Meccanica razionale: l'esame con Lagrange

Meccanica Razionale (o Dinamica, a seconda del piano di studi) è l’esame in cui la fisica del liceo — forze, accelerazioni, $F = ma$ — smette di bastare, e serve un linguaggio nuovo: coordinate generalizzate, energia cinetica di un corpo rigido, equazioni di Lagrange. Molti studenti lo vivono come un salto enorme, ma il metodo è in realtà molto più meccanico (in senso buono) di quanto sembri: una volta che sai scrivere $T$ e $V$ di un sistema, le equazioni del moto escono quasi da sole derivando.

Qui ti porto il percorso che uso con i miei studenti: cosa chiede l’esame, dove si perdono i punti, il metodo passo per passo, e due esercizi classici svolti fino in fondo — un pendolo su un carrello mobile e un disco che rotola, i due esempi che tornano più spesso nei compiti.

Cosa chiede l’esame

La struttura tipica, in quasi tutti i corsi di ingegneria che includono Meccanica Razionale, è uno scritto con un sistema meccanico (uno o due gradi di libertà: un pendolo, un disco, un’asta, un carrello, spesso combinati) su cui ti viene chiesto di:

Individuare i gradi di libertà e scegliere le coordinate generalizzate.
Scrivere l’energia cinetica $T$ e l’energia potenziale $V$ del sistema.
Ricavare le equazioni di Lagrange del moto.
Trovare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità.
Linearizzare attorno a un equilibrio stabile e trovare la frequenza (o le frequenze) delle piccole oscillazioni.
A volte, calcolare le reazioni vincolari con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange o con l’equazione della quantità di moto/momento della quantità di moto.

Il filo conduttore: dal sistema fisico ai numeri finali (posizione di equilibrio, frequenza propria) passando sempre dalla stessa sequenza — coordinate, $T$ e $V$ , equazioni, linearizzazione. Impararla come sequenza fissa è quello che toglie l’ansia da foglio bianco.

Dove si perdono i punti, in concreto

Energia cinetica del corpo rigido incompleta. Per un corpo rigido, il teorema di König dà $T = \frac{1}{2} m v_{G}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ : il termine di traslazione del centro di massa e il termine di rotazione attorno al centro di massa. Dimenticare uno dei due (quasi sempre quello rotazionale, se il corpo “sembra” muoversi solo in traslazione) è l’errore più frequente in assoluto.
Vincoli di puro rotolamento scritti male. Se un disco di raggio $R$ rotola senza strisciare, il vincolo è $v = R \dot{θ}$ (o $\overset{x}{˙} = R \dot{θ}$ ): va scritto prima di calcolare $T$ , per esprimere tutto in un’unica coordinata generalizzata. Usare $x$ e $θ$ come se fossero indipendenti quando in realtà sono legate dal vincolo produce equazioni sbagliate fin dall’inizio.
Segno dell’energia potenziale gravitazionale. $V = m g h$ dove $h$ è la quota rispetto a un riferimento a tua scelta — ma va scelto una volta e mantenuto coerente per tutto l’esercizio. Cambiare convenzione a metà (positivo verso l’alto in un punto, verso il basso in un altro) è la causa numero uno di equazioni di Lagrange con il segno di gravità sbagliato.
Equilibrio: cercarlo sulle equazioni del moto invece che su $V$ . Per sistemi conservativi, le posizioni di equilibrio sono i punti critici del potenziale, $\partial V / \partial q_{i} = 0$ per ogni coordinata — non serve scrivere le equazioni di Lagrange complete e poi porre $\overset{q}{˙} = \overset{q}{¨} = 0$ : è uno spreco di tempo (anche se il risultato coincide, se hai fatto tutto giusto).
Stabilità dedotta “a occhio” invece che dal segno della derivata seconda. Il criterio di Lagrange-Dirichlet è preciso: un equilibrio è stabile se è un minimo locale di $V$ , cioè se $\partial^{2} V / \partial q^{2} > 0$ (in un sistema a un grado di libertà; per più gradi di libertà serve che la matrice Hessiana sia definita positiva). “Sembra stabile perché è in basso” non è una dimostrazione.
Piccole oscillazioni: linearizzare le equazioni, ma dimenticare di linearizzare anche l’energia cinetica. $T$ va valutata (i coefficienti che moltiplicano $\overset{q}{˙}^{2}$ ) nella configurazione di equilibrio, non lasciata con $cos θ$ e $sin θ$ generici: altrimenti il sistema linearizzato che ottieni non è più lineare, ed è un controsenso.
Confondere l’ordine di troncamento. Per l’equilibrio serve $V$ fino al second’ordine (la derivata seconda decide la stabilità); per le equazioni del moto linearizzate serve $sin θ \approx θ$ , $cos θ \approx 1$ al prim’ordine nelle equazioni, ma la massa generalizzata va presa al valore che ha esattamente all’equilibrio (ordine zero). Mischiare gli ordini di troncamento produce equazioni linearizzate sbagliate.

Il metodo, passo per passo

1. Coordinate generalizzate

Conta i gradi di libertà: numero di coordinate indipendenti necessarie a descrivere la configurazione, dopo aver imposto tutti i vincoli (rigidità, rotolamento, guide). Scegli le coordinate che rendono $T$ e $V$ più semplici da scrivere — di solito angoli per le rotazioni, posizioni lineari per le traslazioni libere.

2. Energia cinetica (teorema di König)

Per ogni corpo rigido del sistema:

T = \frac{1}{2} m v_{G}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}

dove $v_{G}$ è la velocità del centro di massa, $ω$ la velocità angolare, $I_{G}$ il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico perpendicolare al moto. Somma i contributi di tutti i corpi del sistema, esprimendo tutto nelle coordinate generalizzate scelte (usando i vincoli per eliminare le coordinate dipendenti).

3. Energia potenziale

Gravità: $V_{g} = m g h (q)$ , con $h$ funzione delle coordinate scelte. Molle: $V_{k} = \frac{1}{2} k δ (q)^{2}$ , con $δ$ l’allungamento rispetto alla lunghezza a riposo. Somma tutti i contributi conservativi.

4. Equazioni di Lagrange

Con $L = T - V$ :

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q _{i}} = 0, i = 1, \dots, n

Se invece ci sono forze non conservative $Q_{i}$ — l’attrito, tipicamente — la stessa equazione si scrive separando energia cinetica e potenziale, con il termine forzante a destra:

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q ˙ _{i}} - \frac{\partial T}{\partial q _{i}} + \frac{\partial V}{\partial q _{i}} = Q_{i}

Una equazione per ogni coordinata generalizzata. Se una coordinata non compare in $L$ (solo la sua derivata $\overset{q}{˙}_{i}$ ), è ciclica: la quantità $\partial L / \partial \overset{q}{˙}_{i}$ si conserva, ed è spesso la scorciatoia più veloce per risolvere il problema (tipicamente una quantità di moto o un momento angolare).

5. Equilibrio e stabilità

Per un sistema conservativo, gli equilibri sono i punti critici di $V (q)$ :

\frac{\partial V}{\partial q _{i}} = 0 \forall i

Stabilità (Lagrange-Dirichlet): l’equilibrio è stabile se $V$ ha un minimo locale lì — a un grado di libertà, $V^{''} (q_{e q}) > 0$ .

6. Piccole oscillazioni

Linearizzi attorno a un equilibrio stabile $q_{e q}$ : scrivi $q = q_{e q} + ε$ , sviluppi $T$ e $V$ al second’ordine in $ε, \overset{ε}{˙}$ (i coefficienti di $T$ valutati in $q_{e q}$ ), e ottieni un’equazione del tipo $m_{e q} \overset{ε}{¨} + k_{e q} ε = 0$ , con:

ω^{2} = \frac{k _{e q}}{m _{e q}}, k_{e q} = \frac{\partial ^{2} V}{\partial q ^{2}}_{q_{e q}}, m_{e q} = coefficiente di \overset{q}{˙}^{2} in T a q = q_{e q}

Due esercizi classici svolti

Esercizio 1 — Pendolo su carrello mobile

Un carrello di massa $M$ scorre senza attrito su un piano orizzontale; un pendolo di massa $m$ e lunghezza $l$ è incernierato al carrello, con $θ$ misurato dalla verticale verso il basso. Coordinate generalizzate: $X$ (posizione del carrello), $θ$ (angolo del pendolo).

Posizione della massa pendolare: $x_{p} = X + l sin θ$ , $y_{p} = - l cos θ$ . Derivando:

\overset{x}{˙}_{p} = \dot{X} + l cos θ \dot{θ}, \overset{y}{˙}_{p} = l sin θ \dot{θ}

T = \frac{1}{2} M \dot{X}^{2} + \frac{1}{2} m (\dot{X}^{2} + 2 l cos θ \dot{X} \dot{θ} + l^{2} \dot{θ}^{2}), V = - m g l cos θ

$X$ non compare in $T$ né in $V$ : è una coordinata ciclica. La sua equazione di Lagrange dà direttamente una legge di conservazione:

\frac{d}{d t} [(M + m) \dot{X} + m l cos θ \dot{θ}] = 0

(la quantità di moto orizzontale totale del sistema si conserva — sensato, perché non ci sono forze orizzontali esterne). L’equazione per $θ$ , dopo aver derivato e semplificato (i termini in $\dot{θ} \dot{X}$ si cancellano esattamente), si riduce a:

l \ddot{θ} + \ddot{X} cos θ + g sin θ = 0

Equilibrio: $θ = 0$ (pendolo verticale verso il basso, $V$ minimo, $V^{''} (0) = m g l > 0$ : stabile) e $θ = π$ (verticale verso l’alto, $V^{''} (π) = - m g l < 0$ : instabile) — esattamente quello che ti aspetti fisicamente.

Piccole oscillazioni attorno a $θ = 0$ : linearizzando ( $cos θ \approx 1$ , $sin θ \approx θ$ , $\dot{θ}^{2} \approx 0$ ) l’equazione di conservazione della quantità di moto dà $\ddot{X} \approx - \frac{m l}{M + m} \ddot{θ}$ ; sostituendo nell’equazione di $θ$ :

l \ddot{θ} - \frac{m l}{M + m} \ddot{θ} + g θ = 0 ⟹ \ddot{θ} + \frac{g ( M + m )}{l M} θ = 0

ω^{2} = \frac{g ( M + m )}{l M}

Se il carrello è molto più pesante del pendolo ( $M \to \infty$ ), $ω^{2} \to g / l$ : ritrovi il pendolo semplice, come deve essere. Con un carrello leggero, la frequenza è più alta — il sistema oscilla più in fretta perché il carrello stesso partecipa al moto, accorciando la “lunghezza efficace” del pendolo.

Esercizio 2 — Disco che rotola contro una molla

Un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $R$ rotola senza strisciare su un piano orizzontale; il suo centro è collegato a una parete fissa da una molla di rigidezza $k$ (a riposo quando il centro è nell’origine). Coordinata generalizzata: $x$ , posizione del centro del disco.

Vincolo di rotolamento: $\dot{θ} = \overset{x}{˙} / R$ . Momento d’inerzia del disco rispetto al proprio asse: $I_{G} = \frac{1}{2} m R^{2}$ .

T = \frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2} + \frac{1}{2} I_{G} \dot{θ}^{2} = \frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m R^{2}) \frac{x ˙ ^{2}}{R ^{2}} = \frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2} + \frac{1}{4} m \overset{x}{˙}^{2} = \frac{3}{4} m \overset{x}{˙}^{2}

V = \frac{1}{2} k x^{2}

Lagrangiana $L = \frac{3}{4} m \overset{x}{˙}^{2} - \frac{1}{2} k x^{2}$ . L’equazione di Lagrange:

\frac{d}{d t} (\frac{3}{2} m \overset{x}{˙}) - (- k x) = 0 ⟹ \frac{3}{2} m \overset{x}{¨} + k x = 0 ⟹ \overset{x}{¨} + \frac{2 k}{3 m} x = 0

ω^{2} = \frac{2 k}{3 m}

Confrontalo con una massa puntiforme $m$ attaccata alla stessa molla senza rotolare: sarebbe $ω^{2} = k / m$ , più veloce. Il disco oscilla più lentamente perché una parte dell’energia cinetica va nella rotazione, non nella traslazione: è come se la molla dovesse muovere una “massa efficace” di $\frac{3}{2} m$ invece di $m$ . È il tipo di risultato che, una volta visto una volta, riconosci all’istante in ogni esercizio con rotolamento.

Come lavoriamo nelle lezioni

Su Meccanica Razionale lavoro sempre partendo dal disegno del sistema fatto a mano — dove sono le coordinate, dove sono i vincoli, cosa è collegato a cosa — perché la maggior parte degli errori che vedo nascono da un vincolo scritto male molto prima di arrivare alle equazioni di Lagrange. Solo dopo aver fissato coordinate, $T$ e $V$ senza ambiguità passiamo alla derivazione, che a quel punto è quasi meccanica.

Rifacciamo insieme gli esercizi delle tue esercitazioni e dei compiti degli anni passati, con particolare attenzione a equilibrio e piccole oscillazioni: sono la parte che nella mia esperienza vale più punti e viene capita peggio, perché richiede di collegare un risultato algebrico (il segno di una derivata seconda) a un’intuizione fisica (stabile o no).

Per il quadro generale di come lavoro sulla fisica universitaria trovi la pagina di fisica; se il tuo corso di meccanica razionale richiede anche solide basi di analisi (derivate, sviluppi di Taylor per la linearizzazione), guarda anche la pagina di matematica.

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Meccanica razionale e dinamica: l'esame con Lagrange senza panico