Porte logiche e mappe di Karnaugh: esercizi svolti

Fine settembre 2026, terza al tecnico: sia nell’articolazione Informatica e telecomunicazioni sia negli indirizzi meccanico ed elettrotecnico, il primo trimestre porta la logica combinatoria — porte AND/OR/NOT, tabelle di verità, e il pezzo che fa davvero la differenza in verifica, le mappe di Karnaugh. In Sistemi/Elettronica arriva insieme all’algebra di Boole; in Meccanica dentro il modulo di elettrotecnica ed è propedeutica alla pneumatica. In entrambi i casi il modulo si fa fra ottobre e novembre, e la prima verifica cade tipicamente fra sei e nove settimane da adesso — quindi tra fine novembre e dicembre.

Il problema che quasi tutti hanno non è capire cosa fa una porta AND: è arrivare da una tabella di verità o da un enunciato a parole a un circuito semplificato, senza sbagliare un segno o dimenticare un’adiacenza sui bordi della mappa. Qui trovi il metodo completo, passo dopo passo, con tre esercizi svolti e verificati.

Le porte logiche di base

Una porta logica prende in ingresso uno o più bit (0 o 1) e restituisce in uscita un bit, secondo una regola fissa. Le sei porte che servono in terza:

NAND e NOR si chiamano porte “universali”: con sole porte NAND (o sole NOR) si costruisce qualunque altra porta, compresa la NOT (basta collegare i due ingressi di una NAND allo stesso segnale). In verifica di solito basta saperlo dire, non serve dimostrarlo.

Algebra di Boole: le proprietà che usi per semplificare a mano

Prima di arrivare alle mappe di Karnaugh, alcune proprietà si usano anche per semplificare “a occhio” un’espressione:

• Identità: $A+0=A$, $A\cdot 1=A$.
• Dominanza: $A+1=1$, $A\cdot 0=0$.
• Idempotenza: $A+A=A$, $A\cdot A=A$.
• Complemento: $A+\overline{A}=1$, $A\cdot \overline{A}=0$.
• Distributiva: $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$.
• Assorbimento: $A+A\cdot B=A$.

Le due che compaiono più spesso in verifica sono i teoremi di De Morgan:

In parole: la negazione di un AND è l’OR delle negazioni, e viceversa. Servono per riscrivere un’espressione con NAND/NOR quando il circuito finale deve usare solo quel tipo di porta, e per “portare dentro” una negazione che sta su tutta un’espressione tra parentesi.

Dalla tabella di verità alla somma di prodotti (mintermini)

Una funzione logica si può sempre scrivere come somma di prodotti (SOP, Sum Of Products): per ogni riga della tabella di verità in cui l’uscita vale 1, scrivi il prodotto (AND) di tutte le variabili — non negata se vale 1 in quella riga, negata se vale 0 — poi sommi (OR) tutti questi prodotti. Ogni prodotto così ottenuto si chiama mintermine.

Esempio: se $F(A,B,C)=1$ per le righe $ABC=001$ e $ABC=110$, i due mintermini sono $\overline{A}\overline{B}C$ e $AB\overline{C}$, e $F=\overline{A}\overline{B}C+AB\overline{C}$. Questa forma è sempre corretta ma quasi mai la più semplice: è il punto di partenza, non l’arrivo. Le mappe di Karnaugh servono esattamente a ridurla al minimo numero di porte.

Mappe di Karnaugh: come si costruiscono

Una mappa di Karnaugh è una tabella di verità riorganizzata in una griglia, in modo che due celle adiacenti differiscano per una sola variabile. Questo si ottiene ordinando righe e colonne non in ordine binario normale ma in codice Gray (00, 01, 11, 10): a ogni passo cambia un solo bit.

• 2 variabili: una riga per A (0,1), una colonna per B (0,1) — 4 celle.
• 3 variabili: righe AB in ordine Gray (00, 01, 11, 10), colonna C (0, 1) — 8 celle.
• 4 variabili: righe AB in ordine Gray, colonne CD in ordine Gray — 16 celle.

Ogni cella corrisponde a una riga della tabella di verità: ci scrivi 1 se la funzione vale 1 in quella combinazione, 0 altrimenti (o “X” per un don’t care, una combinazione che nella pratica non si presenta mai e che puoi trattare come 0 o come 1, a seconda di cosa conviene per semplificare di più).

Come si raggruppa

Una volta riempita la mappa, si cercano gruppi rettangolari di 1 adiacenti, di dimensione una potenza di due: 1, 2, 4, 8, 16 celle. Regole:

1. Ogni gruppo deve contenere solo 1 (o don’t care usati come 1), mai uno 0.
2. I gruppi più grandi possibile vincono: un gruppo di 4 elimina più variabili di due gruppi di 2 che coprono le stesse celle.
3. Le adiacenze valgono anche sui bordi: l’ultima colonna è adiacente alla prima, l’ultima riga è adiacente alla prima. La mappa va pensata come se si “arrotolasse” su sé stessa, sia in orizzontale sia in verticale. È l’errore più comune: fermarsi ai bordi del foglio come se fossero i bordi della mappa.
4. Ogni gruppo produce un termine (prodotto) nell’espressione finale: le variabili che cambiano valore dentro il gruppo spariscono, restano solo quelle che rimangono costanti (scritte non negate se costanti a 1, negate se costanti a 0).
5. La funzione semplificata è la somma (OR) di tutti i termini dei gruppi scelti, coprendo tutti gli 1 della mappa col minor numero di gruppi possibile.

Esercizio 1 — semplificazione a 3 variabili

$F(A,B,C)$ vale 1 per i mintermini 1, 3, 5, 7 (cioè $ABC=001,011,101,111$).

La colonna $C=1$ è tutta di 1: è un gruppo di 4 celle (l’intera colonna). Dentro questo gruppo A e B cambiano liberamente da riga a riga, quindi spariscono entrambe; resta solo C, che vale sempre 1 nel gruppo.

Da un enunciato con tre variabili, il circuito finale è un singolo filo: nessuna porta serve, perché l’uscita coincide sempre con l’ingresso C. Capita raramente in verifica in questa forma pulita, ma è l’esempio più chiaro per vedere il meccanismo prima di complicarlo.

Esercizio 2 — 4 variabili, con adiacenza sui bordi

$F(A,B,C,D)$ vale 1 per i mintermini 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10, 11.

Le righe $AB=00$ e $AB=10$ sono entrambe tutte di 1. Sono la prima e l’ultima riga della mappa: non sono adiacenti sul foglio, ma lo sono per la regola del bordo (l’ultima riga si “arrotola” sulla prima). Insieme formano un gruppo di 8 celle — l’intera coppia di righe. Dentro questo gruppo A cambia (0 nella prima riga, 1 nella seconda), C e D cambiano liberamente lungo tutta la riga: tutte e tre spariscono. L’unica variabile costante nel gruppo è B, sempre 0.

Chi non pensa alla mappa come un toro qui vede solo due gruppi di 4 separati (le due righe prese singolarmente) e si ferma a $F=\overline{A}\overline{B}+A\overline{B}$: è un’espressione corretta ma non minima — che, applicando la distributiva, si riduce comunque a $\overline{B}(\overline{A}+A)=\overline{B}$. Vederlo direttamente come un solo gruppo di 8 sulla mappa evita il passaggio in più.

Esercizio 3 — problema a parole: un allarme a maggioranza

Un sistema di sicurezza ha tre sensori A, B, C. L’allarme deve scattare se almeno due sensori su tre rilevano un’anomalia (1 = anomalia rilevata). Progetta la funzione logica dell’allarme F e semplificala.

Prima si scrive la tabella di verità contando quanti input sono a 1 per ogni riga: F vale 1 quando la somma di A+B+C è almeno 2, cioè per $ABC=011,101,110,111$ (mintermini 3, 5, 6, 7).

Qui non c’è un gruppo unico grande: ci sono tre gruppi di 2 celle che si sovrappongono, ognuno obbligato perché nessuna coppia più grande è possibile senza includere uno 0.

• $AB=11$ (entrambe le celle, C libera) → $A\cdot B$
• $AB=01$ e $AB=11$ con $C=1$ (colonna destra, righe 01-11 adiacenti) → $B\cdot C$
• $AB=11$ e $AB=10$ con $C=1$ (colonna destra, righe 11-10 adiacenti) → $A\cdot C$

Il circuito finale ha tre porte AND (una per ogni coppia di sensori) e una porta OR a tre ingressi che le somma: se almeno due AND si accendono insieme, basta una sola coppia per far scattare l’allarme, ed è esattamente la regola “maggioranza di 3” richiesta.

Errori tipici

• Ignorare le adiacenze sui bordi (esercizio 2 qui sopra): porta quasi sempre a un’espressione corretta ma non minima.
• Dimenticare i coefficienti/pesi delle variabili: scrivere un mintermine con la variabile normale invece che negata (o viceversa) per una riga letta di fretta.
• Fare gruppi che non sono potenze di due (3, 5, 6 celle): non sono ammessi, vanno sempre spezzati in gruppi da 1, 2, 4, 8…
• Non prendere il gruppo più grande possibile: usare due gruppi di 2 dove un solo gruppo di 4 coprirebbe le stesse celle produce un’espressione valida ma con un termine di troppo.
• Confondere AND e OR nella lettura finale: i gruppi si sommano (OR) tra loro, ma dentro ogni gruppo le variabili costanti si moltiplicano (AND).

Verifica incrociata: come controllare da solo il risultato

Prima di consegnare, il modo più affidabile per controllare una semplificazione è ricostruire la tabella di verità della funzione semplificata e confrontarla, riga per riga, con quella di partenza: devono coincidere esattamente, in ogni riga. Non basta “sembrare giusta” — un solo bit diverso in una sola riga significa un gruppo scelto male. È lo stesso controllo che ho usato per verificare i tre esercizi sopra prima di scriverli.

Su questo argomento una simulazione dedicata non c’è ancora: trovi le simulazioni per la scuola per matematica e fisica, non ancora per informatica. Se vuoi ripassare le basi prima di arrivare qui, il punto di partenza è binario ed esadecimale in prima al tecnico; il passo successivo del programma di terza è complemento a 2 e virgola mobile, e le porte che studi qui sono gli stessi mattoni con cui è costruita la CPU descritta in architettura di Von Neumann e CPU. Il quadro completo della materia è su informatica. Se vuoi una mano con la verifica di logica combinatoria, parti da una chiamata conoscitiva gratuita.