, quindi fra cinque e sette settimane da adesso.

Il salto rispetto a Kirchhoff è concettuale prima ancora che tecnico: invece di scrivere un sistema di equazioni per l’intero circuito, isoli la parte che ti interessa — di solito un carico, una resistenza o un ramo specifico — e sostituisci tutto il resto con un unico generatore equivalente. È un cambio di prospettiva che a molti studenti non torna subito, perché sembra “troppo comodo” per essere vero. Il punto di questo post è farti vedere perché funziona sempre, e darti un metodo che non lascia spazio all’improvvisazione quando arriva la verifica.

Cosa chiede davvero la verifica

Le tracce su Thevenin e Norton chiedono quasi sempre la stessa sequenza di passi: dato un circuito con uno o più generatori e resistori, calcolare la resistenza e il generatore equivalente visti da una coppia di morsetti (di solito quelli di un carico), poi usare quell’equivalente per trovare corrente e tensione sul carico stesso, e talvolta la potenza che il carico assorbe. Una minoranza di tracce chiede anche la conversione Thevenin↔Norton o la condizione di massimo trasferimento di potenza. Il resto — sovrapposizione degli effetti, altri metodi di analisi — compare più spesso come esercizio di contorno che come tema centrale.

Il metodo, passo per passo

1. La resistenza equivalente vista dai morsetti

Il primo passo, e quello dove si concentrano più errori, è calcolare $R_{t h}$ : la resistenza vista dai due morsetti di interesse con il carico staccato e con tutti i generatori spenti.

“Spegnere” un generatore significa:

un generatore di tensione ideale diventa un cortocircuito (un filo, resistenza zero);
un generatore di corrente ideale diventa un circuito aperto (interruzione, nessun collegamento).

Da qui, $R_{t h}$ è semplicemente la resistenza equivalente del circuito passivo risultante, calcolata con le normali regole di serie e parallelo che già usi con Kirchhoff.

2. La tensione a vuoto

$V_{t h}$ è la tensione che misureresti ai morsetti con il carico staccato, generatori accesi. Non è la tensione totale del circuito: è specificamente quella che il resto del circuito “offre” a chi si collegherà a quei due morsetti. Si calcola con Ohm e Kirchhoff sul circuito senza carico.

3. La corrente di cortocircuito (per Norton)

$I_{N}$ è la corrente che scorrerebbe se i due morsetti fossero collegati direttamente fra loro (in cortocircuito), sempre a carico staccato. Non serve calcolarla da zero se hai già $V_{t h}$ e $R_{t h}$ : vale sempre

I_{N} = \frac{V _{t h}}{R _{t h}}

4. L’equivalenza Thevenin ↔ Norton

I due circuiti equivalenti — un generatore di tensione $V_{t h}$ in serie a $R_{t h}$ , oppure un generatore di corrente $I_{N}$ in parallelo a $R_{t h}$ (la resistenza è la stessa in entrambi, $R_{N} = R_{t h}$ ) — producono esattamente lo stesso comportamento visto dai morsetti. La relazione che li lega è quella appena scritta, letta anche al contrario:

R_{t h} = \frac{V _{t h}}{I _{N}}

Puoi passare dall’uno all’altro ogni volta che il problema lo rende più comodo: Norton è spesso più naturale quando il circuito di partenza ha già generatori di corrente in parallelo.

5. Ricollegare il carico

Una volta ottenuto l’equivalente, ricollega il resistore di carico $R_{L}$ ai morsetti. Il circuito è ora banale: un solo generatore, due resistenze in serie (forma Thevenin) o in parallelo (forma Norton). Corrente e tensione sul carico si trovano con Ohm in una riga.

6. Massimo trasferimento di potenza

Una domanda classica di verifica: per quale valore di $R_{L}$ il carico assorbe la massima potenza possibile? La risposta, che si dimostra derivando $P_{L} (R_{L})$ e ponendo la derivata a zero, è

R_{L} = R_{t h}

In quel punto la potenza sul carico vale

P_{ma x} = \frac{V _{t h}^{2}}{4 R _{t h}}

Nota bene: questa condizione massimizza la potenza sul carico, non il rendimento del circuito — a $R_{L} = R_{t h}$ metà della potenza generata si dissipa comunque dentro $R_{t h}$ .

Dove si perdono i punti

Dimenticare di staccare il carico prima di calcolare $R_{t h}$ e $V_{t h}$ : se lasci $R_{L}$ collegato, sia la resistenza equivalente sia la tensione a vuoto che ottieni sono sbagliate, perché il carico stesso altera il circuito che stai analizzando.
Spegnere male i generatori: il refuso più comune è cortocircuitare un generatore di corrente (dovrebbe diventare un circuito aperto) o aprire un generatore di tensione (dovrebbe diventare un cortocircuito) — l’esatto contrario di quello che serve.
Errori di segno nella tensione a vuoto quando ci sono più generatori: definisci sempre un verso di riferimento per $V_{t h}$ prima di iniziare i calcoli, e mantienilo per tutto l’esercizio.
Confondere $R_{t h}$ vista dai morsetti con la resistenza totale del circuito: sono la stessa cosa solo in circuiti molto semplici a un solo ramo; in un circuito con più rami la resistenza vista dai morsetti tiene conto di come sono collegati fra loro rispetto a quei due punti specifici, non della somma di tutte le resistenze presenti.

Esercizio svolto 1 — partitore con carico

Un generatore ideale $V_{s} = 12 V$ alimenta un partitore: $R_{1} = 6 Ω$ in serie fra il generatore e un nodo A, e da A a massa $R_{2} = 3 Ω$ . Un carico $R_{L} = 2 Ω$ è collegato fra il nodo A e massa. Trova corrente e potenza sul carico usando Thevenin.

Passo 1 — stacca $R_{L}$ e calcola $R_{t h}$ . Con il generatore spento (sostituito da un cortocircuito), $R_{1}$ e $R_{2}$ risultano in parallelo visti dai morsetti A-massa:

R_{t h} = \frac{R _{1} \cdot R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 Ω

Passo 2 — calcola $V_{t h}$ . Con $R_{L}$ staccato, il circuito è un semplice partitore di tensione fra $R_{1}$ e $R_{2}$ :

V_{t h} = V_{s} \cdot \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 12 \cdot \frac{3}{9} = 4 V

Passo 3 — ricollega $R_{L}$ all’equivalente. Ora il circuito è $V_{t h} = 4 V$ in serie con $R_{t h} = 2 Ω$ e $R_{L} = 2 Ω$ :

I_{L} = \frac{V _{t h}}{R _{t h} + R _{L}} = \frac{4}{2 + 2} = 1 A

P_{L} = I_{L}^{2} \cdot R_{L} = 1^{2} \cdot 2 = 2 W

Esercizio svolto 2 — due generatori sullo stesso nodo

Due rami sono collegati in parallelo fra un nodo A e massa: il primo ha un generatore $V_{1} = 8 V$ in serie a $R_{1} = 4 Ω$ , il secondo un generatore $V_{2} = 4 V$ in serie a $R_{2} = 12 Ω$ . Un carico $R_{L} = 4 Ω$ è collegato fra A e massa. Trova la corrente sul carico.

Passo 1 — $R_{t h}$ . Con entrambi i generatori spenti (cortocircuitati), $R_{1}$ e $R_{2}$ sono in parallelo:

R_{t h} = \frac{R _{1} \cdot R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{4 \cdot 12}{16} = 3 Ω

Passo 2 — $V_{t h}$ . Con $R_{L}$ staccato, i due rami condividono il nodo A: uso Kirchhoff alle correnti nel nodo, indicando con $V_{A}$ la tensione (incognita) del nodo rispetto a massa. La corrente che esce dal ramo 1 verso A è $(V_{1} - V_{A}) / R_{1}$ , quella che esce dal ramo 2 è $(V_{2} - V_{A}) / R_{2}$ , e la loro somma deve essere zero (nessuna corrente esce verso il carico, staccato):

\frac{V _{1} - V _{A}}{R _{1}} + \frac{V _{2} - V _{A}}{R _{2}} = 0

\frac{8 - V _{A}}{4} + \frac{4 - V _{A}}{12} = 0

Moltiplico tutto per 12:

3 (8 - V_{A}) + (4 - V_{A}) = 0 \Rightarrow 24 - 3 V_{A} + 4 - V_{A} = 0 \Rightarrow 28 = 4 V_{A} \Rightarrow V_{A} = 7 V

Quindi $V_{t h} = 7 V$ .

Passo 3 — ricollega $R_{L}$ .

I_{L} = \frac{V _{t h}}{R _{t h} + R _{L}} = \frac{7}{3 + 4} = 1 A

P_{L} = I_{L}^{2} \cdot R_{L} = 1^{2} \cdot 4 = 4 W

Esercizio svolto 3 — da Thevenin a Norton e massimo trasferimento

Riprendi l’equivalente Thevenin dell’esercizio 1 ( $V_{t h} = 4 V$ , $R_{t h} = 2 Ω$ , carico staccato). Trova l’equivalente Norton e verifica la condizione di massimo trasferimento di potenza.

Equivalente Norton.

I_{N} = \frac{V _{t h}}{R _{t h}} = \frac{4}{2} = 2 A, R_{N} = R_{t h} = 2 Ω

Il circuito Norton equivalente è un generatore di corrente da $2 A$ in parallelo a $2 Ω$ .

Massimo trasferimento di potenza. Il carico assorbe la massima potenza quando $R_{L} = R_{t h} = 2 Ω$ :

P_{ma x} = \frac{V _{t h}^{2}}{4 R _{t h}} = \frac{4 ^{2}}{4 \cdot 2} = \frac{16}{8} = 2 W

Verifica diretta con $R_{L} = 2 Ω$ : $I_{L} = V_{t h} / (R_{t h} + R_{L}) = 4/4 = 1 A$ , quindi $P_{L} = 1^{2} \cdot 2 = 2 W$ — coincide, come deve.

Nota che questo è lo stesso circuito dell’esercizio 1, ma lì il carico era $R_{L} = 2 Ω$ , che è già il valore di massimo trasferimento: non è un caso, l’ho scelto apposta per farti vedere che $P_{L} = 2 W$ ottenuta lì è già la potenza massima possibile per quel circuito, qualunque altro valore di $R_{L}$ tu scelga.

Dove porta dopo

Thevenin e Norton restano lo strumento di riferimento anche quando, più avanti nell’anno, si passa dalla corrente continua alla corrente alternata e ai fasori: lo stesso metodo si applica con le impedenze complesse al posto delle resistenze pure. Anche la sovrapposizione degli effetti, che qui ho solo citato, torna utile come metodo alternativo quando un circuito ha più generatori e vuoi calcolare il contributo di ciascuno separatamente prima di sommarli.

Come lavoro su questo argomento in lezione

Il problema che vedo più spesso non è capire la teoria in astratto, ma applicarla a schemi via via più complessi senza perdere il filo di quali generatori sono accesi o spenti in ogni passo. In lezione lavoriamo su schemi progressivamente più articolati, e insisto sempre sul controllo finale: se hai calcolato bene, l’equivalente Thevenin e quello Norton devono dare esattamente la stessa corrente e la stessa tensione sul carico, qualunque sia il valore di $R_{L}$ che scegli per verificare.

Sui circuiti una simulazione online non c’è ancora: le verifiche già disponibili sono nella categoria simulazioni per le superiori. Per il resto della fisica di indirizzo trovi il quadro nella pagina di fisica, e se vuoi una mano puoi scrivermi dai contatti: la prima chiamata conoscitiva è gratuita e dura mezz’ora.

Teorema di Thevenin e Norton: il metodo con esercizi