Proporzionalità diretta e inversa

Fine settembre 2026: in prima al liceo scientifico la fisica è partita dalle misure — Sistema Internazionale, notazione scientifica, cifre significative, il calcolo degli errori. È il capitolo che dà più pensieri a inizio anno, ma non è quello su cui cade la prima verifica vera: quella arriva quando il programma passa ai grafici e alla proporzionalità, argomento che di solito parte a ottobre e su cui la verifica si concentra fra quattro e sette settimane da adesso, quindi tra fine ottobre e novembre. È un capitolo che non resta chiuso in fisica: la stessa idea di “rapporto costante” torna identica in chimica quando si calcola la densità, e in matematica quando si studia la funzione lineare.

Proporzionalità diretta e inversa: come riconoscerle da una tabella

Il professore quasi sempre parte da un esperimento — un carrello su una rotaia, un peso appeso a una molla, un gas in un cilindro — e ti dà una tabella di dati misurati: due colonne di numeri, una grandezza indipendente e una dipendente. Il compito è duplice: primo, disegnare il grafico giusto; secondo, riconoscere che tipo di legame lega le due grandezze. Sono due competenze diverse e la verifica le controlla entrambe, spesso nello stesso esercizio.

Dalla tabella al grafico

Prima regola, banale ma è la prima cosa che un professore controlla: gli assi vanno etichettati con nome della grandezza e unità di misura (es. “tempo $t$ (s)”), non solo con una lettera. Seconda regola: la scala su ogni asse deve essere uniforme — non puoi mettere 0, 1, 2, 5, 10 a distanze uguali sul foglio. Terza: i punti si segnano con una crocetta precisa, mai un pallino grosso che copre mezzo quadretto, perché è da lì che si legge la pendenza o si traccia la curva di interpolazione.

Una volta segnati i punti, la forma del grafico ti dice già molto: una retta che passa per l’origine, una retta che non ci passa, una curva che scende sempre di più (iperbole) o una curva che sale sempre più ripida (parabola). Sono quattro forme diverse, e a ciascuna corrisponde un tipo di legame diverso.

Proporzionalità diretta

Due grandezze $x$ e $y$ sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto è costante:

\frac{y}{x} = k

dove $k$ è la costante di proporzionalità. Riscritta come $y = k x$ , questa è l’equazione di una retta che passa per l’origine — e infatti il test grafico più veloce è proprio questo: se la retta che unisci ai punti passa per $(0, 0)$ , hai proporzionalità diretta. Il test sulla tabella è ancora più veloce: dividi ogni $y$ per il corrispondente $x$ . Se il rapporto è sempre lo stesso (a meno degli errori di misura), è diretta.

La costante $k$ non è un numero puro: ha un’unità di misura, ed è quella che dà senso fisico al grafico. Se $x$ è un volume in $c m^{3}$ e $y$ una massa in grammi, $k$ è una densità e si misura in $g/c m^{3}$ . Sul grafico, $k$ è esattamente la pendenza della retta.

Dipendenza lineare non proporzionale

Attenzione a non confondere “proporzionale” con “lineare”: una retta che non passa per l’origine descrive comunque un legame lineare, del tipo

y = k x + q

ma non è una proporzionalità diretta, perché il rapporto $y / x$ cambia punto per punto (mentre la pendenza resta costante). Capita spesso in fisica: una molla che parte già allungata, un termometro che segna un valore diverso da zero a riposo. Chiamare “direttamente proporzionale” una qualsiasi retta che cresce è l’errore più comune in assoluto — vedi più sotto.

Proporzionalità inversa

Due grandezze sono inversamente proporzionali quando è il loro prodotto a restare costante:

x \cdot y = k

cioè $y = k / x$ . Il grafico è un ramo di iperbole equilatera: parte alto vicino all’asse $y$ e scende avvicinandosi sempre di più all’asse $x$ , senza mai toccarlo. Il test sulla tabella: moltiplica ogni coppia di valori. Se il prodotto è costante, è inversa. Fisicamente, la legge di Boyle sui gas è l’esempio da manuale:

p \cdot V = costante (a temperatura costante)

se il volume di un gas si dimezza, la pressione raddoppia.

Proporzionalità quadratica

C’è un terzo caso, meno battuto ma che compare comunque nel programma di prima: la proporzionalità quadratica, in cui è il rapporto fra $y$ e $x^{2}$ a essere costante:

\frac{y}{x ^{2}} = k \Rightarrow y = k x^{2}

Il grafico è un ramo di parabola con vertice nell’origine. L’esempio fisico più naturale è lo spazio percorso in una caduta libera (o più in generale in un moto uniformemente accelerato che parte da fermo):

s = \frac{1}{2} g t^{2}

dove lo spazio $s$ cresce con il quadrato del tempo, non con il tempo. Il test sulla tabella: dividi ogni $y$ per $x^{2}$ (non per $x$ ); se il risultato è costante, è quadratica. Se il grafico $y$ - $x$ è una curva che sale sempre più ripida e non riesci a distinguerla a occhio da un’iperbole capovolta, questo è il modo per toglierti il dubbio senza indovinare.

La linearizzazione

Un trucco che i professori spesso chiedono esplicitamente: se sospetti una proporzionalità inversa, invece di disegnare $y$ contro $x$ disegna $y$ contro $1/ x$ — se il legame è davvero $y = k / x$ , quel grafico è una retta che passa per l’origine, molto più facile da leggere di un’iperbole a occhio. Allo stesso modo, se sospetti una quadratica, disegna $y$ contro $x^{2}$ : se è davvero $y = k x^{2}$ , ottieni di nuovo una retta per l’origine. Questa tecnica si chiama linearizzazione ed è il modo in cui, anche in laboratorio all’università, si verifica una legge fisica senza dover “indovinare” la forma della curva.

L’errore tipico: chiamare proporzionale ciò che cresce e basta

L’errore più frequente che vedo correggere in verifica non è di calcolo, è di lessico fisico: lo studente vede due grandezze che crescono insieme e scrive “sono direttamente proporzionali” — anche quando la retta non passa per l’origine, anche quando la curva è una parabola. “Proporzionale” in fisica ha un significato preciso (rapporto costante), non è un sinonimo di “che aumenta quando l’altro aumenta”. Il secondo errore gemello: disegnare a mano libera una retta che “sembra” passare vicino ai punti senza controllare se passa davvero per l’origine — con un righello e il punto $(0, 0)$ segnato, la differenza si vede subito.

Tre esercizi svolti

Esercizio 1 — riconoscere il tipo di legame da tre tabelle

Tabella A

$x$	1	2	3	4
$y$	2	4	6	8

Calcolo il rapporto $y / x$ per ogni coppia: $2/1 = 2$ , $4/2 = 2$ , $6/3 = 2$ , $8/4 = 2$ . Rapporto costante $\Rightarrow$ proporzionalità diretta, con $k = 2$ .

Tabella B

$x$	1	2	4	5
$y$	20	10	5	4

Il rapporto $y / x$ non è costante ( $20$ , $5$ , $1, 25$ , $0, 8$ ): non è diretta. Provo il prodotto $x \cdot y$ : $1 \cdot 20 = 20$ , $2 \cdot 10 = 20$ , $4 \cdot 5 = 20$ , $5 \cdot 4 = 20$ . Prodotto costante $\Rightarrow$ proporzionalità inversa, con $k = 20$ .

Tabella C

$x$	1	2	3	4
$y$	3	12	27	48

Il rapporto $y / x$ non è costante ( $3$ , $6$ , $9$ , $12$ : cresce). Provo $y / x^{2}$ : $3/1 = 3$ , $12/4 = 3$ , $27/9 = 3$ , $48/16 = 3$ . Rapporto costante $\Rightarrow$ proporzionalità quadratica, con $k = 3$ , quindi $y = 3 x^{2}$ .

Esercizio 2 — trovare la costante con la sua unità e prevedere un valore

Un oggetto di materiale omogeneo viene misurato con volumi diversi:

$V$ (cm³)	10	20	30
$m$ (g)	27	54	81

Verifico il rapporto: $27/10 = 2, 7$ ; $54/20 = 2, 7$ ; $81/30 = 2, 7$ . Costante $\Rightarrow$ proporzionalità diretta fra massa e volume, con

ρ = \frac{m}{V} = 2, 7 g/c m^{3}

che è proprio la densità del materiale (è l’alluminio). Domanda tipica: quanto pesa lo stesso materiale con $V = 50 c m^{3}$ ? Uso $m = ρ V$ :

m = 2, 7 g/c m^{3} \times 50 c m^{3} = 135 g

Esercizio 3 — proporzionalità inversa quadratica: “se la distanza triplica…”

Una sorgente luminosa produce un’illuminazione di $180 lux$ a una distanza $d_{1} = 2 m$ . L’intensità della luce è inversamente proporzionale al quadrato della distanza:

I = \frac{k}{d ^{2}}

Se la distanza triplica, $d_{2} = 3 d_{1} = 6 m$ , quanto vale l’illuminazione $I_{2}$ ? Scrivo il rapporto fra le due situazioni, sapendo che $k$ non cambia:

\frac{I _{2}}{I _{1}} = \frac{d _{1}^{2}}{d _{2}^{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}

quindi

I_{2} = \frac{180 lux}{9} = 20 lux

Nota il punto chiave dell’esercizio: quando la distanza triplica, l’illuminazione non diventa un terzo, diventa un nono — è la firma di ogni legame inversamente proporzionale al quadrato, la stessa che ritrovi nella gravitazione e nel campo elettrico.

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Se il capitolo su cifre significative e conversioni ti è rimasto poco chiaro, l’ho trattato per esteso in Fisica in terza superiore: misure e cifre significative — il metodo è identico anche se la classe è diversa. Su matematica, il ripasso di potenze e frazioni utile per calcolare le costanti è in Prima superiore: tutto il programma di matematica in un formulario, e sulla prima verifica in generale trovi La prima verifica di matematica in prima superiore: come prepararsi. Il quadro completo delle materie di fisica è su /materie/fisica/.

Se dopo aver letto questo post hai ancora dubbi su un grafico o una tabella specifica del tuo compito, puoi chiedere una diagnosi gratuita su /contatti/.

Proporzionalità diretta, inversa e quadratica in fisica